1.2.2等腰三角形的判定及反证法课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定及反证法，通过回顾定义“两边相等为等腰三角形”和性质“等边对等角”，以“两角相等是否为等腰三角形”的逆向问题导入，搭建从性质到判定的知识支架。 其亮点在于采用两种证法（作高、作角平分线）推导判定定理培养推理意识，结合中考题（如OC平分角时CD=OD）提升应用意识，反证法通过“假设-推理矛盾-结论”步骤训练逻辑思维。学生能深化知识理解，教师可高效开展培优教学。

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 1.2.2等腰三角形的判定及反证法 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 边：有两边相等的三角形是等腰三角形。 （定义） 问题：如何判定一个三角形是等腰三角形？ 角：等腰三角形 两底角相等 性质 进行新课 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ A B C 已知：在△ABC 中，∠B =∠C。 求证：AB = AC。 要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。 分析： 知识点1 等腰三角形的判定——等角对等边 A B C 已知：在△ABC 中，∠B =∠C。 求证：AB = AC。 D 证法一 证明：如图，过点A作 AD⊥BC 于点 D， 则∠ADB =∠ADC = 90°， 又∵∠B =∠C，AD = AD， ∴△ADB ≌ △ADC（AAS）， ∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）。 还有其他证法吗？ A B C 已知：在△ABC 中，∠B =∠C。 求证：AB = AC。 D 证法二 证明：如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD。 ∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）。 ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。 1．在△ABC中，∠A＝∠C，则(　　) A．AB＝AC B．AB＝BC C．AC＝BC D．AB＝AC＝BC B 返回 中考考法 6 2．下列三角形中，不是等腰三角形的是(　　) A 返回 中考考法 7 等腰三角形的判定与性质的异同 相同点：都是在同一个三角形中； 区别：判定是由角的关系得到边的关系， 性质是由边的关系得到角的关系。 即：等边 等角 性质 判定 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 这一定理可以简述为：等角对等边。 前提是“在同一个三角形中” A B C 几何语言： 在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC。 等腰三角形的判定： 3．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4，则CD的长为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 B 返回 中考考法 10 4．如图，AB＝10，BC＝8，∠A＝∠ACD，则△BCD的周长是(　　) A．28 B．26 C．20 D．18 D 返回 中考考法 11 例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E。 求证：△AED是等腰三角形。 证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴△ABD ≌ △DCA（SSS）。 ∴∠ADB = ∠DAC（全等三角形的对应角相等）。 ∴AE = DE（等角对等边）。 ∴△AED 是等腰三角形。 5．(4分)[自贡中考]如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF。求证：AE＝BF。 证明：∵∠ABE＝∠BAF， ∴AC＝BC。 又∵∠ACE＝∠BCF，CE＝CF， ∴△ACE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF。 返回 中考考法 13 6．(4分)[西安长安区期中]如图，BD是等边三角形ABC的中线，E是BC延长线上一点，且BD＝DE，求证：CD＝CE。 中考考法 14 练一练 如图，AE平分∠BAC，DE // AB，若AD=5，则DE的长是______。 AE平分∠BAC ∠2=∠3 DE // AB (等角对等边) ∠1=∠2 5 1 2 3 ∠1=∠3 DE=AD 尝试·思考 知识点2 反证法 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 小明的思考过程如下。你能理解他的推理过程吗？ A B C 如图，在△ABC 中，已知 ∠B ≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等。 假设 AB = AC，那么根据定理“等边对等角” 可得∠C =∠B，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾，因此 AB ≠ AC。 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 反证法 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。 已知：△ABC。 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角。 证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°，∠B = 90°。 于是∠A +∠B +∠C = 90°+ 90°+∠C ＞180°。 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B 是直角”的假设不成立。 所以，一个三角形中不能有两个角是直角。 用反证法证明的一般步骤 1. 先假设命题的结论不成立； 2.从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果； 3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 返回 中考考法 21 7．[宝鸡一中月考]用反证法证明“若a＋b≥0，则a，b至少有一个不小于0”时，第一步应假设(　　) A．a，b都不小于0 B．a，b不都小于0 C．a，b都小于0 D．a，b都大于0 C 返回 中考考法 22 8．已知△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°。下面是用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°； ④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°。 这四个步骤正确的顺序是________(填序号)。 ③④①② 返回 中考考法 23 9．[教材P18“习题1.2”第12题变式]如图，一艘船上午9时从海岛A出发，以20 n mile/h的速度向正西方向航行，上午11时到达海岛B处，分别从A，B望灯塔C，测得∠DAC＝34°，∠DBC＝68°，则海岛B到灯塔C的距离为________n mile。 40 返回 中考考法 24 10．如图，∠AOB的边OA，OB均为平面反光镜，一束光线从OB上的点C射出，经OA上的点D反射后，反射光线DE恰好与OB平行，已知∠ADE＝∠ODC，OC＝10，则光线CD的长度是(　　) A．8 B．10 C．15 D．20 B 返回 中考考法 25 11．(8分)如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF。 中考考法 26 (1)求证：△GEC是等腰三角形； (2)连接AD，则AD与l的位置关系是________。 返回 平行 中考考法 27 12．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D与B，C两点不重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E。 (1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝________； 点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ________(填“大”或“小”)； 25° 小 中考考法 28 (2)当△ABD≌△DCE时，求∠BAD的度数； 解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠C＝∠B＝40°， ∴∠BAC＝180°－40°×2＝100°。 ∵△ABD≌△DCE，∴AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA。 又∵∠ADE＝40°，∴∠DAE＝∠DEA＝70°。 ∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝100°－70°＝30°。 中考考法 29 (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA＝110°时，请判断△ADE的形状，并证明。 解：当∠BDA＝110°时，△ADE是等腰三角形。 证明如下：∵∠BDA＝110°，∴∠ADC＝70°。 ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°。∴∠DAC＝70°。 在△ADE中，∵∠ADE＝40°，∠DAE＝70°， ∴∠AED＝180°－40°－70°＝70°。∴∠AED＝∠DAE。 ∴DA＝DE。∴△ADE是等腰三角形。 返回 中考考法 30 课堂小结 等腰三角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边） 反证法： 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 A B C 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°。 ∵BD是等边三角形ABC的中线， ∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°。 又∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°。 ∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝60°－30°＝30°。 ∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE。 证明：在△ABC和△DFE中， ∴△ABC≌△DFE，∴∠ACB＝∠DEF，∴EG＝CG， ∴△GEC是等腰三角形。 $