黑龙江绥化市第一中学2026-2027学年高一上学期开学数学试题

**基本信息** 立足初高中衔接，覆盖函数、几何、统计等初中核心知识，通过大摆锤运动、铅球成绩等生活情境及利润最大化建模问题，考查抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、图形规律（第6题）|以图形规律题（第6题）考查抽象能力，结合必然事件（第3题）体现数学眼光| |填空题|8/24|函数自变量取值、圆锥侧面积|通过铅球成绩（第16题）考查二次函数应用，体现模型意识| |计算题|1/10|利润最大化|以降价销售问题（第19题）考查数学建模，培养应用意识| |解答题|5/56|网格作图、圆的切线证明|网格作图（第21题）融合几何直观，圆的切线证明（第24题）发展推理能力|

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绥化市第一中学2026-2027学年度第一学期入学考试 高一数学 题号 一 二 三 四 总分 得分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.据报道，年前三个季度全国各省市成绩单中，黑龙江省的为亿元，将用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.如图，，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.下列事件是必然事件的是(    ) A. 打开电视机，正在播放篮球比赛 B. 守株待兔 C. 明天是晴天 D. 在只装有个红球的袋中摸出球，是红球 4.已知点、点关于原点对称，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知反比例函数的图象经过，两点，当时，则的值可能为(    ) A. B. C. D. 6.观察下列图形规律：第个图案中“”的个数为(    ) A. B. C. D. 7.一元二次方程的一次项系数和常数项依次是(    ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8.如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(    ) A. B. C. D. 9.以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点所在的象限为(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10.游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.在函数中，自变量的取值范围是         ． 12.若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为         ． 13.已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积为           结果保留 14.不等式组解集为       ． 15.将抛物线的图象先向上平移个单位再向右平移个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为         ． 16.运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是         米 17.设，是方程的两个实数根，则的值为         ． 18.如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为       ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 19.水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克利润为元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低元，每天多售出千克，设这种水果每千克降价元，销售量为千克 求与之间的函数关系式； 这种水果降价多少元时，每天获得的利润最大？求出最大利润． 四、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 先化简，再求值：，其中． 21.本小题分 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹 在图中，作出以为腰，为底边的等腰，并且等腰三角形的面积为； 在图中，在边上取点，连接，使得； 在图中，作出的高，点为垂足，并直接写出的长． 22.本小题分 为促进冰雪经济，平几山滑雪景区需要购买型和型两种型号的保暖帐篷若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． 求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； 若该景区需要购买型和型两种型号的帐篷共顶，为使购买帐篷的总费用不超过元，则最少购买种型号帐篷多少顶？ 23.本小题分 解下列方程： ； ． 24.本小题分 如图所示，在中，，以为直径的交于点，过点作，交于点． 求证：是的切线； 若，的半径是，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2.【答案】  【解析】解：， ， ，， ． 故选：． 根据平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，不正确； 守株待兔是随机事件，不正确； 明天是晴天是随机事件，不正确； 在只装有个红球的袋中摸出球，是红球是必然事件； 故选：． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4.【答案】  【解析】解：点、点关于原点对称， ，， ， 故选：． 根据关于原点对称的点的坐标特点可得、的值，进而得到答案． 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 5.【答案】  【解析】解：根据，且， 函数图象在这个象限内，随的增大而减小， ， 四个选项中只有选项D符合条件． 故选：． 根据，且，判定函数图象在这个象限内，随的增大而减小，继而得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由图可得，第个图案中“”的个数为， 第个图案中“”的个数为， 第个图案中“”的个数为， 第个图案中“”的个数为， ， 以此类推，第个图案中“”的个数为， 故选：． 根据已知图形得出“”个数变化规律即可求解． 本题考查图形类规律题，发现规律是关键． 7.【答案】  【解析】解：一元二次方程的一次项系数和常数项依次是和． 故选：． 根据一元二次方程的一般形式进行选择． 本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 8.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 则重物上升了， 故选：． 根据定滑轮旋转的弧长等于重物上升的长度，利用弧长公式计算即可． 此题考查了弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 根据旋转的性质以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，即可得到点所在的象限． 本题考查了坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【解答】 解：如图，点按逆时针方向旋转， 得点所在的象限为第二象限． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ， 解得， 大摆锤的长度为， 故选：． 由，且点为的中点，则，，设，则，然后通过勾股定理即可求解． 本题考查了垂径定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由弧长公式得， 故答案为：． 根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即表示弧长，是弧所对圆心角的度数，表示半径． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查圆锥的计算，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积底面周长母线长，即可得出答案． 【解答】 解：底面圆的半径为，则底面周长，侧面面积． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：解不等式：得：， 解不等式：得：， 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 分别求解每个不等式，然后确定不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15.【答案】  【解析】解：根据二次函数图象平移规律，向上平移改变坐标，向右平移改变坐标可知： 原抛物线的顶点坐标为， 先向上平移个单位，顶点坐标变为， 再向右平移个单位，顶点坐标变为． 故答案为：． 根据二次函数图象平移规律，向上平移改变坐标，向右平移改变坐标，先确定原顶点坐标再依次平移即可． 本题主要考查了根据平移确定点的坐标，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 16.【答案】  【解析】解：令，得， 解得，舍． 故答案为：． 令，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出答案． 本题主要考查二次函数的应用，理解投掷铅球的成绩就是求抛物线与轴交点的横坐标是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：， ，， ， 即的值为， 故答案为：． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形求值即可． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 18.【答案】  【解析】解：设与、分别相切于点、，则， 与相切于点， ，， ， ， ， 剪下的的周长为， 故答案为：． 设与、分别相切于点、，则，因为与相切于点，所以，，可推导出，于是得到问题的答案． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出是解题的关键． 19.【答案】与之间的函数关系式为  这种水果降价元时，每天获得的利润最大，最大利润为元  【解析】解：根据题意，得， 即与之间的函数关系式为． 设这种水果每天获得的利润为元， 根据题意，得． ， 当时，最大为． 答：这种水果降价元时，每天获得的利润最大，最大利润为元． 根据题意直接写出与的函数解析式； 根据总利润每千克的利润销售量，列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，掌握函数的性质是解题的关键． 20.【答案】解：原式 ， 当时， 原式 ．  【解析】解：原式 ， 当时， 原式 ． 先计算括号的分式加法，再计算分式的除法，得到化简结果，再求出字母的值，把字母的值代入化简结果计算即可． 此题考查了分式的化简求值，特殊角三角函数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 21.【答案】如图即为所求  如图点即为所求   【解析】解：由勾股定理以及三角形面积为确定点，然后再顺次连接即可， 如图即为所求， 理由：， 等腰三角形的面积为，即即为所求． 如图点即为所求， 理由：，，， ，， 是等腰直角三角形； 如图即为所求， 由网格可知：点、为格线的中点，连接与的交点为，易得，即即为所求． 点为格线的中点， ， ， ， 解得：． 由勾股定理以及三角形面积为确定点，然后再顺次连接即可； 如图：确定格点使得是等腰直角三角形，延长与的交点即为所求； 先确定点，再连接与的交点为，线段即为所求．由求解即可． 本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、格点作图等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 22.【答案】每顶型帐篷元，每顶型帐篷元  最少购买型帐篷顶  【解析】解：设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元，根据题意可得： ， 解得， 答：每顶型帐篷元，每顶型帐篷元； 设购买型帐篷顶，根据题意可得： ， ， 解得， 答：最少购买型帐篷顶． 设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元，根据题意列方程组即可求解； 设购买型帐篷顶，则购买型帐篷为顶，根据题意列不等式即可求解． 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． 23.【答案】，  ，  【解析】， ， ， 开方得：， 解得：，； ， ， 配方得：， ， 开方得：， 解得：，． 先移项，再方程两边除以，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； 先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 24.【答案】连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线    【解析】证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 解：连接， 是的直径， ， 又，， ， ， ， 又，即， ． 利用等边对等角求得，，推出，证得，即可得到是的切线； 利用圆周角定理结合勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理．熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $