1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理课件 2025-2026学年北师大版 八年级数学下册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，以“两仓库建码头”的现实情境导入，引导学生从问题中抽象出性质，通过全等三角形证明性质，再通过基础题、中考题巩固，进而探究逆定理的证明与应用，构建完整知识脉络。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过性质与逆定理的严谨证明（如逆定理分情况多证法）发展推理思维，结合分层练习（含中考题、综合题）提升应用表达能力。学生能增强抽象能力与创新意识，教师可借助系统资源实施高效教学。

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及 其逆定理 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 情境导入 A B P 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ 点P是码头的位置 进行新课 我们曾经探索过线段垂直平分线的性质： 请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。 求证：PA = PB。 A B C M N P 知识点1 线段垂直平分线的性质 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。 求证：PA = PB。 A B C M N P 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB = 90°。 ∵ AC = BC，PC = PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）。 ∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）。 如果点P与点C重合，那么结论显然成立。 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上的一点，PA＝6，则线段PB的长为(　　) A．3 B．4 C．6 D．7 C 返回 中考考法 5 2．[达州中考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D， 则△BDC的周长为(　　) A．21 B．14 C．13 D．9 C 返回 中考考法 6 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： ∵MN⊥AB于点C，且AC=BC， ∴PA=PB 线段垂直平分线的性质： A B C M N P 这一点是任意一点 练一练 如图，DE是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定成立的是（ ） A.ED=CD B.AE=AC C.AD=BD D.BD=AC C 3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC等于________。 60° 返回 中考考法 9 4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB。若AB＝4，则DC的长是________。 4 返回 中考考法 10 尝试·思考 知识点2 线段的垂直平分线的判定 你能写出这个定理的逆命题吗？ 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 逆命题 它是真命题吗？ 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA = PB。 求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上。 A B P 考虑点P是否在线段AB上。 证明：∵ PA=PB， ∴ 点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上。 ①当点P在线段AB上时： A B P ②当点P在线段AB外时： 证法一： 过点P 作PC⊥AB，垂足为C。 ∵PA = PB， PC = PC， ∴Rt△PAC ≌Rt△PBC(HL)。 ∴AC = BC， 即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 C A B P 证法二： 取AB的中点C，连接PC。 ∵ AP=BP，PC=PC，AC=BC， ∴ △APC≌△BPC(SSS)。 ∴ ∠PCA=∠PCB。 又∵ ∠PCA+∠PCB=180°， ∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。 ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 C ②当点P在线段AB外时： A B P 证法三： 过点P作∠APB的角平分线，交AB于点C。 ∵ AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴ △APC≌△BPC(SAS)。 ∴ AC=BC，∠PCA=∠PCB。 又∵ ∠PCA+∠PCB=180°， ∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。 ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 C ②当点P在线段AB外时： 5．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，连接BD。求∠CBD的度数。 中考考法 16 解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°。 ∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝50°， ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°。 返回 中考考法 17 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 线段的垂直平分线的判定： A B P 归纳总结： 线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点）的集合。 线段是一个轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴。 归纳总结： 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线。 例1 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC。 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC。 A B C O 证明：∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。 ∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）。 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上。 还有其他证法吗？ 证明：设直线 AO 交 BC 于点 D， ∵ AB = AC，AO = AO，OB = OC ， ∴ △ABO ≌ △ACO (SSS)。 ∴ ∠BAO = ∠CAO， 又∵ AB = AC， ∴ AO ⊥ BC。 ∵ OB = OC ，OD = OD ， ∴ Rt△DBO ≌ Rt△DCO (HL)。 ∴ BD = CD。 ∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC。 ①该直线有两点到线段两端点距离相等。 ②该直线垂直且平分线段。 证明直线垂直平分线段 A B C O D 6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB A 返回 中考考法 23 7．[榆林二模]如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　　) A．4 B．5 C．2 D．6 A 返回 中考考法 24 8．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在线段________的垂直平分线上。(填“AB”或“AC”) AC 返回 中考考法 25 9．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：点D在AB的垂直平分线上。 中考考法 26 返回 中考考法 27 10．[威海中考]我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是(　　) A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO D 返回 中考考法 28 11．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC，AB分别交于点M，N，连接BM，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 A 返回 中考考法 29 12．[西安铁一中期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，DE垂直平分AB，交BC于点D，交AB于点E，连接AD，FG垂直平分AC，交AD于点F，交AC于点G，连接CF，∠DCF＝20°，则∠BAC的大小为(　　) A．60° B．70° C．80° D．90° C 返回 中考考法 30 13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________。 7 返回 中考考法 31 14．(8分)[西安高新一中期末]如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE2－DC2＝AD2。判断BE与AC的数量关系，并说明理由。 中考考法 32 解：BE＝AC。理由如下：如图，连接AE。 ∵EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE。 ∵D为线段CE的中点，∴ED＝CD。 ∵BE2－DC2＝AD2，∴AE2－ED2＝AD2。 ∴△AED是直角三角形，且∠ADE＝90°。∴AD⊥BC。 ∴AD是线段CE的垂直平分线。 ∴AE＝AC。∴BE＝AC。 返回 中考考法 33 15．(8分)[教材P34“习题1.4”第4题变式]如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，∠B＋∠C＝45°。 中考考法 34 (1)求证：ME与NF的交点在BC的垂直平分线上； 证明：设ME与NF的交点为G，连接AG，BG，CG。 ∵ME是AB的垂直平分线，∴AG＝BG。 ∵NF是AC的垂直平分线，∴AG＝CG，∴BG＝CG， ∴点G在BC的垂直平分线上，即ME与NF的交点在BC的垂直平分线上。 中考考法 35 (2)若BC＝12，AF＝4，求EF的长。 解：∵边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，F， ∴BE＝AE，AF＝FC＝4，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF， ∴∠AEF＝2∠B，∠AFE＝2∠C。 又∵∠B＋∠C＝45°， ∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠B＋∠C)＝90°，∴∠EAF＝90°。 中考考法 36 设BE＝AE＝x。∵BC＝12，∴EF＝BC－BE－CF＝8－x， 在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2， 即x2＋42＝(8－x)2， 解得x＝3，∴EF＝8－3＝5。 返回 中考考法 37 课堂小结 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 性质定理 判定定理 A B C M N P 证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°－∠B＝60°。 ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°， ∴∠B＝∠BAD，∴AD＝BD， ∴点D在AB的垂直平分线上。 $