专题1.4 数列与不等式交汇及其最值范围、新定义8大题型全析（重难专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题1.4 数列、不等式交汇及其最值范围与新定义题型全析 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：数列是高考数学的核心考点，命题形式灵活多样，覆盖基础与综合应用。小题侧重考查等差、等比数列的基本概念、性质及递推关系，常与函数、导数等知识融合，体现综合性趋势。解答题难度多为中等或略高。此类题目通常先考查数列通项和数列基本性质，继而深入至求和问题，并与不等式、函数、最值等交织融合。在掌握等差、等比数列求和的基础上，重点考查“裂项相消”“错位相减”等进阶求和方法，尤其强调“放缩法”的运用与思想渗透。同时，数列与数学归纳法的结合亦具考查潜力，值得重点关注与准备。 预测2026年： 考向01利用数列的函数特征求最值项 考向02 等差数列前n项和的最值 考向03 数列不等式恒成立求参数范围 考向04 数列不等式能成立（有解）求参数范围 考向05 数列求和与不等证明 考向06 数列定义新情境 考向07 数列定义新性质 考向08 数列定义新概念 考向01 利用数列的函数特征求最值项 求解数列通项最值问题，需依据通项公式形式，将其视为关于n的函数，结合函数单调性、二次函数性质（对称轴、开口方向）、分式函数性质等分析，同时兼顾n为正整数的限制，通过计算相邻项或结合函数性质确定最值。 1．(2024·上海·模拟)数列的最小项的值为 . 【答案】 【详解】令，得，令，得，所以当时，，当时，，而函数在上单调递减，所以当时，取得最小值，即数列的最小项的值为.故答案为：. 2．(2024·安徽·模拟)已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，. 故选：C 3．(2025·浙江·模拟)已知数列满足，则数列中的最小项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知为等差数列，且公差为2，首项为，因此，由于且，故中的最小项为，故选：B 4．已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意知，故时，，当时，，，则，即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列，故，随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值，故时，取最大值，最大值为，故选C 5．(2024·湖北·模拟)（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值；，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值；，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列有最大值，也有最小值；，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值.故选：BC 6．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，即，所以有，显然当时，，因此中最小的一项是，故选：B 7．(2024·河南·模拟)已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列，即，，整理得，令，则，，所以数列单调递减，故是数列的最大项，则的取值范围为，故C正确.故选：C． 8．(2024·辽宁·模拟)数列中， ，若数列是等差数列，则最大项为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】若数列是等差数列，则数列的首项为，公差为，所以，则，所以，则当时，，则；当时，，故此时数列单调递减，则 综上，最大项为.故选：D. 9．(2024·山东·模拟)已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（    ） A．63 B．64 C．71 D．72 【答案】C 【详解】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首相为，公差为的等差数列，其中；的前项和为；当时，；当时，；又因为，所以的最大值为，此时，取得最大值为.故选：C. 10．(2025·河南·模拟)（多选）已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（    ） A． B． C．数列的最大项为 D．数列的最小项为 【答案】ACD 【详解】设等比数列的公比为.对于A，由题意得，则，故A正确；对于B，由A项，可得，∴，当时，，此时可知数列为递增数列，故舍去；故，∴，故B错误；对于C，，当为奇数时，，而指数函数在上单调递减，∴；当为偶数时，，而指数函数在上单调递减，∴，故得，又∵函数在上单调递增，∴，当时，时为最大项，故C正确，当时，为最小项，故D正确.故选：ACD. 11．已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 【详解】（1）∵，∴，∴， ∴，又，所以， ∴数列是以1为公差的等差数列； 又∵，， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴，； （2）∵，所以， ∴作函数的大致图象，   ∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为； 另解：因为， 当时，数列是递减数列，且，， 当时，数列是递减数列，且， 所以在数列中，最大项为，最小项为. 12．已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的最大项. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）法一：. 所以数列的最大项为. 法二：因为，所以.由，得. 所以数列的最大项为. 考向02 等差数列前n项和的最值 求等差数列前n项和最值，常用两种方法： 1.函数法：将等差数列前n项和化为二次函数，根据抛物线顶点确定最值位置，取邻近正整数； 2.通项符号法：分析通项的符号变化，找正负转折点，项由正转负时和取最大，反之取最小。 函数法直观，适合参数明确；符号法重单调性，利于判断趋势，据题选用更高效。 1．(2025·山东·模拟)已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公差为，因为，，可得 ，解得，所以，可得，所以当时，取得最小值.故选：D. 2．(2025·河北·模拟)已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，得到①，由，得到②，由①②得到，，又，，由，解得，所以，，， 又因为，所以当或时，的值最大，最大值为，故选：A. 3．已知等差数列公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（  ） A．20 B．24 C．36 D．40 【答案】C 【详解】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，显然，而，且，解得，则，，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数，所以的最大值为.故选：C. 4．(2025·湖北·模拟)已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（    ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由是等比数列，得，解得，则，显然等差数列单调递减，当时，，当时，，所以当取最大值时，.故选：B 5．(2026·浙江·模拟)已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 【答案】A 【详解】由，则，，，因此等差数列为递增数列，而，，则时，，，即；当时，，要使最小，则，此时，数列为递增数列，则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大，因此，当时，最小.故选：A. 6．已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 【答案】D 【详解】由可知，当时，，因为，所以，故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误.将的通项公式可得，故B错误.由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误. 由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.故选：D. 7．(2025·湖南·模拟)设是等差数列的前项和，，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】设等差数列的公差为．由题意可知解得，则的前项和，而函数的零点为和，故当接近或时，取得最小值．又，所以当时，的最小值为．故答案为：4 8．设数列的前n项和为，且，，则的最小值是 . 【答案】 【详解】当时，，即，解得或.因为，所以.当时，，所以，即，即.因为，所以，所以，即，则，从而，故，当或时，取得最小值，最小值是.故答案为： 9．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】取得最小值，则公差，或，当时，，所以，又，所以，所以，，故，令，则，所以的最小值为．当，，不合题意．综上所述：，，，的最小值为．故答案为：． 10．已知为R上单调递增的奇函数，在数列中，，对任意正整数n，，则数列的前n项和的最大值为 . 【答案】77 【详解】因为，且为R上的奇函数，所以.又在R上单调递增，所以，即，所以为等差数列，且公差为，首项为20，所以，所以，所以最大，且.故答案为：77 11．(2024·四川·模拟)已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 【详解】（1）数列满足①， 当时，有②， ①②可得：， 即， 变形可得，故数列是以为等差的等差数列； （2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列， 若，，成等比数列，则有， 即，解得， 所以，所以单调递减， 又当时，，当时，，当时，， 故当或时，取得最大值， 且． 12．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【详解】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 13．已知等差数列是递减数列，设其前项和为，且满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最大值及相应的的值． 【详解】（1）设等差数列公差为，则由，得， 将代入上式解得或（舍）， 所以的通项公式为． （2）由（1）得，所以， 故数列是以10为首项，为公差的等差数列， 令，解得，故， 即当或5时，取得最大值25． 14．设数列的前项和为，当时，有． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，，求的最大值． 【详解】（1）因为当时，有①， 所以当时，②， 由①−②，整理可得，所以数列是等差数列． （2）由（1）可知是等差数列，所以，可得 所以数列的公差， 所以， 所以， 又，所以当或时，取到最大值为60． 考向03 数列不等式恒成立求参数范围 求解数列不等式恒成立问题常用方法： 1.分离参数，然后求转化成数列求最值问题； 2.构造函数，然后利用用导数分析单调性求最值或极值。 同时，时刻警惕题目是“恒成立”还是“存在性”问题。 1．(2025·山东·模拟)已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】当，则，即，当，，则，即，∴，∴数列是的等比数列，∴， ∵，即，∴，令数列的通项为，则，令，则，又∵ ∴当，，当，，∴数列的最大项为，∴.故选：B. 2．(2025·海南·模拟)数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，显然当增大时，减小，此时增大， 所以.故选：A. 3．(2025·甘肃·模拟)已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设数列的公比为，由题意知，由，解得， 所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，解得.故选：A 4．(2025·吉林·模拟)已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题可设等比数列的公比为，因为，，所以或，所以，，所以为单调递增数列，为单调递减数列，所以单调递增，故，故若恒成立，则的最小值为.故选：D 5．(2025·福建·模拟)已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且对任意的，都有成立，所以，所以.故选：D. 6．已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则，又为等差数列，则其公差， 所以，故， 所以，而不等式恒成立， 所以，即实数的最小值为.故选：B 7．(2025·重庆·模拟)已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等差数列、的前项和分别为、，且，则，且当时，，因为，，，则，即的最小值为.故选：C. 8．(2025·陕西·模拟)已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为数列满足，，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 因为不等式恒成立，即， 所以，所以，， 所以解得，所以的取值范围为.故选：D 9．(2025·安徽·模拟)已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【详解】由，可得，易知，两侧同时除，可得，整理得，所以是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 故，易知单调递增，，所以.故选：B 10．(2024·江苏·模拟)已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】数列中，，当时，，则，整理得，即，而，即，因此数列是以为首项，公比为的等比数列，，则，由，知为奇数，此时是递增的，而，， 所以正整数k的最小值为13.故选：C 11．(2024·宁夏·模拟)已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以，所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为，所以， 令，不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 12．(2024·天津·模拟)设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，，即，． （2）当为奇数时，，记，则有 ，， 得：， ， 当为偶数时，， 记． （3）由与恒成立， 可得恒成立，恒成立，即求的最大值， 设，， 单调递增， 又，，． 考向04 数列不等式能成立（有解）求参数范围 数列不等式的“能成立”问题（也常被称为“存在性”问题），在高中数学尤其是高考压轴题中占有重要地位。与“恒成立”要求所有情况都满足不同，“能成立”只需要存在至少一个满足条件的项或参数。解题关键是转化为数列最值与参数的比较，即存在 n 使得不等式成立等价于数列的最大值大于或最小值小于参数。解题时需先利用单调性等方法求出最值，再建立关于参数的不等式求解。 1．(2025·山东·模拟)公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设数列的公差为，因为，成等比数列，所以， 解得，所以， 故.由，得，解得.   ∵，∴的最大值为.故选：D. 2．(2026·辽宁·模拟)记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，又，所以，由，所以，所以，所以，即①， 又因为，所以②， 由①②解得，所以， 所以，由有，即，解得， 所以使成立的的最大值是，故选：C. 3．(2024·内蒙古·模拟)设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（    ） A．11 B．12 C．20 D．21 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为d，由，得，得，由于，得，由，得，得，得，得，得，且，则n的最大值为21， 故选：D 4．(2024·浙江·模拟)已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一：由单调递增，得，由，得，∴. 时，得①，时，得，即②，若，②式不成立，不合题意；若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.综上，排除B，C，D. 解法二：设，函数对称轴为，则，联立，可得两函数的交点为，若要，则，，所以，又只要求存在实数，所以.故选：A. 5．(2025·山东·模拟)已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【详解】由题设，数列各项依次为，当时，，当时，，所以成立的n的最小值为21.故选：B. 6．(2024·浙江·模拟)已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 【答案】15 【详解】因为，所以， 因为，所以，整理得，所以，所以，令，解得.所以正整数的最小值为15.故答案为15 7．已知等比数列的首项且公比，且，记的前项和为，前项积为，则当不等式成立时，的最大值为 ． 【答案】19 【详解】设等比数列的公比为．由，得，解得，所以，则．由，得，即即 ．令，解得．又，所以．当时，，不等式不成立；当时，，所以，不等式成立；当时，，所以，不等式不成立．故当不等式成立时，的最大值为19．故答案为：19． 8．(2023·黑龙江·模拟)已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ． 【答案】14 13 【详解】令，得，当为奇数时，， 当为偶数时，，所以.当为奇数时，，即，因为，所以，即，因为为奇数，所以的最小值为；当为偶数时，，因为，所以，，因为为偶数，所以的最小值为.综上所述，的最小值为.故答案为： ， 9．(2024·河北·模拟)已知数列的前项积为，若，则满足的正整数的最小值为 . 【答案】 【详解】由满足，即，故，当时，，又为偶数时，为奇数时，，所以要满足，所以的最小值为5，故答案为：5. 10．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，，两式相减可得，， 则， 叠加可得，，则，而时也符合题意， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知，可得， 故； 解法1：由，可得， 即，即则，又由， 当且仅当时取等号，故实数的取值范围为． 解法2：由， 可得， 当，即时，， 则，故实数的取值范围为． 11．已知数列对任意满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值． 【详解】（1）因为①， 所以 ②， ①②两式相减，得 ，所以③． 又当时，得，不满足上式． 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，，所以不成立，当时， ，由，得．令，则为增函数，又．因此要使成立，只需，故使成立的正整数的最小值为7． 考向05 数列求和与不等证明 证明数列不等式，首先观察结构，尝试放缩法，这是核心技巧。其次考虑数学归纳法，尤其适合与自然数n相关且结构清晰的命题。对于函数背景强的问题，可构造函数利用单调性分析。此外，基本不等式、裂项相消、递推关系等也常是关键。务必灵活选择，综合运用。 1．(2022·新高考全国I卷)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列，∴,∴, ∴当时，，∴, 整理得：,即, ∴， 显然对于也成立，∴的通项公式； （2） ∴ 2．(2025·辽宁·模拟)已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. （2）因为， 所以 ，故原不等式成立. 3．(2025·重庆·模拟)已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【详解】（1）已知， 当时，；当时，， 则， 显然时，，满足上式， 综上，； （2）由上知:， 故， 易知单调递增， 时，， 又，即，证毕. 4．(2024·广东·模拟)设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 【详解】（1）由是首项为、公差为的等差数列，故， 即，当时，， 故， 当时，，符合上式，故； （2）由，，故， 则， 由，故，则. 5．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列；（ii）证明 【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以，所以； 设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，， 所以，所以，且， 所以数列是等比数列； （ii）由题意知，，所以， 所以，设，则， 两式相减得，所以， 所以. 考向06 数列定义新情景 将数列嵌入具体情境或文化背景，例如“三角垛”“角谷猜想”等，重在从实际情景中抽象出数列的内在关系。解题时，应先深入理解情境含义，将其转化为递推关系或通项公式模型；通过手动计算前几项以发现规律，再结合等差、等比数列的基本公式进行求解，同时剔除情境中干扰性的无关信息，聚焦数学本质。 1．(2024·云南·模拟)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（    ） A．170 B．168 C．130 D．172 【答案】D 【详解】依题意，，故，又，所以．所以． 故选：D. 2．(2024·天津·模拟)数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由题知，，又，所以，是周期为3的周期数列. 对于A，若，，则，则或，若，则，得， 又，由周期性可知，当时，满足，A不满足题意；对于B，若，，则，即，又，消元整理得，即，无实数解，故B满足题意；对于C，若，，则，解得，显然恒成立，C不满足题意；对于D，若，，则，解得，显然此时恒成立，D不满足题意. 故选：B 3．(2024·江西·模拟)设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（   ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 【答案】B 【详解】由，得，所以数列为公差为2的等差数列，首项为，，则 ，，又，当时，，故，所以数列的前2025项之和为.故选：B. 4．(2025·湖北·模拟)已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为. (1)求； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）因为，可知（满足除以3余数为1），当时，为3的倍数， 进行操作，即删除，剩余，则，可得，所以. （2）由（1）可知，则， 所以数列的前项和. 5．(2024·广东·模拟)无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． (1)写出这个数列的前7项； (2)如果且，求m，n的值； (3)记，，求一个正整数n，满足． 【详解】（1）根据题意，，，，，，，． （2）由已知，m，n均为奇数，不妨设． 当时，因为，所以，故； 当时，因为，而n为奇数，，所以． 又m为奇数，，所以存在，使得为奇数． 所以． 而，所以，即，，无解． 所以． （3）显然，n不能为偶数，否则，不满足． 所以，n为正奇数． 又，所以． 设或，． 当时，，不满足； 当时，，即． 所以，取，时， 即． 6．已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. (1)若，求的值； (2)若，且，求； (3)证明：存在，满足 使得． 【详解】（1）由题意可知：， 当时，则，故； 当时，则，故； 当时，则故； 当时，则，故； 综上所述：，，，. （2）由题意可知：，且， 因为，且，则对任意恒成立， 所以， 又因为，则，即， 可得， 反证：假设满足的最小正整数为， 当时，则；当时，则， 则， 又因为，则， 假设不成立，故， 即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以. （3）因为均为正整数，则均为递增数列， （ⅰ）若，则可取，满足 使得； （ⅱ）若，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则， 可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得； （ⅲ）若， 定义，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则， 可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 即满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得. 综上所述：存在使得． 考向07 数列定义新性质 赋予数列新的特性，如“对数凹性”“周期性”，并要求判断或运用这些性质。解题时，需准确理解新性质的数学定义，将其表达式代入数列项中进行验证；可借助函数思想与差分方法进行分析，对于含参数的情形应分类讨论，始终紧扣性质的本质内涵进行严谨推导，提升解题的准确性与深度。 1．(2023·四川·模拟)对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【详解】由可得，， 由可得，所以，故选：D. 2．(2024·四川·模拟)在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（    ） A．714 B．1870 C．4895 D．4896 【答案】C 【详解】由题意，数列满足，即，两边同乘以，可得，则.故选：C. 3．若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，得，故只需考虑时，，． 因为，只需要， 即，整理得． 令，则， 所以对任意的恒成立，所以数列为递增数列， 则，所以，即的取值范围为．故选：C． 4．(2024·湖南·模拟)如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 【答案】B 【详解】由题干条件，即，也即数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则数列增长尽可能缓慢，需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，因为，则，，，所以，采用累加法， 令，即，解得，当时，，符合题意；当时，，无法构造“速增数列”满足题意，故选：B. 5．(2024·安徽·模拟)基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若，求数列的最小项； (2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若，求证：数列具有性质． 【详解】（1），当且仅当，即时，等号成立， 数列的最小项为． （2）数列具有性质．， ，数列满足条件①． 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质． （3）先证数列满足条件①：． 当时， 则，数列满足条件①． 再证数列满足条件②： （，等号取不到）为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质. 6．已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. 【详解】（1）由题意得，则或， 故所有4的1减数列有数列和数列3，1. （2）因为对于，使得的正整数对有个， 且存在的6减数列，所以，得. ①当时，因为存在的6减数列， 所以数列中各项均不相同，所以. ②当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项，所以. 若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2， 所以，不符合题意，所以. ③当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项，所以. 综上所述，若存在的6减数列，则. （3）若数列中的每一项都相等，则， 若，所以数列存在大于1的项， 若末项，将拆分成个1后变大， 所以此时不是最大值，所以. 当时，若，交换的顺序后变为， 所以此时不是最大值，所以. 若，所以， 所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大， 所以此时不是最大值，所以. 若数列A中存在相邻的两项，设此时中有项为2， 将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为， 所以此时不是最大值， 所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式. 设其中有项为2，有项为1， 因为存在2024的减数列，所以， 所以， 所以，当且仅当时，取最大值为512072. 所以，若存在2024的减数列，的最大值为512072. 考向08 数列定义新概念 创设诸如“min点”“逆序对”等全新概念，要求首先深刻理解其内涵，方可进一步解题。解题时应逐字剖析概念定义，厘清其适用条件；通过具体例题或有限项进行验证，将陌生概念巧妙转化为熟悉的数列运算形式，严格依据定义步步推进，做到“照章办事”，确保推理严谨、过程清晰。 1．(2024·四川·模拟)若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是 “平方递推数列” D．是 “平方递推数列” 【答案】C 【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以.又， 所以 则，，所以，不是等差数列， 所以AB不正确.对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确.对于D，因为 ，所以不是 “平方递推数列”， D 不正确.故选：C 2．(2024·江苏·模拟)（多选）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（    ） A．等差数列是等差比数列 B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列等差比数列 【答案】BCD 【详解】等差数列若为常数列，则，无意义，所以等差数列不一定是等差比数列，A选项错误；若公比为的等比数列是等差比数列，则不是常数列，， ，即该数列的公比与公差比相同， B选项正确.若数列是等差比数列，则，所以数列是等比数列，故C选项正确； 若数列是等比数列，公比为，则，所以数列等差比数列，故D选项正确故选：BCD. 3．(2024·重庆·模拟)（多选）设是各项为正的无穷数列，若对于，（d：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列为等方差数列 C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项 D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得 【答案】ACD 【详解】对于选项B：若时，则，，则不为定值， 所以数列不是等方差数列，故B错误； 对于选项ACD：若是等方差数列，则为常数， 所以数列是以为首项，公差为d的等差数列，故A正确；可得， 当时，则总存在正整数，使，与矛盾，故恒成立，， 有，， 即，，有， 则，由随的增大而增大，故总存在正整数使，即数列中存在小于1的项，故C正确； 由，故， 则， 可得， 由随n的增大而增大，且时，，故对任意的，总存在正整数n使，即总存在正整数n，使得，D正确； 故选：ACD． 4．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（     ） A．156 B．157 C．158 D．159 【答案】B 【详解】设该二阶等差数列为，则；由二阶等差数列的定义可知，所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，所以，所有上式累加可得，所以；即该数列的第13项为.故选：B 5．(2023·湖北·模拟)将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】若，则，由构成的逆序对有， 若数列的第一个数为，则至少有个逆序对， 若数列的第二个数为，则恰有2个逆序对的数列为， 若数列的第三个数为，则恰有2个逆序对的数列为或， 若数列的第四个数为，则恰有2个逆序对的数列为， 综上恰有2个逆序对的数列的个数为个.故选：B. 6．(2024·湖北·模拟)对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． (1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． (2)记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． (3)设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 【详解】（1）是等差数列，设， 令，则是等差数列，是等比数列， 所以数列是“优分解”的． （2）因为数列是“优分解”的，设， 其中， 则． 当时， 当时，是首项为，公比为的等比数列． （3）一方面，数列是“优分解”的，设， 其中，由（2）知 因为，所以． 是首项为2，公比为的等比数列． 另一方面，因为是“优分解”的，设， 其中， 是首项为2，公比为的等比数列， ，且， 化简得， 即数列是首项，公比为的等比数列． 又， 又解得， 综上所述，． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．等差数列的前项和为，则的最大值为（    ） A．60 B．50 C． D．30 【答案】D 【详解】由和，由于为等差数列，且，所以当时，,故的最大值为， 故选：D 2．定义，已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 【答案】C 【详解】依题意得，又，所以．故选：C． 3．已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【详解】等差数列，，，，，则取最大值时，.故选：A. 4．设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【详解】由，得，即，所以数列为递增的等差数列. 因为，所以，即， 则，，所以当且时，； 当且时，.因此，有最小值，且最小值为. 故选：A. 5．定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：因为为等差数列，则，可知对任意，当时，，不满足有界数列的定义，故A错误；对于选项B：因为，则，可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故B错误；对于选项C：当为偶数时，， 可知对任意，当时，，不满足有界数列的定义，故C错误；对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列，则，可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确；故选：D. 6．设数列的前项和为，，且，若恒成立，则的最大值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【详解】因为，所以，所以数列是常数列，又，所以，从而，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故． 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．设，则，从而．记，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，又，，，且，所以的最小值是，所以．故选：B 二、多选题 7．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为 【答案】BCD 【详解】由题意可设公差为，则有 由有：，故A错误； 故B正确； ，由二次函数的性质可知： 当时，取得最小值，故C正确； 因为， 所以 所以为等差数列，公差为4，首项为， 所以的前项和为：故D正确. 故选：BCD. 8．已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（    ）． A． B． C．当或6时，取得最大值为30 D．数列与数列共有671项互为相反数 【答案】ABC 【详解】数列为等差数列，前n项和为，，公差， 则有，A正确； 因为，所以，B正确； 因为，即数列为递减等差数列，且当时，， 因此数列的前5项均为正，第6项为0，从第7项起为负， 所以当或6时，取得最大值，C正确； 令数列的第n项与数列的第m项互为相反数，即， 于是，而，则为偶数，令，有， 因此数列与数列成互为相反数的项构成等差数列，且， 显然，即，又，则， 所以数列与数列共有670项互为相反数，D错误. 故选：ABC 三、填空题 9．数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时 . 【答案】 【详解】由可得且，故当时，取最小值. 故答案为：. 10．数列中，．定义：使数列的前项的积为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于 . 【答案】 【详解】因为，所以， 设，则，所以为的整数次幂，因为，所以，故满足条件的，，，，，，，，，故区间内的所有期盼数的和为：． 故答案为：． 11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和 . 【答案】1012 【详解】由等和数列概念可得，，，，，所以.故答案为：1012 12．若数列满足，（，，P为常数），则称为“等方差数列”．记为正项数列的前n项和，已知为“等方差数列”，且，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】因为，，所以，则，又为“等方差数列”，所以，即，所以， 则，即，故，又，所以； 当时，； 当时，符合上式，故，则， 设，所以，则， 又得，所以时，，即，函数单调递增， 即数列在上为递增数列，当时，此时取最小值，又，所以的最小值是. 故答案为：. 四、解答题 13．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式; (2)求使成立的的最小值. 【详解】（1）数列为公差不为0的等差数列，，， ，解得， ； （2），， 或，使成立的的最小值为2． 14．已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）数列的首项，可得， 而，故，故， 即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即. （2）若恒成立，即为，即恒成立， 设，可得，. 即数列是单调递减数列，可得， 所以，即实数的取值范围是 15．已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列， 又，所以. 当时，由，得， 两式相减得， 又是等比数列，所以，所以，解得， 所以，当时上式成立， 所以； （2）由（1）知， 所以， 又，所以. 16．设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 数列、不等式交汇及其最值范围与新定义题型全析 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：数列是高考数学的核心考点，命题形式灵活多样，覆盖基础与综合应用。小题侧重考查等差、等比数列的基本概念、性质及递推关系，常与函数、导数等知识融合，体现综合性趋势。解答题难度多为中等或略高。此类题目通常先考查数列通项和数列基本性质，继而深入至求和问题，并与不等式、函数、最值等交织融合。在掌握等差、等比数列求和的基础上，重点考查“裂项相消”“错位相减”等进阶求和方法，尤其强调“放缩法”的运用与思想渗透。同时，数列与数学归纳法的结合亦具考查潜力，值得重点关注与准备。 预测2026年： 考向01利用数列的函数特征求最值项 考向02 等差数列前n项和的最值 考向03 数列不等式恒成立求参数范围 考向04 数列不等式能成立（有解）求参数范围 考向05 数列求和与不等证明 考向06 数列定义新情境 考向07 数列定义新性质 考向08 数列定义新概念 考向01 利用数列的函数特征求最值项 求解数列通项最值问题，需依据通项公式形式，将其视为关于n的函数，结合函数单调性、二次函数性质（对称轴、开口方向）、分式函数性质等分析，同时兼顾n为正整数的限制，通过计算相邻项或结合函数性质确定最值。 1．(2024·上海·模拟)数列的最小项的值为 . 2．(2024·安徽·模拟)已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．(2025·浙江·模拟)已知数列满足，则数列中的最小项为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5．(2024·湖北·模拟)（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 7．(2024·河南·模拟)已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．(2024·辽宁·模拟)数列中， ，若数列是等差数列，则最大项为（   ） A． B．或 C． D． 9．(2024·山东·模拟)已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（    ） A．63 B．64 C．71 D．72 10．(2025·河南·模拟)（多选）已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（    ） A． B． C．数列的最大项为 D．数列的最小项为 11．已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 12．已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的最大项. 考向02 等差数列前n项和的最值 求等差数列前n项和最值，常用两种方法： 1.函数法：将等差数列前n项和化为二次函数，根据抛物线顶点确定最值位置，取邻近正整数； 2.通项符号法：分析通项的符号变化，找正负转折点，项由正转负时和取最大，反之取最小。 函数法直观，适合参数明确；符号法重单调性，利于判断趋势，据题选用更高效。 1．(2025·山东·模拟)已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．(2025·河北·模拟)已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（  ） A．20 B．24 C．36 D．40 4．(2025·湖北·模拟)已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（    ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 5．(2026·浙江·模拟)已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 6．已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 7．(2025·湖南·模拟)设是等差数列的前项和，，则的最小值为 ． 8．设数列的前n项和为，且，，则的最小值是 . 9．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为 ． 10．已知为R上单调递增的奇函数，在数列中，，对任意正整数n，，则数列的前n项和的最大值为 . 11．(2024·四川·模拟)已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 12．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 13．已知等差数列是递减数列，设其前项和为，且满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最大值及相应的的值． 14．设数列的前项和为，当时，有． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，，求的最大值． 考向03 数列不等式恒成立求参数范围 求解数列不等式恒成立问题常用方法： 1.分离参数，然后求转化成数列求最值问题； 2.构造函数，然后利用用导数分析单调性求最值或极值。 同时，时刻警惕题目是“恒成立”还是“存在性”问题。 1．(2025·山东·模拟)已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 2．(2025·海南·模拟)数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(2025·甘肃·模拟)已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(2025·吉林·模拟)已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 5．(2025·福建·模拟)已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 7．(2025·重庆·模拟)已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．(2025·陕西·模拟)已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 10．(2024·江苏·模拟)已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数k的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 11．(2024·宁夏·模拟)已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 12．(2024·天津·模拟)设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 考向04 数列不等式能成立（有解）求参数范围 数列不等式的“能成立”问题（也常被称为“存在性”问题），在高中数学尤其是高考压轴题中占有重要地位。与“恒成立”要求所有情况都满足不同，“能成立”只需要存在至少一个满足条件的项或参数。解题关键是转化为数列最值与参数的比较，即存在 n 使得不等式成立等价于数列的最大值大于或最小值小于参数。解题时需先利用单调性等方法求出最值，再建立关于参数的不等式求解。 1．(2025·山东·模拟)公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．(2026·辽宁·模拟)记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．(2024·内蒙古·模拟)设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（    ） A．11 B．12 C．20 D．21 4．(2024·浙江·模拟)已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(2025·山东·模拟)已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 6．(2024·浙江·模拟)已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 . 7．已知等比数列的首项且公比，且，记的前项和为，前项积为，则当不等式成立时，的最大值为 ． 8．(2023·黑龙江·模拟)已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ． 9．(2024·河北·模拟)已知数列的前项积为，若，则满足的正整数的最小值为 . 10．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 11．已知数列对任意满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值． 考向05 数列求和与不等证明 证明数列不等式，首先观察结构，尝试放缩法，这是核心技巧。其次考虑数学归纳法，尤其适合与自然数n相关且结构清晰的命题。对于函数背景强的问题，可构造函数利用单调性分析。此外，基本不等式、裂项相消、递推关系等也常是关键。务必灵活选择，综合运用。 1．(2022·新高考全国I卷)记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 2．(2025·辽宁·模拟)已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 3．(2025·重庆·模拟)已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 4．(2024·广东·模拟)设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 5．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列；（ii）证明 考向06 数列定义新情景 将数列嵌入具体情境或文化背景，例如“三角垛”“角谷猜想”等，重在从实际情景中抽象出数列的内在关系。解题时，应先深入理解情境含义，将其转化为递推关系或通项公式模型；通过手动计算前几项以发现规律，再结合等差、等比数列的基本公式进行求解，同时剔除情境中干扰性的无关信息，聚焦数学本质。 1．(2024·云南·模拟)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（    ） A．170 B．168 C．130 D．172 3．(2024·天津·模拟)数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．(2024·江西·模拟)设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（   ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 2．(2025·湖北·模拟)已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为. (1)求； (2)设数列满足，求数列的前项和. 5．(2024·广东·模拟)无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． (1)写出这个数列的前7项； (2)如果且，求m，n的值； (3)记，，求一个正整数n，满足． 6．已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. (1)若，求的值； (2)若，且，求； (3)证明：存在，满足 使得． 考向07 数列新定义新性质 赋予数列新的特性，如“对数凹性”“周期性”，并要求判断或运用这些性质。解题时，需准确理解新性质的数学定义，将其表达式代入数列项中进行验证；可借助函数思想与差分方法进行分析，对于含参数的情形应分类讨论，始终紧扣性质的本质内涵进行严谨推导，提升解题的准确性与深度。 1．(2023·四川·模拟)对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．(2024·四川·模拟)在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（    ） A．714 B．1870 C．4895 D．4896 3．若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(2024·湖南·模拟)如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 5．(2024·安徽·模拟)基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若，求数列的最小项； (2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若，求证：数列具有性质． 6．已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. 考向08 数列定义新概念 创设诸如“min点”“逆序对”等全新概念，要求首先深刻理解其内涵，方可进一步解题。解题时应逐字剖析概念定义，厘清其适用条件；通过具体例题或有限项进行验证，将陌生概念巧妙转化为熟悉的数列运算形式，严格依据定义步步推进，做到“照章办事”，确保推理严谨、过程清晰。 1．(2024·四川·模拟)若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是 “平方递推数列” D．是 “平方递推数列” 2．(2024·江苏·模拟)（多选）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（    ） A．等差数列是等差比数列 B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列等差比数列 3．(2024·重庆·模拟)（多选）设是各项为正的无穷数列，若对于，（d：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列为等方差数列 C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项 D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得 4．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（     ） A．156 B．157 C．158 D．159 5．(2023·湖北·模拟)将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．(2024·湖北·模拟)对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． (1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． (2)记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． (3)设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．等差数列的前项和为，则的最大值为（    ） A．60 B．50 C． D．30 2．定义，已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 3．已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 5．定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（    ） A． B． C． D． 6．设数列的前项和为，，且，若恒成立，则的最大值是（   ） A． B． C． D．8 二、多选题 7．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为 8．已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（    ）． A． B． C．当或6时，取得最大值为30 D．数列与数列共有671项互为相反数 三、填空题 9．数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时 . 10．数列中，．定义：使数列的前项的积为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于 . 11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和 . 12．若数列满足，（，，P为常数），则称为“等方差数列”．记为正项数列的前n项和，已知为“等方差数列”，且，，则的最小值是 ． 四、解答题 13．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式; (2)求使成立的的最小值. 14．已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 15．已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 16．设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $