精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

香坊区2025—2026学年度上学期教育质量综合评价学业发展水平监测 数学学科（九年级） 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 中华文明源远流长，数学与艺术在传统文化中交相辉映，绘就了许多充满智慧的精美图案．下列图形中，属于轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形；根据轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合的图形；即可解答． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形(绕中心旋转与自身重合)； B、是轴对称图形(有多条对称轴)，但绕中心旋转后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故选：B． 3. 2025年11月9日，第十五届全国运动会在广东奥林匹克中心开幕，本届运动会共有14000余名运动员参加竞技比赛项目．将14000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故选：B． 4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．得到从几何体正面看得到的平面图形即可． 【详解】解：从正面看得到3列正方形的个数依次为2，1，1． 故选：C． 5. 如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和正切三角函数的应用，熟练掌握正切三角函数的概念是解题的关键．先用勾股定理求出的长，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴, ∴． 故选：D． 6. 按图中规律，第⑩个图形中黑色三角形的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，正确找出规律是解题的关键．找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第个图案中有个，即个， 第个图案中有个，即个， 第个图案中有个，即个， 第个图案中有个，即个， ， ∴第个图案中有个． ∴按此规律，第⑩个图案中有个黑色三角形． 故选：B． 7. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可． 【详解】解：根据平移法则得新抛物线的解析式为： ． 故选：C． 8. 将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线分线段成比例定理，关键是知识点的灵活应用； 由折叠可得，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：，C选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，D选项错误，符合题意； 故选：D． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质得出，，根据勾股定理求出，证明，得出，证明垂直平分，得出，根据三角形面积得出，求出，求出即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 10. 如图1，在中，，点分别为边上的一点，，连接，点，分别为上的一个动点，连接，若，，设，，点从点运动到点的过程中，当关于的函数的部分图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质． 证明是等边三角形，得到，进而得到，根据得到，根据三角形外角的性质得到，即，证明得到，可知当时，，即，作，根据三线合一及勾股定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵当时，， ∴， 即当时，， ∴， 作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠4． 【解析】 【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，x-4≠0， 解得，x≠4， 故答案为x≠4． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式分母不为0是解题的关键． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，先化简，，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为 13. 把多项式分解因式的结果为____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解： = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，常见的方法有：提公因式法，公式法． 14. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键，先分别解两个不等式，再求不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 15. 如图，是的切线，为切点，直线交于两点，点为弧上一点，连接，若，则______度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质， 先根据圆内接四边形的性质求出，进而求出，再根据切线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． 故答案为：40． 16. 定义运算：，例如：，则的运算结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据定义运算规则，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 17. 不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2， 所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 18. 如图，为的直径，为弦，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点，连接并延长交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；若直线经过点，，则弧的长为______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，解直角三角形，等腰三角形的性质，尺规作图等知识点．连接，由作图可得，，垂直平分，求出，由,，得到，，然后解，求出，再由弧长公式即可求解． 详解】解：连接， 由作图可得，，垂直平分， 设， ∴， ∴ ∴在中，由得，， ∴， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴在中， ∴弧的长度： 故答案为：． 19. 在，，，点为直线上一点，若，，则长为______． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形，根据题意，分点D在边上和在边延长线上两种情况，结合解直角三角形求出的长即可解答． 【详解】解：当点D在边上时，如图， ∵在中，，，， ∴ ∴设，则， 又， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当点D在边延长线上时，如图， 同理可得． 综上，的长为3或5． 故答案为：3或5． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论： ①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】①运用反比例函数几何意义得出，求解即可； ②运用反比例函数几何意义得出，推出，再比较即可； ③首先求出，并根据勾股定理求值，再将绕逆时针旋转至，证明，得到，最后求出点，点坐标，即可求出直线的解析式； ④运用轴对称的性质得到当点、点、点三点共线时，有最小值，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：①：∵点和点在同一反比例函数上， ∴，即， ∴． 故①符合题意； ②：∵正方形， ∴， ∵点和点在同一反比例函数上， ∴ 即 ∴ ∴点为中点时，，则点为的中点， 故②不符合题意； ③由②可得， ∴， ∴等腰直角三角形． ∵， ∴． ∵将绕逆时针旋转至， ∴， ∴，，．． ∴． ∴三点共线， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，点． ∵设直线的解析式为：， 代入点，点， ， 解得：． ∴设直线的解析式为：． 故③符合题意； ④：作点关于的对称点点，连接， 当点、点、点三点共线时，有最小值． ∵正方形，且边长为， ∴，． ∵点关于的对称点点， ∴． 在中， ∴． 即的最小值为， 故④不符合题意． ∴符合题意的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、图形的旋转、面积的计算等，综合性强，难度较大． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将括号内的式子通分运算，再将除法化为乘法进行约分计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，，都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出以为一边的（点为格点），使其面积为4，且一个角的正切值为； （2）在图2中，画出以为底边的等腰（点为格点），且，再作出边上的高（保留作图痕迹，体现作图过程）．此时，线段与的比值为______． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）在方格纸中作，使其正切值为，由三角形的面积，确定点和点的位置即可； （2）由矩形的性质，可得点，结合等腰三角形的判定和性质，可得，根据勾股定理，结合三角形的面积公式，可得线段与的比值． 【小问1详解】 解：如图，的面积为，的正切值为． ， ． 【小问2详解】 解：如图，是以为底边的等腰三角形，为边上的高． ∵，， ∴是以为底边的等腰三角形， 由矩形的性质可得为的中点， ∴， ∴是边上的高， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段与的比值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，三角形的高相关的计算． 23. 如图，四边形是矩形，点在第四象限函数的图象上，点在第一象限函数的图象上，交轴于点，点与点在轴上，，连接，． （1）求的值； （2）过点作直线，求直线的解析式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质、反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． （1）先根据矩形的性质和线段比设线段的值，再根据点在反比例函数上求点坐标，并求出，然后证明四边形是矩形，根据等积法求出点坐标，将点代入，即可求解； （2）先求直线解析式，再根据，值相同，设直线解析式，最后将点代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，设，则． ∵点在函数的图象上， ∴，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． ∵点在函数的图象上， ∴． 【小问2详解】 ∵由（1）得四边形是矩形， ∴，， ∵，． ∵设直线解析式， ∴， 解得． ∴直线解析式． ∵设直线解析式， 又∵， ∴， ∵点在直线上， ∴代入点 解得． ∴直线解析式． 24. 如图，等边中，点在上，点在上，且，与交于点，在上方作等边，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据证明． （1）根据等边三角形的性质和证明，再证明，最后利用平行四边形的判定进行证明即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的性质，等边三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ．在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ． ， ， ．， ， ． 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 与相等的角有 25. 年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． （1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】（1）甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； （2）最多可以采购个乙种型号玩偶． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． 【小问2详解】 解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶． 26. 内接于，为直径，弦交于点，连接，点在弧上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作交于点，交于点，点为中点，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据相等的圆心角所对的弦相等论证即可； （2）利用截长补短法做辅助线论证即可； （3）通过辅助线构造三角形全等，将构造在直角三角形中，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 证明：连结， ∵， ， ， ， ， ∵， ∵， ． ，， ． ． 【小问2详解】 证明：在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：延长至，使，连接， 作交延长线于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接， ∵是的中点，， ， ∴， ∴， ，， ， ∴ ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， 为直径， ， ∵中，， ， ，，． 中，， 中，， ， ∵， ， 为直径， ， 中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角的性质、三角形中位线的性质、解直角三角形，关键是添加辅助线构造直角三角形． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在轴上且在点的下方，点在上，，连接，，点为中点，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再将点代入可得的值，即可得抛物线的解析式； （2）作轴于点，轴于点，先求出，可得， 中，．中，．可得，得出．，再由三角形面积公式求解即可； （3）作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，先求得．再证明．可得．．．再列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于点， ． ． ． ． ， 解得：． ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：时， 解得：． ，即， 作轴于点，轴于点， 可得， 中，． 中，． ， 得出． ． ， ； 【小问3详解】 解：作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，得矩形，矩形， ． ， ， ， ， 轴, ． ．． ，得出． ． ． ． 设， ． ． ． ． 中，． 中，． ． ，（舍）． ． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，用点的坐标表示三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香坊区2025—2026学年度上学期教育质量综合评价学业发展水平监测 数学学科（九年级） 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 中华文明源远流长，数学与艺术在传统文化中交相辉映，绘就了许多充满智慧的精美图案．下列图形中，属于轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年11月9日，第十五届全国运动会在广东奥林匹克中心开幕，本届运动会共有14000余名运动员参加竞技比赛项目．将14000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图为人行天桥示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 按图中规律，第⑩个图形中黑色三角形的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新的抛物线为（ ） A. B. C. D. 8. 将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，点分别为边上的一点，，连接，点，分别为上的一个动点，连接，若，，设，，点从点运动到点的过程中，当关于的函数的部分图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 12. 计算：______． 13. 把多项式分解因式结果为____． 14. 不等式组解集为______． 15. 如图，是的切线，为切点，直线交于两点，点为弧上一点，连接，若，则______度． 16. 定义运算：，例如：，则的运算结果是______． 17. 不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是_____． 18. 如图，为的直径，为弦，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点，连接并延长交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；若直线经过点，，则弧的长为______（结果保留）． 19. 在，，，点为直线上一点，若，，则的长为______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论： ①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，，都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出以为一边的（点为格点），使其面积为4，且一个角的正切值为； （2）在图2中，画出以为底边的等腰（点为格点），且，再作出边上的高（保留作图痕迹，体现作图过程）．此时，线段与的比值为______． 23. 如图，四边形是矩形，点在第四象限函数的图象上，点在第一象限函数的图象上，交轴于点，点与点在轴上，，连接，． （1）求的值； （2）过点作直线，求直线的解析式． 24. 如图，等边中，点在上，点在上，且，与交于点，在上方作等边，连接． （1）求证：四边形平行四边形； （2）不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）． 25. 年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． （1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 26. 内接于，为直径，弦交于点，连接，点在弧上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作交于点，交于点，点为中点，，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在轴上且在点的下方，点在上，，连接，，点为中点，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $