精品解析：贵州遵义航天高级中学2026-2027学年高三上学期诊断性测试（一）数学试题

2026-2027学年（上）高三秋季诊断性测试（一） 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 样本数据2，3，6，4，7的中位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列为2，3，4，6，7， 该组数据的样本容量为5（奇数）， 所以中位数为排序后第个数据，即为4． 2. 已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义写出复数对应的点的坐标即得. 【详解】因为复平面内，复数对应的点为， 所以表示复数的点在第四象限. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别算出集合和，再结合集合的运算即可求解. 【详解】已知集合，得， ，所以，因此，故C正确. 4. 已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量 的坐标可以求出，再结合数量积计算公式即可求出，从而得出向量，的夹角. 【详解】由题意， ， 则，向量，的夹角为120°， 故选：C. 5. 已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲圆锥的高为，乙圆台的高为，利用勾股定理求出，，再由圆锥和圆台的体积公式计算即可得解. 【详解】设圆锥甲的高为，圆台乙的高为， 则，， 所以圆锥甲的体积， 圆台乙的体积， 所以甲、乙的体积之比为. 6. 已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，结合同角三角之间的关系得出，，再利用等差数列的性质以及两角和差的正切公式即可计算. 【详解】由辅助角公式可知的最大值为，故， 因，则， 即，得， 则， 则， 因是等差数列的第5项，则， 则. 故选：A 7. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 的图象关于对称 D. 的图象关于对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义、判定方法可判断A，B两项；利用函数的对称性判定方法可判断C，D 两项. 【详解】对于A，因 ，即，故函数关于点成中心对称， 故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确； 对于B，因的定义域为，关于原点对称， 且，即是偶函数，故B说法正确； 对于C，设，由， 即，故函数的图象关于对称，故C说法正确； 对于D，设，由， 显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误. 故选：D. 8. 在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到直线方程，从而得到点坐标，再结合求出，最后由抛物线准线方程的公式即可求解. 【详解】 如图所示，抛物线：（），焦点的坐标为，准线方程为， 过点且倾斜角为的直线，其斜率为，因此直线方程为， 由于直线与轴的交点为，令，得，所以点的坐标为， 将直线方程代入抛物线方程中，得，整理得， 解得或， 由于交点在第一象限，所以，代入直线方程，得， 所以点的坐标为， 又因为，所以，解得， 所以抛物线的准线方程为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据：的第70百分位数是7.5 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若三个随机事件两两独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据百分位数的定义判断即可；对B，根据二项分布的方差公式求解即可；对C，根据正态分布的对称性求解即可；对D，举例进行验证即可． 【详解】对于A：数据共7个，则，所以第70百分位数为第5项数据8，故A错误. 对于B：若随机变量，则，故B正确； 对于C：若随机变量，则对称轴为， 由，得， 则，得，故C正确； 对于D：设样本空间含有4个等可能的样本点，且，，， 则，， 所以，，，即A，B，C两两独立， 但是，所以A，B，C两两独立时，不一定成立，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小正周期为π C. 是奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数相邻对称轴与对称中心的距离为周期的，求出周期，再由，求出，根据，求出，从而得到，然后逐项判断即可. 【详解】由可知，，所以的最小值为，所以A正确； 由图可知的最小正周期为，所以B正确； 又，所以，又，所以，所以， 因为，所以，因为，所以， 所以，，为奇函数，所以C正确； ，所以D错误. 故选：ABC 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：  ，化简得. 该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________． 【答案】2 【解析】 【详解】因为是奇函数，当时，， 所以. 13. 设，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由二项式定理得，代入求值即可. 【详解】由二项式定理可得， ， 则有， 当时，. 故答案为：3. 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布可求，再根据导数可求何时概率取最大值. 【详解】甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的情况有：甲胜局乙胜1局；甲胜局乙胜2局， 故， 故， 当时，；当时，， 故在上单调递增，在单调递减， 故时，取最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表： 良好 一般 合计 服用 85 服用 20 合计 （1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？ （2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 良好 一般 合计 服用 85 15 100 服用 80 20 100 合计 165 35 200 不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联 （2），， 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的相关知识解决； （2）利用古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 良好 一般 合计 服用 85 15 100 服用 80 20 100 合计 165 35 200 零假设为：治疗效果良好与服用，药物无关联， 根据上表可知，， 所以根据小概率值的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联． 【小问2详解】 因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以， 在200人中服用药物的人数为100，所以， 因为在200人中有85人服用药物且治疗效果良好， 所以． 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 则. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，求平面的法向量和直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直三棱柱的侧棱长， ， 故. 如图建立空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则取，得，，得. 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知的内角满足，且的面积大小为4. （1）求边长的最大值； （2）当边长取到最大值时，求的周长. 【答案】（1）8； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简得，再利用三角形面积公式和正弦定理得，解出，最后根据三角函数有界性即可得到其最大值； （2）计算得，，最后利用正弦定理即可得到答案. 【小问1详解】 由条件知， 即， 展开得， 于是， 展开得， 设的外接圆半径大小为， 则根据正弦定理得， 解得， 所以， 于是当时，边长最大，最大值为8． 【小问2详解】 由（1）知，此时， 于是，， 所以，因为， 所以，即 于是， 所以的周长为． 18. 已知椭圆：的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点． ①若，求点的纵坐标； ②若线段交轴于点，求的值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程； （2）①由条件可得，结合向量数量积坐标运算公式列方程可求，设，根据关系及点在椭圆上列方程求， ②由条件可得，所以，设，根据关系及点在椭圆上列方程可得，再证明，由此可得结论. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由条件可知，，， 所以，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由已知，，， 因为点在以为直径的圆上，所以，故， 又，， 所以，故，即． 设，，， ，， 由题意可知，解得， 则点的纵坐标为． 由题知，，，， 由，可得， 所以，故， 设，，，，， 因为，故， 所以，且， 化简得，又， 所以，即， 由，得，所以． 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 【答案】（1） （2）在上单调递减. （3）证明：由函数，可得， 则，其中， 当时，，，此时，单调递减， 所以函数在区间上无极值点； 设，可得， 所以在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的使得， 当时，；当时，， 综上可得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有且只有一个极小值点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，求得，进而得到不等式的解集； （2）求得，令，得到，求得的单调性与极值，得到，即，即可求解； （3）根据题意，得到，先求得在上无极值点，设，求得和在上单调递增，得到在上单调递增，得到存在唯一的使得，得出的单调性，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，又由不等式，可得， 整理得，即， 可得，所以， 因为，即，可得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 设，可得， 当时，；当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以当时，，即，所以在上单调递减. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）高三秋季诊断性测试（一） 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 样本数据2，3，6，4，7的中位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（ ） A. B. C. D. 6. 已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 的图象关于对称 D. 的图象关于对称 8. 在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据：的第70百分位数是7.5 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若三个随机事件两两独立，则 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小正周期为π C. 是奇函数 D. 11. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________． 13. 设，则__________. 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表： 良好 一般 合计 服用 85 服用 20 合计 （1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？ （2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知的内角满足，且的面积大小为4. （1）求边长的最大值； （2）当边长取到最大值时，求的周长. 18. 已知椭圆：的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点． ①若，求点的纵坐标； ②若线段交轴于点，求的值． 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $