精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2024-2025学年上学期九年级数学期末考试卷

香坊区2024-2025学年度上学期教育质量综合评价学业发展水平监测 数学学科（九年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的为（ ） A. B. C. D. 2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，为的弦，将弧沿翻折恰好过点O，连接，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接、，且．数学小组做了如下的操作：以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于，；分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点；连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点是上任意一点，过点作交于点，连接并延长交的延长线于点．则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是抛物线部分图象，其对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标是，下列结论：①；②；③该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是；④若点和在抛物线上，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 二次函数的顶点坐标是________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是：_____． 13. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 14. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是_______． 15. 在半径为3的圆中，圆心角为的扇形的面积是________．（结果保留） 16. 如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一个长度不计的平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知他的眼睛离地面高度为，同时量得他与镜子的水平距离为，平面镜与旗杆底部的水平距离为，则可计算得旗杆高度为________． 17. 如图，是由相同的等边三角形组成的图案，第（1）个图案共有1个等边三角形，第（2）个图案共有3个等边三角形，第（3）个图案共有5个等边三角形，……，按此规律摆放，第（7）个图案中共有______个等边三角形． 18. 如图，四边形是的内接四边形，点O在四边形内部，过点C作的切线交的延长线于点P，连接，，若，，则的度数为________． 19. 在直角三角形中，，，，点P为直线上一点，连接，若，则的长为________． 20. 如图，在中，，点D为中点，过点B作，连接，交于点F，若，，，则的长为________． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，各顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点中心对称的图形； （2）将绕点A顺时针旋转得到，请画出，并直接写出点C到点的运动轨迹长（结果保留）． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点．点为一次函数上一点，过点B作x轴平行线，分别交y轴与反比例函数的图象于C，D两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，连接，求四边形的面积． 24. 综合与实践活动中，数学小组准备用无人机测量哈尔滨市松浦大桥的桥塔的高度（桥面以上部分），该学习小组设计了一个方案：如图，利用一架无人机从桥面上方点C沿水平方向飞行，，垂足为C，无人机在D处测得桥塔顶部A的仰角（）为，测得桥塔底部B的俯角（）为；从D点继续飞行至点E，在E处测得桥塔顶部A的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）（参考数据：，）． 25. 中央大街某特产店销售，两种特产．种特产进价为每件元，种特产进价为每件元．售出件种特产与件种特产总售价为元；售出件种特产与件种特产的总售价为元． （1）求、两种特产每件利润分别为多少元； （2）由于种特产供货紧张，每天只能购进件且按原价售完．种特产供货充足，按原售价进行销售，每天可售出件．经市场调查发现，种特产在原售价基础上每降价元，每天可多售出件（每件售价不低于进价），设该店每天销售这两种特产的总利润为元，总利润有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出这个最大值，并求出此时每件种特产降价多少元．（利润售价进价） 26. 已知，内接于，弦交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，弦，交于点G，垂足为H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，弦交于点Q，，若，，，求的半径． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点D在第三象限的抛物线上，连接交y轴于点E，设点的横坐标为，线段的长为，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）； （3）如图2，在（2）条件下，连接，过点A作，交第四象限的抛物线于点F，连接，点G在第一象限的抛物线上，连接交于点，，点K在上，连接，，过点作轴，交于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 香坊区2024-2025学年度上学期教育质量综合评价学业发展水平监测 数学学科（九年级） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：．，y是x的一次函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的二次函数，故该选项符合题意； ．右边不是整式，则y不是x的二次函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 3. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 4. 如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义即可得． 【详解】解：俯视图是指从上往下看几何体得到的视图．这个几何体的俯视图是由排在一行的三个小正方形组成， 观察四个选项可知，只有选项符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键． 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是， 故选：C． 6. 如图，是的直径，为的弦，将弧沿翻折恰好过点O，连接，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，翻折性质，垂径定理，等边三角形判定及性质等．根据题意连接，由翻折性质可知，继而利用圆周角定理得，再判断是等边三角形，即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ， 由翻折性质可知， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 8. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接、，且．数学小组做了如下的操作：以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于，；分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点；连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图—角平分线、角平分线的定义、圆周角定理，熟练掌握角平分线的定义、圆周角定理是解答本题的关键． 由直径所对的圆周角为可得，，可得，由作图过程可知，射线为的平分线，则，进而可得答案． 【详解】解：为半圆的直径， ， ， ， 由作图过程可知，射线为的平分线， ， ， 故选：A． 9. 如图，在中，点是上任意一点，过点作交于点，连接并延长交的延长线于点．则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解答本题的关键． 根据题意相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ，，， A、， ， ，即，故A选项正确； B、， ， ，即，故B选项正确； C、， ， ，即，故C选项正确； D、，， ， ，即，故D选项错误； 故选：D． 10. 如图，是抛物线的部分图象，其对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标是，下列结论：①；②；③该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是；④若点和在抛物线上，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴 ∴，， ∴，故①错误； ∵对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标是， ∴该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故③错误； 将代入，得， 由图像可知，此时图像在轴上方，故，故②正确； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故④正确； 综上所述，其中正确的有2个． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 二次函数的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式．根据题意由顶点式可以直接看出顶点坐标即为本题答案． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是：， 故答案为：． 13. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式．根据题意代入到上，计算出数值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， 故答案为：2． 14. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是， 故答案为：． 15. 在半径为3的圆中，圆心角为的扇形的面积是________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，利用扇形的面积公式可得答案． 【详解】解：半径是3的圆中，圆心角为的扇形的面积是． 故答案为：． 16. 如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一个长度不计的平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知他的眼睛离地面高度为，同时量得他与镜子的水平距离为，平面镜与旗杆底部的水平距离为，则可计算得旗杆高度为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆高度为． 故答案为：10． 17. 如图，是由相同的等边三角形组成的图案，第（1）个图案共有1个等边三角形，第（2）个图案共有3个等边三角形，第（3）个图案共有5个等边三角形，……，按此规律摆放，第（7）个图案中共有______个等边三角形． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查图形规律问题．根据题意找出图形规律即可得到本题答案． 【详解】解：∵第（1）个图案共有1个等边三角形，第（2）个图案共有3个等边三角形，第（3）个图案共有5个等边三角形， ∴第个图形将有个等边三角形， ∴第（7）个图案中共有：， 故答案为：13． 18. 如图，四边形是的内接四边形，点O在四边形内部，过点C作的切线交的延长线于点P，连接，，若，，则的度数为________． 【答案】##85度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质．连接，如图，先根据切线的性质得到，则利用互余计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，则，然后根据圆内接四边形的性质计算出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 19. 在直角三角形中，，，，点P为直线上一点，连接，若，则长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．先利用直角三角形的边角间关系及勾股定理计算出各边长度，再分“点P在线段上，在线段的延长线上”两种情况，分别计算即可． 【详解】解：在中， ，， 设，， ， ， ，，， 当点P在线段上时， ， ； 当点P在线段的延长线上时， ， ； 故答案为：或． 20. 如图，在中，，点D为中点，过点B作，连接，交于点F，若，，，则的长为________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形判定及性质等．连接，过点作，交于点，求出，继而得到，再证明，继而利用相似性质求解． 【详解】解：连接，过点作，交于点， ∴， ∵点D为中点，， ∴是的中位线，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的各顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点中心对称的图形； （2）将绕点A顺时针旋转得到，请画出，并直接写出点C到点的运动轨迹长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 分析】本题考查作图-旋转变换、勾股定理． （1）根据关于原点对称，横纵坐标互为相反数，依次得到，，的坐标，依次连接，，，即可；． （2）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解： ∵关于原点中心对称的图形是，，， ∴，，， 如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 由勾股定理得，， 由旋转的性质得，， ∴点C到点的运动轨迹长为． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点．点为一次函数上一点，过点B作x轴平行线，分别交y轴与反比例函数的图象于C，D两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，连接，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与几何面积结合问题． （1）根据题意先求出，继而求出反比例函数解析式； （2）过点作于点E，再求出，再求出，继而求出，再利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过A， ∴， ， 反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作于点E， ， ， ， 点在一次函数上， ； 轴， ，D点纵坐标为2， 点D在反比例函数上， ， ， ， ， ∴． 24. 综合与实践活动中，数学小组准备用无人机测量哈尔滨市松浦大桥的桥塔的高度（桥面以上部分），该学习小组设计了一个方案：如图，利用一架无人机从桥面上方点C沿水平方向飞行，，垂足为C，无人机在D处测得桥塔顶部A的仰角（）为，测得桥塔底部B的俯角（）为；从D点继续飞行至点E，在E处测得桥塔顶部A的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）（参考数据：，）． 【答案】（1）线段的长约为 （2）桥塔高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用． （1）根据题意设，由，得，继而得，再得，列式计算即可； （2）先计算，再得即可． 【小问1详解】 解：设，由，得， ，垂足为C， ， 中，，， ， 在中，，， ， ， 得， 答：线段的长约为； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 答：桥塔的高度约为． 25. 中央大街某特产店销售，两种特产．种特产进价为每件元，种特产进价为每件元．售出件种特产与件种特产的总售价为元；售出件种特产与件种特产的总售价为元． （1）求、两种特产每件利润分别为多少元； （2）由于种特产供货紧张，每天只能购进件且按原价售完．种特产供货充足，按原售价进行销售，每天可售出件．经市场调查发现，种特产在原售价基础上每降价元，每天可多售出件（每件售价不低于进价），设该店每天销售这两种特产的总利润为元，总利润有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出这个最大值，并求出此时每件种特产降价多少元．（利润售价进价） 【答案】（1）种特产每件利润元，种特产每件利润元 （2）种特产降价元时，总利润有最大值，最大值为元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，二元一次方程组的应用，得到能解决问题的相等关系是解答本题的关键． （1）根据售出件种特产与件种特产的总售价为元，售出件种特产与件种特产的总售价为元列出二元一次方程组，求解即可； （2）产品的利润产品的利润，把相关数值代入后可得二次函数，进而根据二次函数的性质可得每件种特产降价多少元时总利润最大及最大利润． 【小问1详解】 解：设种特产每件售价为元，种特产每件售价为元， 根据题意得：， 解得：， （元），（元）， 答：种特产每件利润元，种特产每件利润元； 【小问2详解】 解：设种特产降价元， 根据题意得：， ， 有最大值， 当时，最大，， 答：种特产降价元时，总利润有最大值，最大值为元． 26. 已知，内接于，弦交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，弦，交于点G，垂足为H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，弦交于点Q，，若，，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆、等腰三角形、三角形外角、全等三角形、勾股定理、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、全等三角形、三角函数和勾股定理的知识； （1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得；再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据直角三角形两锐角互余、圆周角的性质，得，再根据等腰三角形三线合一的性质推导，即可完成证明； （3）结合题意，根据圆和等腰三角形性质推导得，再根据全等三角形的性质，通过证明，推导得；再根据勾股定理和三角函数的性质，计算得，从而完成求解． 【小问1详解】 如下图，连接， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， 如图，连接， ∴ ， ， ， ； 【小问3详解】 如图，延长交于点，连接，过点B作，交于点， 设， ， ， ， ， ， ∵， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 设，， ， ， 又， ， 和中， ∴， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ，（舍）， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 的半径为． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在第三象限的抛物线上，连接交y轴于点E，设点的横坐标为，线段的长为，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，过点A作，交第四象限的抛物线于点F，连接，点G在第一象限的抛物线上，连接交于点，，点K在上，连接，，过点作轴，交于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式求出点，进而可得，再代入函数解析式即可求出； （2）过点D作轴于点，根据可得，进而可得，由此求解； （3）先求出，可得，证明，可得，即，进而列方程可得求出，由此得出，再求出线CF的解析式为，延长至点R，使，连接，再证明，可得，过点D作轴于点，证明，可得，，由此求出；将其代入得，，解得即可求解． 【小问1详解】 解：∵，交y轴的正半轴于点C， 当时，， ， ， ，． 将代入得： ，解得：． 该抛物线为； 【小问2详解】 解：过点D作轴于点， 当时，， ， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：对于，当时，， 解得：，， ， ， 在中，， ， 设点F的坐标为，过点F作轴于点N，如图， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ； 设直线CF的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ， 延长至点R，使，连接， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ， ， 过点D作轴于点， ， ， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ； 将其代入得，， 解得：，（舍）， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，并能够根据题意添加适当的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$