第07讲数列与不等式讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习数列专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦数列与不等式核心交汇考点，按基础层（通项与求和）、进阶层（放缩证明）、拔高层（跨模块综合）分层构建知识体系，通过思维导图梳理关联、高考分析明确考向、题型归纳突破方法、真题演练强化应用，帮助学生系统掌握解题策略。 讲义以数学思维培养为核心，设计“求通项-求和-证不等式”三段式教学流程，通过裂项/等比放缩技巧拆解、导数与数列结合的跨模块训练，提升学生逻辑推理与运算能力。设置基础巩固到拔高压轴题分层练习，配合易错点警示，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考实战能力。

第07讲 数列与不等式 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：比较大小 6 题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n的范围 9 题型03: 根据不等式恒成立求参数范围 16 题型04: 数列不等式存在求参数取值范围 52 题型05: 证明与通项有关的不等式 59 题型06: 直接求和证明不等式 63 题型07: 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 76 题型08: 先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 80 题型09: 与导数有关的数列不等式. 98 题型10: 数学归纳法证明数列不等式 105 题型11: 数列不等式与三角函数综合 109 题型12: 数列不等式与概率统计 115 题型13：新定义数列 119 巩固提升 123 一、 分值占比与题型分布 数列不等式是高考数学的核心交汇考点，分值占比约10-15分，常融合在数列解答题中，部分试卷会以选择/填空的压轴题形式出现。 1. 基础题型：选择/填空考查数列项的大小比较、简单的放缩判断、基本不等式求数列最值，难度中等偏易。 2.综合题型：解答题多为数列与不等式的交汇题，常作为次压轴题，以“求通项→求和→证明不等式”的三段式结构命题，部分新高考卷会结合新定义、实际情境（如数列模型的最优解问题）命题。 二、 核心考点与命题趋势 1. 核心考点 ◦ 基础层：等差/等比数列的通项与求和公式结合不等式的基本运算；利用数列单调性求最值；基本不等式的应用。 ◦ 进阶层：放缩法证明数列不等式（裂项放缩、等比放缩是高频考点）；数列不等式恒成立问题（转化为数列最值求解参数范围）；S_n与a_n互化后的不等式分析。 ◦ 拔高层：数学归纳法证明数列不等式；构造函数法结合导数处理复杂数列不等式；柯西不等式在数列最值中的应用（新高考卷偶有涉及）。 2. 命题趋势 ◦ 难度分层明显：基础题保分，综合题拉分，区分度高。 ◦ 注重方法迁移：强调放缩的“适度性”、函数与数列的转化思想，淡化复杂技巧，强化通性通法。 ◦ 情境化创新：结合实际问题（如增长率、产量优化）设置数列模型，考查不等式的实际应用。 一、 基础目标（全体学生必达） 1. 能结合等差数列、等比数列的通项与求和公式，解决简单的数列项或前n项和的不等式判断、求解问题。 2. 掌握基本不等式的使用条件，会用其求数列相关的最值，能通过作差、作商比较数列中两项的大小关系。 3. 理解数列单调性与不等式的关联，能通过作差法判断数列单调性，进而求解数列的最大、最小值。 二、 进阶目标（多数学生突破） 1. 熟练运用裂项放缩、等比放缩的基本技巧，证明形如 < k（k为常数）的数列不等式，把握放缩的“适度性”。 2. 能将数列不等式恒成立问题转化为数列最值问题，通过分析数列单调性或结合函数工具，求解参数的取值范围。 3. 掌握 与 的互化方法，能处理含 与 的不等式问题，且不遗漏n=1的检验步骤。 三、 拔高目标（尖子生冲刺） 1. 会用数学归纳法证明与自然数n相关的复杂数列不等式，能结合导数工具构造函数，利用函数单调性推导数列不等式。 2. 理解柯西不等式等拓展不等式的应用场景，能运用其优化数列不等式的证明过程，提升解题效率。 3. 具备解决新情境、新定义下数列不等式综合题的能力，能实现跨模块知识迁移，同时形成规范的解题书写逻辑。 数列中的不等式问题 一：比较大小 比较的大小,通常作差,转化为判断与0的大小,若,也可以转化为判断与1的大小. 二：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求的范围 此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解. 三：根据不等式恒成立求参数范围 不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为或的形式,再利用数列单调性或函数单调性,求的最值,然后确定的范围. 四：数列的能成立问题 五：证明与通项有关的不等式 求解此类问题,一般是先确定通项,再通过放缩或数列单调性证明. 六：直接求和证明不等式 七：先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 证明与前n项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再放缩. 八：先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求和的数列,再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足. 关于放缩： ①考虑放缩的方向； ②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形； ③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。 九：借助导数证明与前n项和有关的不等式. 求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用代换,通过累加或累乘法证明所给不等式. 十：数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 归纳奠基→（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立 归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件， 推出“当n=k+1时命题也成立” 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 一、 通项与求和类不等式解题策略 1. 基本量运算：针对等差、等比数列，利用通项公式 和前n项和公式列方程，求解,d,q等基本量，代入不等式直接判断或求解范围。 2. 与互化：务必检验n=1时是否与n≥2的通项一致，再结合不等式分析。 3. 求和技巧结合不等式： ◦ 错位相减、分组求和、裂项相消求出后，直接代入不等式求解参数范围或证明结论。 ◦ 若无法直接求和，可先对通项放缩，转化为可求和的数列（如等比数列），再通过求和结果推导不等式。 二、 不等式证明类解题策略 1. 放缩法（核心方法） ◦ 裂项放缩：适用于分式型通项，将拆成 - 的形式，放缩后可裂项求和，注意放缩的“度”，避免过度放缩导致证明失败。 ◦ 等比放缩：将非等比数列通项放缩为等比数列通项，利用等比数列求和公式放缩求和，常用于证明<k（k为常数）。 ◦ 单调性放缩：通过作差或作商判断数列{}的单调性，再结合不等式证明。 2. 数学归纳法：适用于与自然数n相关的数列不等式，步骤为：验证n=时成立→假设n=k时成立→推导n=k+1时成立，注意推导过程中需用到n=k的假设条件。 3. 构造函数法：将数列的通项公式转化为函数f(x)，利用导数判断函数单调性，得到f(x)的最值，进而推导数列不等式。 三、 恒成立与参数范围类解题策略 1. 分离参数法：转化为求数列哈函数f(n)的最大值或最小值。 2. 直接求最值法：若无法分离参数，通过分析数列的单调性（作差、作商或结合函数单调性），求出数列的最值，再根据恒成立条件列不等式求解参数范围。 3. 分类讨论法：当参数影响数列的单调性或通项形式时，按参数的不同取值范围分类讨论，分别求解后取并集。 四、 易错防范策略 1. 放缩法证明时，牢记“适度性”原则，可先尝试“紧放缩”，若无法证明再调整放缩幅度。 2. 处理S_n与a_n的关系时，不要忽略n=1的检验，避免分段通项的遗漏。 3. 求解参数范围时，注意数列的特殊性（n为正整数），函数的最值点若不是正整数，需比较最值点附近的正整数项的大小。 题型01： 比较大小 比较的大小,通常作差,转化为判断与0的大小,若,也可以转化为判断与1的大小. 【典型例题】已知数列的前n项和,且满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为,比较和的大小. 【答案】见解析 【解析】（1）因为 当时, 又因为时,也满足上式 所以当时,, （2）由,得 当时, 当时,,. 综上所述：当时,,当时,. 【变式训练1-1】已知函数. (1)若函数在点处的切线在两坐标轴上截距相等，求的值； (2)（i）当时，恒成立，求正整数的最大值； （ii）记，，且.试比较与的大小并说明理由. 【答案】(1)或；(2)（i）   （ii），证明理由见解析. 【解析】（1）求出切线，令切线过原点或切线斜率为即可； （2）（i）利用导数，求出的最小值，令求解即可； （ii）分别对和取对数，对进行放缩，再利用（i）的结论进行累加和裂项求和，证明即可. （1）由已知，定义域为， ∵， ∴，∴切点即， 又∵， ∴由导数的几何意义，函数在点处的切线斜率为， ∴函数在点处的切线方程为， 整理得，. 若切线在两坐标轴上截距相等，则 ①当切线过原点时，，解得，切线方程为， ②当切线不过原点时，斜线斜率，解得，切线方程为. ∴的值为或. （2）（i）由（1）知，，令，解得，， 若为正整数，则， ∴当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， ∴当时，的极小值，也是最小值为， 若当时，恒成立，则的最小值， 设，则， 当时，，在区间上单调递减， ∴当时，单调递减， 又∵，， ∴使的正整数的最大值为， ∴当时，使恒成立的正整数的最大值为. （ii），理由证明如下： ∵当且时， ∴ （）， 又∵，∴， ①当时，， ②当时， 由（i）知，，恒成立，， ∴当时，，，即恒成立， ∴， ∴ ， 综上所述，当且时，，即有. 【点睛】易错点睛：本题用到了两次放缩，一次是对的放缩，一次是应用题中证明结论进行放缩后裂项求和，如果直接进行第二次放缩，再求和时会发现放缩过度，导致无法证明，因此对进行了分类讨论，当时，不进行第二次放缩，当时，再进行二次放缩裂项求和. 题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n的范围 此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解. 【典型例题1】已知数列满足,且． (1)设,证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为,求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：∵, ,,,, 又, ,, ,, 又,,, ,即,, 又, ,, ∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列． （2）由（1）可知数列是以2为首项,2为公比的等比数列, ,即, ,, ,又, , 即, , , , 在是一个增数列, , , ∴满足题意的n的最小值是20． 【典型例题2】已知数列满足记数列的前项和为, (1)求证：数列为等比数列,并求其通项； (2)求； (3)问是否存在正整数,使得成立？说明理由. 【答案】见解析 【解析】（1） , 即, 所以, （2）,所以, 当为奇数时,可令, 则 , 当为偶数时,可令 则； （3）假设存在正整数,使得成立, 因为,, 所以只要 即只要满足①：,和②：, 对于①只要 就可以； 对于②,当为奇数时,满足,显然不成立, 当为偶数时,满足,即 令, 因为 由于的对称轴为,故在且为偶数,单调递减, 当时,,故 即,且当时,最大,且最大值为, 因此,, 所以当为偶数时,②式成立,即当为偶数时,成立 . 【变式训练2-1】已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值． 【答案】(1)（）；(2)5 【解析】（1）根据等比数列的性质结合条件是与的等比中项得到，联立条件得到和，根据题目条件和等比数列的通项公式即可求解. （2）根据（1）求得，利用错位相减求和得到，从而得到，通过函数法判断出是单调递减数列，即可求解. （1）因为是与的等比中项，所以， 则由题意得：，即，解得：或， 因为数列是递增的等比数列，所以，即，， 所以， 故数列的通项公式为（）. （2）由（1）得：（）， 则 ，① 即，② 则得： 即（）， 所以（）， 设，则（）， 因为在上单调递减， 所以是单调递减数列， 又有，， 所以当且时，成立， 故使成立的最大正整数的值为. 【变式训练2-2】已知为等差数列，公差为d，是公比为2的等比数列，且，． (1)证明：； (2)求集合的子集个数． 【答案】(1)证明见解析；(2)128个 【解析】（1）根据题意列出方程组即可证明结论； （2）根据题意化简可得，从而可求出集合中的元素个数，进而可求解其子集个数． （1）由题意知，即，消去得，所以原命题得证． （2）由（1）知，，， 所以， ，， 所以，即， 所以，，故可取，解得， 故集合中共有7个元素， 所以集合的子集个数为个． 【变式训练2-3】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，，求满足条件的的最小值. 【答案】(1)；(2)4 【解析】（1）设等差数列的公差为，由成等比，求得，再由，求得或者，进而得到，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）求得，得到， 令，进而得到的最小值. （1）解：设等差数列的公差为，因为成等比，所以， 可得，整理得， 又因为，所以， 因为，所以， 可得，解得或者， 当时， ，不合题意舍去； 当时， ，则， 所以数列的通项公式为. （2）解：由，可得， 所以， 当时， ， 令，可得， 即，解得，所以的最小值为. 【变式训练2-4】已知数列满足，且 (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)20 【解析】（1）通过构造得，则可得到的通项； （2）利用等比数列求和公式得，通过作差得，，则得到是一个增数列，计算即可得到答案. （1）因为 所以，，，所以． 又因为，所以，所以． 因为，所以， 又因为，所以，所以，所以， 即， 所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． （2）由（1）可知，所以， 所以， 又因为，所以，即，所以， 所以， 因为，， 所以是一个增数列， 因为，， 所以满足题意的n的最小值是20． 【变式训练2-5】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55． (1)求an、Sn； (2)若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n． 【答案】(1)an＝4n﹣1，；(2)19 【解析】（1）根据基本量求解首项与公差，进而求得an、Sn； （2）裂项相消求和可得，再根据得求解即可 (1)设等差数列{an}的公差为d，则，即，解得，故， (2)由（1）得，.故，令有，即，解得，故满足满足的最小正整数为19 【变式训练2-6】已知数列的前项和(为常数)，且构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值. 【答案】（1）；（2）11. 【解析】（1）由已知得、、，利用等比中项性质，得求b，根据与的关系求通项公式即可. （2）应用裂项求和求，根据数列不等式求的最大值即可. （1）当时，， 由，得， 由，得， ∴由题设，有：，可得，则， ∴当时，，又也满足通项公式， ∴的通项公式为. （2）由（1）知：， ∴，要使，即， ∴，即，，所以的最大值为11. 题型03: 根据不等式恒成立求参数范围 不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为或的形式,再利用数列单调性或函数单调性,求的最值,然后确定的范围. 【典型例题1】已知为等差数列,且,． (1)求的通项公式； (2)若恒成立,求实数λ的取值范围． 【答案】间解析 【解析】（1）设数列 的公差为d,则根据题意可得, 解得,则． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到, 又恒成立,则恒成立, 设,则, 当时,,即； 当时,,则,则； 则,故, 故实数λ的取值范围为． 【典型例题2】已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）证明见解析，；（ii）;(2) 【解析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得； （2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围. （1）（i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. （2）因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 【典型例题3】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4；(2)；(3). 【解析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． （1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 【典型例题4】记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式： (2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得，结合，可以求出的通项公式，再根据，计算数列的通项公式即可； （2）结合（1）知，，通过，得到，将分正偶数和正奇数两种情况分析讨论即可． （1）由，得， 因为，故，于是. 所以，易知，即. 当时，， 故，，当时，上式也成立， 所以，. （2）， 所以， 所以， 由，可得， 由于，若为偶数时，则， 由于，所以， 若为奇数时，则， 因为，所以， 所以． 故的取值范围为． 【典型例题5】已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）利用等差数列，等比数列代入计算； （2）利用错位相减法可得，讨论n的奇偶结合恒成立问题运算处理． (1)因为数列是等比数列，则可得，解得 所以． 因为数列是等差数列，且，，则公差， 所以． 故， (2)由（1）得：， 数列的前n项和为① 所以② 由①-②得：， 所以． 不等式恒成立，化为成立， 令且为递增数列，即转化为 当时，恒成立，取，所以． 当时，恒成立，取，，所以． 综上可得：实数的取值范围是． 【变式训练3-1】已知数列的前项和为，且满足．设，数列的前项和为． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）利用已知等式以及和的关系得到递推关系式，再根据定义证明数列是等比数列； （2）求出的通项公式及，进而求出，最后根据恒成立求出实数的取值范围． 解：（1）因为，① 所以，② ②-①得，． 所以，又， 即． 在①中，令得，， 又，所以． 所以，即．所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可得，， 所以， 所以时，． 当时，适合上式， 所以． 所以， 所以． 令，得，即恒成立． 令，则． 当时，， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前项和公式，考查考生的推理论证能力． 【变式训练3-2】已知等差数列中，，前12项和. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前项和为，若不等式，对所有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据等差数列中，，前12项和，求出公差，可求数列的通项公式. （2）把数列的通项公式代入，证明数列是等比数列，根据等比数列求和公式求得，求的最大值，从而可求出结果. （1）设等差数列的公差为， ， ， 即， ， 所以数列的通项公式 . （2），， ， 当时，， 数列是等比数列，，公比， ， 又不等式，对所有恒成立，所以. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前和项公式、等比数列的前和项公式、数列极限，不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生的基本运算能力，属于基础题. 【变式训练3-3】设数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式． （2）设，是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值． 【答案】（1）（2）5 【解析】（1）当时，根据求得判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得． （2）根据（1）中求得利用裂项法求得，进而根据，进而根据求得m的范围．判断出m的最大正整数. （1）依题意，，故， 当时， ① 又 ② ②―①整理得：，故为等比数列， 所以， ⑵由⑴知，，， = ，依题意有，解得， 故所求最大正整数的值为5． 【变式训练3-4】已知数列的前n项和为，且． （1）求出数列的通项公式； （2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】试题分析：（1）由已知，令可得，又，知数列是等比数列，写出通项公式；（2）已知可求得，当时，，所以数列是递减数列，此时，当时，，又，所以数列中最大的项是，从而即可． （1）由已知，令可得，又， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以． （2）有已知可求得，所以，则． 考点：1、数列的递推关系；2、等比数列的通项；3、作差比较大小；4、恒成立问题． 【变式训练3-5】已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设记数列的前项和为，求. (3)设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设出公差公比，由已知建立方程组，再由等差、等比通项公式求解即可； （2）通过错位相减法和裂项相消法求和即可； （3）通过裂项相消求和，再参变分离求最值即可求解. （1）设的公差为d，的公比为q．则，∴ ∴； （2）由（1）知， 所以， 所以， 令， ， 两式相减可得：， 所以， 令 ， 所以， （3）， 所以， 由恒成立可得： 恒成立， 即求当时的最小值， 对于，显然当递增，当时取最小15， 令，则， 显然当时，， 即当时取最大为， 所以的最小值为11， 所以， 所以实数的取值范围是 【变式训练3-6】已知数列中,,设为前项和,,已知数列,设的前项和． (1)求； (2)若对任意恒成立,求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）由可得：,, 上面两式相减得：,整理得：,, 所以数列是常数列,即,所以,则, 所以 两边同乘以2得： 两式相减得：, 即. （2）由可得：,整理得：, 当为偶数时,上面不等式可化简为：, 利用该数列单调递增性可知：,所以, 当为奇数时,上面不等式可化简为：, 再利用该数列单调递减性可知：,所以, 综上可得：. 【变式训练3-7】设为正项数列的前项和，满足. （1）求的通项公式； （2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围； （3）设（其中是自然对数的底数），求证：. 【答案】（1）（2）（3）证明见解析； 【解析】（1）根据题中的关系式，利用得出数列是等差数列，可得通项公式； （2）时，求出的范围，接着证明的此范围对的正整数都成立，首先由，放缩，然后结合二项式定理证明结论； （3）根据（1）中的结论得到数列的通项公式，求出变形并放缩 ，再由当时， 放缩裂项相消法求和证明结论. （1）∵， ∴， 两式相减，得， 即， ∴， ∵为正项数列，∴， 又由，解得或（舍去）， ∴. （2），即， 当时，， 解得且， 下面证明当且时，对任意正整数都成立， 当时，， ∴， 又当时，上式显然成立， 故只要证明对任意正整数都成立即可， 又， ∴实数的取值范围为. （3）证明：由题得， ∵ ， ∴.当时， ， ∴ . 【点睛】本题考查已知与关系求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题以及不等式的证明．在利用时，注意，数列不等式恒成立，可从特殊值出发，如时成立得出参数的范围，然后再考虑它对时是否也成立．不等式的证明，根据不等式的形式首先考虑能否求和，.由于是不等式可能考虑用放缩法，适当放缩后再求和．本题对学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力要求较高，属于困难题． 【变式训练3-8】已知数列是首项的等差数列，设. (1)求证：是等比数列； (2)记，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)证明见解析.；(2)；(3)11 【解析】(1)运用等差数列的通项公式，可得公差，进而得到，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证； (2) 由（1）得 ，再利用裂项相消法求和即可； (3)根据题意，求得，设，判断其为单调递增，求得最小值为，再由恒成立思想可得的范围，进而得到整数的最大值. （1）解：由及，得，所以. 因为，所以，即. 则，所以数列是首项，公比的等比数列. （2）解：由（1）得，所以 （3）解：因为， 则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立. 设，则 . 所以，故的最小值是. 由，所以，则整数可取最大值为11. 【变式训练3-9】已知数列的前n项和为，满足： (1)求证：数列为等差数列； (2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）利用关系可得，即有，将两式相减并整理有，即可证结论. （2）由（1）结论及题设可得，令、，应用作差法比较它们的大小，即可确定的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围． （1）由题设，，则 ， 所以，整理得，则， 所以，即，， 所以，故数列为等差数列，得证. （2）由，可得，又，结合（1）结论知：公差， 所以，故，则， 所以，且， 所以，即， 所以，在且上递减，则， 要使对任意恒成立，即， 所以. 【变式训练3-10】已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【解析】(1) 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式. (2)由错位相减法即可求出前项和. (3)由(1)可知，整理可得，由裂项相消法可得 ，由恒成立可得恒成立，结合的单调性即可求出实数的最大值. (1)设等差数列的公差为， ，，. 设等比数列公比为（其中），因为， 由，可得，解得或（舍去）； 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则①． ② 由①减去②得， 则，所以的前n项和. （3）由(1)可知，， 则 恒成立，恒成立， 单调递增，时，，最大值为. 【点睛】常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等. 【变式训练3-11】已知数列的前n项和为，． (1)求； (2)若，对任意的，，，求 的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）利用和的关系可得，进而即得； （2）由题可得，令，然后求数列的最小值即得. （1）由， ， 可得，即， 所以， 所以， 令，可得，令，可得， 所以为奇数时，， 当为偶数时，， 即； （2）因为，， 当时，， 令，则 当时， ， 所以，当时，， 所以的最小值为， 所以. 【变式训练3-12】已知等差数列 满足：的前n项和为 ． (1)求及 ； (2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) ；(2). 【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可列出方程组，即可求得d，进而求得答案； （2）利用裂项求和法求得数列的前n项和，说明，结合数列不等式恒成立可求得参数的范围. （1）设等差数列的公差为d， 由题设可得： ，解得：， ∴ ， ； （2）由（1）可得：， ∴ ， 又恒成立，∴，即实数m的取值范围为[，+∞）． 【变式训练3-13】已知数列的前n项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）利用与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即得； （2）利用错位相减法求出，然后分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解. （1）当时，，解得， 当时，由有，两式相减可得， 即是以为首项，以为公比的等比数列， 所以． （2）由得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 由，得， 即恒成立． 当时，，所以； 当时，不等式恒成立； 当时，，所以； 综上，． 【变式训练3-14】已知等比数列的前项和为，且，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， ；，；(2) ． 【解析】（1）设等比数列的公比为，由求得公比，再由求解；进而由求解. （2）由对于任意的恒成立，令，，求得其最小值即可. （1）解：设等比数列的公比为， 由，显然，所以，解得， 由于，所以的通项公式为，； 所以，， 所以的通项公式为，． （2）因为恒成立，即对于任意的恒成立． 令，， 则， 当时，所以，即的最小值为， 所以实数的取值范围为. 【变式训练3-15】设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立. (1)求数列，的通项公式； (2)设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前n项和公式即可求解； （2）利用（1）得出的通项公式，再利用错位相减法求出，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解. （1）设等差数列的首项为，公差为则 由，得即 由①得，由②得，由③得， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，所以， ① ② ②-①得： 化简得：， 又因为，即 即， （i）当时，，所以； （ii）当时，， 令，则 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 当时，取得最小值为 ，即, 所以的取值范围是. 【变式训练3-16】已知数列、满足，，，﹒ (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【答案】(1)证明见解析；l(2). 【解析】(1)证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求通项公式，于是可求通项公式； (2)根据累乘法求，再求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，求单调性并求其范围即可求λ的范围. （1）∵，，两边同除以得： ，从而，， 是首项为1，公差为1的等差数列，， ∴； （2）由，， ∴，∴， ∴， ∴， ， 两式相减得，， ∴ ＝， 中每一项，为递增数列，∴， ∵，∴， ， . 【变式训练317】已知正项数列的首项，前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）化简数列的递推公式，得，进而可求解数列的通项公式； （2）利用裂项法，求解，列出不等式，即求. （1）当时，， ∴，即，又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故， 又由 （）， 当时，也适合， 所以. （2）∵， ∴， 又∵对任意的，不等式恒成立，， ∴，解得或.即所求实数的范围是或. 【变式训练3-18】函数满足，，且与直线相切. (1)求实数，，的值； (2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，(2) 【解析】（1）根据已知条件，可推得，又已知切线方程，设出切点，根据导函数即可解得的值； （2）由已知可得，，进而可推得是等差数列，求出，.则原不等式可转化为，对是奇数以及偶数进行讨论，即可求得实数的取值范围. （1）因为，， ， 又，， 所以有，解得，所以，. 因为函数与直线相切，设切点为， 则，， 即，解得，所以，，，， 所以. （2）由（1）知，，即. 当时，，解得或（舍去）； 当时，有，， 所以有，整理可得， 因为，所以，即. 所以，是以为首项，1为公差的等差数列. 所以，，. 则不等式对于任意恒成立，可转化为 ， 即对于任意恒成立. ①当为偶数时，即有恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时有； ②当为奇数时，即有恒成立， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，， 所以当为奇数时，最小值为. 所以，，即有. 综上所述，. 【点睛】在求解数列不等式恒成立时，常采用分离参数转变为求最值的方法，然后结合不等式或者构造函数求导得到数列的单调性，进而得到最值.本题将分离后，转化为对于任意恒成立.考虑到的正负问题，对分为奇数和偶数讨论，然后结合基本不等式以及构造函数求导得到的单调性，进而得到最值，最终求得的取值范围. 【变式训练3-19】已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；；(2)；(3) 【解析】（1）利用等差和等比数列通项公式可构造方程组求得，由此可得； （2）采用分组求和的方式，根据等比数列求和公式和裂项相消法可求得； （3）将恒成立的不等式转化为，令，利用作差的方式可求得的单调性，得到，由此可得的取值范围. （1）设等差数列的公差为， 由得：，又，， ，. （2）由（1）得：， . （3）由（2）得：对任意的，恒成立， 对任意的，恒成立； 令，则； 则当时，；当时，； ，，即实数的取值范围为. 【变式训练3-20】已知数列的前项和为，满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，记为的前项和，求证：； (3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由条件可得、，然后可得、，两式相减即可证明； （2）首先可求出、，然后计算出即可； （3）首先可得，然后利用裂项求和法求出，然后求出，然后分为偶数、为奇数求解即可. （1）因为，所以，， 两式相减可得，即 由可得， 两式相减可得 化简可得，所以， 所以数列为等差数列； （2）由可得，可得， 因为，所以， 因为数列满足， 所以，所以， 所以数列为等比数列， 因为，所以，， 所以， 所以，即， （3）由（2）可得； 由已知 可得 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以， 当为奇数时，， 所以 当为偶数时，， 所以 由， 得， 即， 当为偶数时，对一切偶数成立，所以， 当为奇数时，对一切奇数成立，所以此时， 故对一切恒成立，则. 【变式训练3-21】已知数列的前n项和为，且，，． (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】(1) 要证明数列是等比数列，需要把已知递推公式变形为等于非零常数，求出数列的通项，再利用累加法求的通项公式. (2) 求出，不等式等价于恒成立，令，利用单调性求的最大值即可. （1）由，得，则， 又，则， 所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 则，则时， ． 当时，满足上式，所以，的通项公式为． （2）由（1）可知，数列的首项为1，公比为2的等比数列，则， 由，即恒成立． 令，则， 则时，，即数列递增； 当时，，即数列递减， 则的最大值为，所以，实数的取值范围是． 【变式训练3-22】已知函数满足，若数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式； （2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围. （1）因为, 由①, 则②, 所以可得：， 故，. （2）由（1）知，，则时，， 所以              . 又由对一切恒成立,可得恒成立, 即有对一切恒成立. 当时,取得最大值，所以； 故实数的取值范围是. 【变式训练3-23】若为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和． (3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1),；(2)；(3) 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.，， ，分别利用“ ”法和“ ”法求解. （2）由（1）知当n为奇数时，， 当n为偶数时，，然后分别利用裂项相消法和错位相减法求和，然后相加即可. (3)把恒成立转化为求最大值问题,作差比较大小,应用单调求解即可. （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 因为，， 所以， 解得d=1. 所以的通项公式为. 由， 又，得， 解得， 所以的通项公式为. （2）当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， ① 由①得 ② 由①②得， ， ， 所以. 所以. 所以数列的前2n项和为. （3）因为,且, 而,故 即,可得,对于恒成立 令, 当时, ,即,所以, 当时, ,即 所以,所以 【变式训练3-24】已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，或； 【解析】（1）由题设且，应用关系求数列通项公式； （2）由（1）知，构造且并利用导数研究单调性判断是否存在最大值，即可得结论. （1）由题设且， 当时，，可得； 当时，，则； 由，故， 所以是首项、公差均为1的等差数列，故. （2）由（1）知：，要使，即恒成立， 令且，则， 若，即，则， 在上，递增，上，递减， 所以在有最大值，又， 对于，当时，，当时，， 综上，，故存在或使恒成立. 【变式训练3-25】已知数列的前n项和为 (1)证明：数列{}为等差数列； (2)，求λ的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）由得的递推关系，变形后由等差数列的定义得证； （2）由（1）求得，从而代入已知等式后求得得，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论． （1），∴，∴， ∴， 又∵，∴， 所以数列是以为首项和公差的等差数； （2）由(1)知：， 所以， ∴， ∴， 又满足上式， ∴， 因为， 所以， 所以， 记， 又在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以，所以，所以的最大值为． 【变式训练3-26】27．已知数列的前项和为 (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，；(2)或. 【解析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式； （2）由（1）计算，判断数列 的单调性，令的最大值小于即可求解. （1）由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ，即 当时， ， 又不满足上式， 所以； （2）由（1）知， 当时，； 当时，，即 所以的最大值为， 依题意，即，解得或. 【变式训练3-27】已知是等差数列，是等比数列（公比不为1），的前n项和，且， (1)求数列：，的通项公式； (2)设的前项和为.对于任意正整数，当恒成立时，求的最小值. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公差和公比，得到，的通项公式； （2）求出的通项公式并得到为等比数列，利用等比数列求和公式得到，求出的最小值. （1）设的公差为的公比为， 由已知可得，且， 解得 所以的通项公式为， 的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以为等比数列，公比为， 所以. 因为恒成立，所以， 而，所以，所以的最小值为. 37．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用两式相减可得结果； （2）将不等式恒成立化为对恒成立，再利用数列的单调性求出右边的最小值即可得解. （1）当时，，得， 当时，， 整理得，即， 又时，也适合上式， 故. （2）若不等式对恒成立，即对恒成立， 即对恒成立，令， 则 ， 则为递增数列，所以当时，取得最小值，所以. 【变式训练3-28】图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数. (1)设，求数列的通项公式； (2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，. 【解析】（1）设出第一行从左到右成等差数列的公差，再结合已知列出方程组求解，然后用等差数列、等比数列的通项公式写出通项作答. （2）由（1）的信息结合等比数列前n项和公式求出，再按奇偶分类讨论求解作答. （1）设，第一行从左到右成等差数列的公差为， 则， 题型04:数列不等式存在求参数取值范围 【典型例题1】已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据，利用累加法求解； （2）根据存在，成立，由求解. (1)因为， 当时， ， 又满足上式， ∴； (2)由（1）知，∴， ∵存在，使得成立， ∴，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【典型例题2】已知数列满足． （1）求数列的前n项和； （2）若存在,使不等式成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）由知是等差数列，写出通项公式，再应用裂项相消法求； （2）将问题化为，结合单调性，求t的范围. （1）由题设有，即是等差数列， 又，得，故，则， 所以． （2）若存在,使不等式成立，只要． ， 所以是递增的，对于，， 于是只需， 解得或． 故满足条件的实数t为或. 【变式训练4-1】已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）用基本量法，即用表示已知条件，列出方程组，求出即可求数列的通项公式；（2）用裂项相消法求数列的前项和，列出不等式参变分离得，由基本不等式求的最小值即可. （1）设数列的公差为，则 即 又因为，所以 所以. （2）因为， 所以. 因为存在，使得成立， 所以存在，使得成立， 即存在，使成立. 又，（当且仅当时取等号）， 所以.即实数的取值范围是. 考点：1.等差数列的定义与性质；2.裂项相消法求数列的和；3.基本不等式；4.数列与不等式. 【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属中档题；解决数列性质与求和问题，基本量法是最通用的方法，本题在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力. 【变式训练4-2】设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求； (3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；(2)；(3)存在，所有的正整数对为及. 【解析】（1）设数列的公差，利用等差数列的通项公式基本量计算求出d＝1，从而，再由，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此求出通项公式； （2）由题意推导出公差，从而，利用公式得到，故，由此利用错位相减法能求出； （3）由及第（2）问得到，求出当，n＝2，n＝3时的值，再利用导函数证明当 时，有，即证，由此能求出所有的正整数对． （1）设等差数列的公差为d，（d≠0）， 则由，得， 因为，所以， 所以； 由，① 当时，，② ①﹣②，得， ∴， 又当时，，解得：， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴． （2）在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，设公差为， ∴， 则， ∴， ∴，① 则，② ①﹣②得， ∴． （3）假设存在正整数m，n，使成立， ． ， 当时，不合题意， 当n＝2时，， 当n＝3时，， 下证，当 时，有，即证， 设，，则， ∴在上单调递增， 故时，， ∴， ∴时，m不是整数， ∴所有的正整数对为及. 【点睛】本题第二问和第三问有难度，第二问需要先理解题意，转化为等差数列通项公式和求和公式，结合错位相减法进行求解，而第三问则是数列与函数的综合，需要利用导函数来证明当 时，有，即证，属于综合题，难度大． 【变式训练4-3】设对任意，数列满足，，数列满足． (1)证明：单调递增，且； (2)记，证明：存在常数，使得． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由可证明单调性，由反证法即可证明， （2）由裂项求和即可求解. （1）证明：由于，则， 所以，即单调递增． 假设存在，使得，则， 所以． 不妨取，即，即，则，这与任意，恒成立相矛盾，故假设不成立，所以． （2）由（1）有，又，所以 ． 于是， 故可取，即有． 【变式训练4-4】设函数. (1)求函数在点处的切线方程; (2)证明:对每个，存在唯一的，满足； (3)证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）根据，得函数在上是增函数，又，，根据零点存在性定理可证； （3）由在上单调递增，可得，再减变形化简，利用放缩法得证. （1），所以， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）对每个，当时， 由函数， 可得，故函数在上是增函数. 由于，当时，，即. 又 ， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足； （3）对于任意，由（1）中构成数列，当时， ，. 由在上单调递增，可得，即，故数列为减数列， 即对任意的， 由于      （1），    （2） 用（1）减去（2）并移项，利用，可得 . 综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 由，得，即有， 于是，又，解得，因此，， 所以，即. （2）由（1）知， 当为奇数时，不等式等价于恒成立，而恒成立，则； 当为偶数时, 不等式等价于恒成立，而恒成立，则 ， 因此, 所以存在，使得恒成立. 题型05: 证明与通项有关的不等式 求解此类问题,一般是先确定通项,再通过放缩或数列单调性证明. 【典型例题】已知复数数列的通项公式为（是虚数单位）,为的前项和． (1)求的值； (2)求证：； (3)求的通项公式． 【答案】见解析 【解析】（1）因为（是虚数单位）, 所以 （2）当为奇数时,； 当为偶数时,． 因此无论为奇数还是偶数,． ,当时,上式大于0． 所以, 即 （3）因为（是虚数单位）, 所以． 所以, , 所以 . 【变式训练5-1】在数列的第项与第项之间插入个1,称为变换．数列通过变换所得数列记为,数列通过变换所得数列记为,以此类推,数列通过变换所得数列记为（其中）． (1)已知等比数列的首项为1,项数为,其前项和为,若,求数列的项数； (2)若数列的项数为3,的项数记为． ①当时,试用表示； ②求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）设等比数列的公比为,显然, 由,得,解得. 故数列有8项,经过1次变换后的项数为, 即的项数为36. （2）①由的项数为,则当时,, 所以 ②因数列是一个3项的数列,所以, 由,所以, 于是,则有 所以,得,即, 所以. ,,于是, 则有,可得,有,即, 所以,综上所述,． 【变式训练5-2】已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【解析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得. (2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，， 取，当时，，取，即可证得题中的不等式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和. （1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. 题型06: 直接求和证明不等式 【典型例题1】已知数列的首项,且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记,求数列的前项和,并证明． 【答案】见解析 【解析】（1）由得, 又,所以是首项为2,公比为2的等比数列． （2）由（1）知,,所以 所以, 当时,单调递增,故． 【典型例题2】设数列的前项和为,且． (1)求数列的通项公式． (2)设数列满足,且数列的前项和为,求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）依题意,由,可得, 当时,,解得, 当时,, 整理,得,, ∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴； （2）依题意及（1）,由可得, 则, , 两式相减,可得 , ∴,故得证． 【典型例题3】已知等比数列的各项都为正实数,. (1)求数列的通项公式； (2)设,数列的前项和为,证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）设等比数列的公比为, 因为,所以, 化简得,解得或（舍去）,所以； （2）证明：由（1）得, 所以, 所以, 所以 , 所以, 因为,所以. 【典型例题4】已知各项为正数的数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）利用公式，时，，代入化简得到数列的递推公式，即可求解通项公式； （2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式. （1）当时，，解得； 当时，由，得， 两式相减可得，，又， ，即是首项为，公差为的等差数列， 因此，的通项公式为； （2）证明：由可知，所以， ， 因为恒成立，所以， 又因为，所以单调递增，所以， 综上可得． 【变式训练6-1】已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法求数列通项； （2）利用错位相减法求数列的前n项和，可得结论. （1）由及，得， 所以， 当时，有 ． 当时，，符合上式，所以． （2）由（1）得，所以， 所以， 所以， 两式相减，得 ， 所以． 因为，所以。 【变式训练6-2】已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）借助与的关系与等比中项的性质计算即可得； （2）借助裂项相消法可求得，结合函数的单调性即可得证. （1）因为，所以，① 当时，，② ①－②得，化简可得，， 且当时，满足上式， 所以数列是公差为2的等差数列， 由题可得，故，解得， 所以，； （2）证明：令， 所以 ， 又函数在上单调递增，所以. 【变式训练6-3】已知是数列的前项和，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据已知等比中项列等式，结合与的关系可得的递推公式，然后利用构造法求，再根据与的关系求通项； （2）根据裂项相消法求，然后可证明. （1）由成等比数列， 得， 所以． 整理，得，则． 又， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以，即． 当时，， 所以． 当时，不符合上式． 故. （2）由（1）可知，， 所以 ， 所以， 故． 【变式训练6-4】记数列的前n项和为，且满足（）. （1）求的通项公式； （2）求证：数列的前n项和. 【答案】（1）（2）证明见解析； 【解析】（1）由题可知，则当时，，从而得出，根据递推关系证出为等比数列，最后利用等比数列通项公式，即可求出的通项公式； （2）根据题意化简得出，再利用裂项相消法求出数列的前n项和，即可证出. 解：（1），① 当时，，② ∴①-②得，即， 则， 当时，由，得， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，. （2）， ， 即. 【点睛】本题考查利用和的关系和递推关系证明等比数列，还考查等比数列的通项公式和利用裂项相消法进行求和，考查化简运算能力. 【变式训练6-5】已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1)；(2)①证明见详解；② 【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. （1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 【变式训练6-6】已知为数列的前项和，，，记. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）借助构造等比数列算出，即可求出； （2）将裂项后求和，再分奇偶讨论即可得证. （1）由，得，， 则，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， . （2）， ， ， 当为奇数时，， 当为偶数时，，由，可知是递增数列， ， 综上，. 【变式训练6-7】已知数列中，，点 ，在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）设，Sn为数列的前 n项和，试问：是否存在关于n的整式，使得恒成立，若存在，写出 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析. 【解析】（1）根据点在直线上，将点坐标代入方程，可得与的关系，根据等差数列的定义，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，进而可求得的表示式，化简整理，可得，利用累加法，即可求得的表达式，结合题意，即可得答案. （1）因为点，在直线上， 所以，即，且， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以； （2），所以， 所以，即， 所以， ， 所以 所以， 根据题意恒成立， 所以， 所以存在关于n的整式，使得恒成立， 【点睛】解题的关键是根据表达式，整理得与的关系，再利用累加法求解，若出现（关于n的表达式）时，采用累加法求通项，若出现（关于n的表达式）时，采用累乘法求通项，考查计算化简的能力，属中档题. 【变式训练6-8】记为数列的前项和，已知．证明： (1)为等比数列； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析； 【解析】（1）根据递推式可得，即，由等比数列定义证明即可； （2）由（1）求得，进而求出的通项公式，结合，即可证结论. （1）由已知得①，②， ②①：，即， 特别地，①中令得：，即， 所以是首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）知：，所以， 故，注意到， 显然时成立； 当时，， 所以得证. 【变式训练6-9】已知正项数列的前项和满足关系式. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）利用，得到，进而得到，得到为等差数列，求出通项公式； （2）由得到， 当时，，当时，显然成立，当时，，当（且）时，，，故当时，有. （1）由得， 当时，， 两式相减得， ， 当时，由，得，也满足上式. . 当时，，则， 又，所以， ∴数列是等差数列，. （2）证明：由（1）得， ， 注意到当时， . 当时，. 当时，显然成立. 当时，， 从而时，. 当（且）时，， . 综上可知当时，有. 【点睛】对于公式， （1）当时，用替换中的得到一个新的关系式，利用，可得时的表达式， （2）当时，，求出， （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，如果不符合，则要分开写. 【变式训练6-10】设各项均为正数的数列的前项和为，满足，已知等比数列，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）记，数列的前项和．证明：对一切正整数，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）利用把题设中的递推关系转化为关于，再利用等差数列的通项公式可求，最后利用等比数列的性质可求等比数列的公比，从而得到. （2）利用错位相减法可求，利用不等式的性质可证明. （1）因为，故，两式相减得到： ，整理得到. 因为，故，故是等差数列且公差为2. 又即，解得或（舍）. 所以. 又，故等比数列的公比，所以. 故数列，的通项公式分别为，. （2）由（1）得，故， 所以， 两式相减得到： ，化简得到. 因为，故. 【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 【变式训练6-11】已知数列满足，且. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，是数列前n项的和，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题设递推式可得，根据等比数列的定义，结合已知条件，即可证为等比数列； （2）由（1）有，进而求，利用裂项相消法求，即可证不等式. （1）由得：，又， ∴是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）知：，则， ∴， ∴. 题型07: 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 证明与前n项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再放缩. 【典型例题1】已知等比数列和等差数列,满足,,,． (1)求数列,的通项公式； (2)记数列的前项和为,数列的前项和为．证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）等比数列满足,,所以单调递增, 设的公比为,等差数列的公差为,依题意可得, 解得或（舍去）, 所以,． （2）由（1）可得, 所以 所以, 故, 又,, 即, 所以 ． 【典型例题2】已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求，并求证：. 【答案】(1)；(2)，证明见解析 【解析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式； （2）利用列项相消求数列的前n项和为，再结合单调性即可求证； （1）等差数列公差为d，，且，，，成等比数列， 则有，解得， 所以 （2），， 所以数列的前n项和. 所以， 易知单调递增，同时， 所以当时取得最小值，同时， 所以 【变式训练7-1】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据等差数列的前项和公式求出，再根据“和等比数列”的定义列出方程即可得解； （2）利用错位相减法求解即可； （3）分离参数可得，再利用分离常数法求出的最小值即可得解. （1）因为， 所以数列所以为公差的等差数列， 则， ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以； （2）由（1）得，则， 则， ， 两式相减得 ， 所以； （3）， 即， 即， 即， 即，即， 因为，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 【变式训练7-2】已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和，且满足，求证：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）令，解方程即可求解， （2）利用，的关系，作差可得等差数列，即可求解， （1）在，中，， 令，可得 ， ∴． （2），① 当时，，② 可得 ， ∴， ∴是公差为的等差数列， ∴， ∴． （3）证明：由（2）可得， ∴， ∴ ． 题型08:先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求和的数列,再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足. 【典型例题1】已知数列满足． (1)证明是等比数列,并求的通项公式； (2)证明： 【答案】见解析 【解析】（1）因为,所以,且,则, 即,所以数列是首项为,公比为7的等比数列, 所以,则； （2）由（1）可知,, ,即,只有当时,等号成立, 所以,只有当时,等号成立, 当时,,成立, 当时,, 综上可知,. 【典型例题2】已知数列的前项和为,且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）当时,. 当时,,,两式相减得： . 所以是以为首项,以为公比的等比数列. 所以. （2）由（1）知： 所以. 当时,, 当时,,故, 所以. 【典型例题3】已知数列中，，为数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，为数列的前项和，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）利用的关系结合递推式可得，分奇偶项计算即可； （2）结合（1）的结论利用递推关系可得，再利用，放缩求证不等式即可. （1）由题意得，所以， 所以，所以，① 因此．② 由②-①，得，即， 因此或． 因为，所以，所以， 所以数列的奇偶项分别成等差数列，且公差为2． 又因为，得， 所以，．所以． （2）证明：由（1）知， 可得，两式相减，得，即． 又，所以．又， 所以，所以． 【典型例题4】已知数列满足：. (1)求证：数列和均为等比数列； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由，，两式相减结合累加法得，，再由等比数列定义证明即可； （2）先求出的通项公式，进而证明，从而得出，最后结合裂项相消求和法证明即可. （1）由，① ，② 将②-①得， 故当时，，，，…，， 累加得， 故， 当时，，符合题意， 故， 即，， 因此为以3为首项，9为公比的等比数列. 将代入①得，故为以9为首项，9为公比的等比数列. （2）由（1）知，，故， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 因此对任意，均有， 则. 当时，； 当时，. 【典型例题5】已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意，利用求和公式的定义整理可得数列递推公式，结合累乘法，并检验，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式整理可得新数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. （1），∴， ∴， 即， ∴，，…，， ∴， 即，∴． 由，令可得， ∴，验证符合上式，∴． （2）由（1）得，，， 显然； 可知当时，， ∴ ， 符合上式， ∴不等式得证． 【变式训练8-1】已知是等差数列,其前项和为是等比数列,已知,是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记,求证：. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意, , 又是和的等比中项,得, 又,解得, ； （2）,设, 则, 将以上两式相减得 , ； （3） , , .结论得证. 【变式训练8-2】如图,已知点列在曲线上,点列在x轴上,,,为等腰直角三角形． (1)求,,；（直接写出结果） (2)求数列的通项公式； (3)设,证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）由为等腰直角三角形,所以直线的直线斜率为1, 故直线的方程为,与抛物线方程联立可得,可解得或, 从而可得,可得的横坐标为1,因为,解得, 由,所以,可得, 可得,解得； （2）由题意可得,所以, 所以,所以, 所以, 所以是以为首项,为公差的等差数列, 所以,所以, （3）由（1）可得, 所以, 所以, , 所以. 【变式训练8-3】已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． (2)设数列前n项和为，求． (3)证明：，． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）由（1）得到，再利用错位相减法，即可求解； （3）通过作差比较得到时，，从而有时，，再分和三种情况讨论，即可证明结果. （1）因为①， 当时，②， 由①②，得到，所以， 又时，，得到，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由题意， 所以③，得到④， 由③④，得到， 所以. （3）因为，，所以时，， 当时，， 当时，， 当时， ， 综上，，. 【变式训练8-4】记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列. （i）求的通项公式； （ii）设，证明：. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）由数列的递推关系式得到，再根据等比数列的通项公式，即可求解； （2）（i）设数列的公差为，根据题意，结合等比中项公式列出方程，求得，再利用等差数列的通项公式，即可求解； （ii）由（i）得到，利用放缩法和裂项求和，即可求解. （1）解：因为，可得， 两式相减可得，即， 则， 又因为，可得， 所以当时，，即， 当时，不满足上式， 所以数列的通项公式为 （2）解：（i）设数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以， 整理得，解得或， 因为，可得， 又因为，所以数列的通项公式为. （ii）由（i）知，， 可得， 当时，； 当时， ， 综上可得，对于任意，都有. 【变式训练8-5】表示正整数a,b的最大公约数.若,且,则将k的最大值记为,例如： (1)求; (2)设,数列 的前n项和为 证明： 【答案】见解析 【解析】（1）依题可得表示所有不超过正整数m,且与m互质的正整数个数. 因为与2互质的数为1,所以, 因为与3互质的数为1,2,所以, 因为在中与互质的正整数只有, 所以在中与互质的正整数的个数为,因此； （2）,则, 因为, 所以,因此有, 所以, 因为,所以. 【变式训练8-6】自然常数,符号,为数学中的一个常数,是一个无限不循环小数,且为超越数,其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”,以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位,是数学中最重要的常数之一,它的其中一个定义是.设数列的通项公式为,, (1)写出数列的前三项,,． (2)证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）由通项公式得, ；；. （2）由二项式定理得 , 所以是上的单调递增数列, 因为,则； 又 , 综上可知,． 【变式训练8-7】已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意，利用求和公式的定义整理可得数列递推公式，结合累乘法，并检验，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式整理可得新数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. （1），∴， ∴， 即， ∴，，…，， ∴， 即，∴． 由，令可得， ∴，验证符合上式，∴． （2）由（1）得，，，显然； 可知当时，， ∴ ，符合上式，∴不等式得证． 【变式训练8-8】记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)求证：对于且，． 【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析. 【解析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，求出结合等差等比数列定义求出通项. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得. （3）求出，借助不等式性质放缩，再利用裂项相消法求和即得. （1）在等差数列中，，解得，而， 则数列的公差，通项公式为， 由，得，令等比数列的公比为， 由，得，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 所以数列的前项和 . （3）由（1）知， 当时，， 所以 . 【变式训练8-9】已知数列满足：. (1)求证：数列和均为等比数列； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由，，两式相减结合累加法得，，再由等比数列定义证明即可； （2）先求出的通项公式，进而证明，从而得出，最后结合裂项相消求和法证明即可. （1）由，① ，② 将②-①得， 故当时，，，，…，， 累加得， 故， 当时，，符合题意， 故， 即，， 因此为以3为首项，9为公比的等比数列. 将代入①得，故为以9为首项，9为公比的等比数列. （2）由（1）知，，故， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 因此对任意，均有， 则. 当时，； 当时，. 【变式训练8-10】已知数列中，，数列的前n项和为，且. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求证：. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）根据题意中表达式，令，可求得表达式，两式相减，根据，即可求得数列的通项公式，经检验n=1满足题意，即可得答案； （Ⅱ）根据（Ⅰ）可得，即可进行证明，经检验n=1满足题意，即可得证. （Ⅰ）由可得，两式相减， 所以，又（满足上式）， 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 所以， 又满足题意， 所以对于任意，都有. 【变式训练8-11】已知数列的前项和为，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）证明:当时， 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】（1）利用公式当时，进行验证求解即可； （2）对进行常变量分离，然后进行放缩，利用等比数列前项和公式进行证明即可. （1）解:当时，， 当时，满足. 综上，当时，. （2）证明:当时，， 所以 所以 综上可得，当时， 【点睛】本题考查了已知数列前项和求通项公式，考查了利用放缩法证明数列不等式问题，考查了等比数列前项和公式，考查了数学运算能力. 【变式训练8-12】已知数列的前项和为，且满足， (1)求和 (2)求证：． 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）利用可得，从而可求及. （2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立. （1）时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式， 所以， （2）当时，，原式成立． 当时， 所以． 【变式训练8-13】已知数列，，，，，为数列的前n项和，为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】（1）应用累加法求数列通项即可. （2）利用裂项相消法求. （3）应用放缩法：、，进而求和即可证结论. （1）由题设，当时， ， 又满足上式，所以 （2）由（1），， ∴. （3）由，则， 又，则， 综上，得证. 【变式训练8-14】已知数列前n项积为，且． (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论， （2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论 （1）因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列． （2）因为，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因为，所以． 【变式训练8-15】已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【解析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得； （3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证. （1）由得， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得, 解得：. （3） 令，， 因为在上单调递增，则 所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且， 故得. 题型09: 与导数有关的数列不等式. 求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用代换,通过累加或累乘法证明所给不等式. 【典型例题1】已知函数 (1)若函数在内点处的切线斜率为,求点的坐标； (2)①当时,求在上的最小值； ②证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）设点. 由于,则,得, 则,且,所以点的坐标为. （2）①, 则,记, 则 易知在上单调递减,且, ,即, 所以,当时,,在上单调递增； 当时,,在上单调递减. 因为, 所以时,,在单调递增, 所以,当时,取得最小值. ②由①可知,时恒成立,即恒成立. 设,则, 当时,,在上单调递增, 所以,所以, 又,所以, 取,则, ,得证. 【典型例题2】牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点,任意选取作为的初始近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的1次近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的2次近似值．一般地,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,就称为的次近似值,称数列为牛顿数列． (1)若的零点为,,请用牛顿切线法求的2次近似值； (2)已知二次函数有两个不相等的实数根,数列为的牛顿数列,数列满足,且． （ⅰ）设,求的解析式； （ⅱ）证明： 【答案】见解析 【解析】（1） ,所以 当,所以 当, 所以的2次近似值为. （2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根, 所以不妨设, 则, 因为所以 所以在横坐标为的点处的切线方程为 令则 即, 所以. （ⅰⅰ）由（ⅰ）知, 所以. 因为所以所以. 令则,又 所以,数列是公比为2的等比数列. . 令,则 当时,,所以在单调递减, 所以,即 因为所以即. . 【变式训练9-1】已知函数,. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对,恒成立（为的导数）； (3)设,证明：（）. 【答案】见解析 【解析】（1）,可得,又, 所以曲线在点处的切线方程为． （2）令,,则,, 令,则在上恒成立,故在单调递增, 其中,故在上恒成立,故在上单调递增, 故,即恒成立． （3）设,证明． 令,, 因为,所以在上单调递减, 所以,从而,． 由于, 所以． 由（2）知,（）,所以． 设,①,则,② ①－②得, 所以． 【变式训练9-2】帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为：,且满足：,,,…,．注：,,,,…已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a,b的值； (2)当时,试比较与的大小,并证明； (3)已知正项数列满足：,,求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得,, ,故,, 解得,. （2）由上可得,要比较与的⼤⼩, ,只需比较1与的⼤⼩, 令,, 所以,从而可得在上单调递增, 所以,即, 所以. （3）设,, 当时,,在上单调递减, 当时,,在上单调递增, 故,即,当且仅当时等号成立； 由题意知,令,, 故该函数在上递减, 故可得,即,可得； 一方面：由（2）可得, 又因为, 所以可得,即,即, 即, 故, 即,所以. 另一方面：要证明 , 两边同时除以,原式 令, 由基本不等式, 故,所以在单调递增, 所以,得证. 【变式训练9-3】已知函数,数列满足正整数 (1)求的最大值； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）因为的定义域为,所以 当时,,在上递增, 当时,,在上递减, 所以在时有最大值,所以,即的最大值为0； （2）由（1）知,,所以, 所以,即, 所以,,, 累加得,即. （3）因为,所以,得, ,,, 所以,即,所以, 所以,,, 所以, ,所以得证． 题型10:数学归纳法证明数列不等式 【典型例题1】设正项数列的首项为4，满足． (1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1)，；(2)见解析 【解析】（1）由首项及递推关系式逐次求得，再根据前三项总结规律猜想出数列的通项公式； （2）根据已知条件得到递推关系，利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可. (1)由可得，又，则，， 则，猜想； (2)由（1）得，当时，， ①当时，猜想显然成立； ②假设当时成立，即； 当时，，猜想成立， 由①②知猜想恒成立，即. 【典型例题2】已知数列满足，前n项和． (1)求，，的值并猜想的表达式； (2)用数学归纳法证明（1）的猜想． 【答案】(1)，，，；(2)证明见解析. 【解析】（1）用赋值法即可求解，根据根据，，，猜想可得； （2）利用数学归纳法的步骤证明即可. (1)∵，前n项和， ∴令，得， ∴， 令，得， ∴． 令，得， ∴． 猜想． (2)用数学归纳法给出证明如下 ①当时，结论成立； ②假设当(，)时，结论成立， 即， 则当时，， ， 即， ∴， ∴， ∴当时结论成立．由①②可知， 对一切都有成立． 【变式训练10-1】设数列满足． (1)求的值并猜测通项公式； (2)证明上述猜想的通项公式． 【答案】(1)， ，猜测；(2)见解析 【解析】（1）根据递推公式求出，再根据即可得出猜想； （2）利用数学归纳法证明即可. (1)解：由题意得，时，，得， 时，，得， 故， 猜测； (2)证明：当时，，即猜测成立； 假设时，猜测成立，即， 则时，由， 得， 所以时也成立， 综上可得，成立． 【变式训练10-2】已知数列的前项和为，其中且. (1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法加以证明. 【答案】(1)，，；(2)证明见解析. 【解析】（1）根据递推关系写出，的值，由所得前3项猜想通项公式即可. （2）应用数学归纳法，首先判断时通项公式是否成立，再假设时通项公式成立，进而利用关系求证是否成立即可. (1)因为且. 所以，解得， 因为， 所以，解得. 由，猜想：. (2)①当时，等式成立； ②假设当时猜想成立，即 那么，当时，由题设，得，， 所以，， 则. 因此，， 所以. 这就证明了当时命题成立.①②可知：命题对任何都成立. 【变式训练10-3】用数学归纳法证明． 【答案】证明见解析 【解析】先验证时，等式成立，再验证时的等式成立，最后做出证明 （1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当时等式成立，即 ，则当时， ， 所以当时等式也成立． 由（1）（2），可知对于任意，等式都成立． 题型11: 数列不等式与三角函数综合 【典型例题1】已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若数列满足，则 【答案】见解析 【解析】A选项，，故， 由基本不等式可得，故，当且仅当时，等号成立， 故，A正确； B选项，由柯西不等式得 ， 当且仅当时，等号成立， 故， ，故，当且仅当时，等号成立， 故， 依次类推，可得，当且仅当等号成立， 故 ，B错误； C选项，设，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，故在上恒成立， ，C正确； D选项，， ， 故，D正确. 故选：ACD 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 【典型例题2】设,. (1)当时,证明：； (2)证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）因为定义域为, 所以, 所以为定义在上的偶函数,下取, 可知,令 则在内单调递增,可得, 即在内恒成立,可知在内单调递增, 所以在内的最小值为,结合偶函数性质可知：. （2）由（1）可得：,当且仅当时,等号成立, 即,令,则,当时,,即, 则有：,,,, 相加可得：, 因为,则,所以, 即. 【变式训练11-1】已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【答案】见解析 【解析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式； （2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可. （1）由题意得是公差为2的等差数列，且， 即，又因为，所以， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 经检验，时，满足， 综上，当为偶数时，，当为奇数时，. 【变式训练11-2】设正项数列满足，，．数列满足，其中，．已知如下结论：当时，． (1)求的通项公式． (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据正切的二倍角公式可推出，可知是公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解； （2）由于，可证，化简，由已知可得，再利用等比数列的求和公式可证，得证. （1）由于，则， 由于，所以，即， 又由可知， 从而是首项为，公比为的等比数列， 因此. （2）一方面，由于，因此． 另一方面，由（1）中，可得． 由于，则，即， 因此， ， 综上，. 【变式训练11-3】同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）． (1)解同余方程（mod3）； (2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（），数列的前n项和为，求； ②若（），求数列的前n项和． 【答案】(1)或（）；(2)①3036；② 【解析】（1）根据带除的定义求解，（mod3），即能被3整除，从而得出或能被3整除； （2）①首先求出（分奇偶项），确定出，用并项求和法求和；②求出，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和． （1）由题意（mod3），所以或（），即或（）． （2）由（1）可得为，所以． ①因为（），所以． ． ②（）． 因为， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解 【变式训练11-4】设． （1）当时，求证：； （2）证明：对一切正整数n，都有． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】(1)利用导数确定函数在上单调递增，从而有当时，恒成立； (2) 放缩法构造数列不等式，再利用裂项相消法证明不等式. (1)由题知，，，故单调递增. 当时，， 所以在单调递增，有恒成立. (2)由(1)知当时，，取 有， 故 即待证不等式成立． 题型12: 数列不等式与概率统计 【典型例题】在足球比赛中,有时需通过点球决定胜负． (1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外人中的 人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为,易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为,比较与的大小． 【答案】见解析 【解析】（1）解法一：依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为, 门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为   易知,所以   故的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望． 解法二：的所有可能取值为    在一次扑球中,扑到点球的概率,    所以      所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的数学期望： （2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为, 则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为, 第次传球之前球不在甲脚下的概率为,   则     即,又,   所以是以为首项,公比为的等比数列． ②由①可知,所以,   所以,故． 【变式训练12-1】不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个,将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验,若两次均摸到彩球,则试验成功并终止试验,否则在袋子中添加一个相同的白球,然后进行下一次试验． (1)若最多只能进行3次试验,设试验终止时进行的次数为随机变量,求的分布列与数学期望； (2)若试验可以一直进行下去,第次试验成功的概率记为,求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）的可能值有, ；；． 所以随机变量的分布列为 1 2 3 ． （2）证明：因为, ,, 所以 ,, 经检验也满足上式, 所以． 【变式训练12-2】某射击运动员进行射击训练,已知其每次命中目标的概率均为． (1)若该运动员共射击6次,求其在恰好命中3次的条件下,第3次没有命中的概率； (2)该运动员射击训练不超过n（）次,当他命中两次时停止射击（射击n次后,若命中的次数不足两次也不再继续）,设随机变量X为该运动员的射击次数,试写出随机变量X的分布列,并证明． 【答案】见解析 【解析】（1）设第i次射击时命中目标为事件,该运动员射击6次恰好命中3次为事件B． , , ． （2）随机变量X的所有可能取值为2,3,4,5,…,n． 若射击次停止,则第k次命中,前次射击中有一次命中, 故,,, 若射击n次停止,有两种结果：前次有一次命中或一次都没命中, 故． 随机变量X的分布列为 ． 法一、易知, , 易知时,,即, ∴,． 法二、令,① 则,② ,得, 令, 则, 得 , ,． ． 题型13：新定义数列 【典型例题】已知有穷正项数列,若将每个项依次围成一圈,满足每一项的平方等于相邻两项平方的乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数列都可围成“HL-Circle”． (1)设,当时,是否存在使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由： (2)若的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”． （i）求的取值集合； （ii）求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）由定义可得,而为正项数列,故, 故, 由最后两式可得,故,故且, 结合可得即,故,故. 故存在,使得数列可围成“HL-Circle”,此时数列为：. （2）（i）若的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”． 则由, 结合为正项数列可得, 诸式相乘后可得, 又上述关系式即为(若下标大于,则取下标除以的余数). 故, 故(若下标大于,则取下标除以的余数). 所以(若下标大于,则取下标除以的余数). 设, 若,则即为,故,从而,, 而,故,故,故,从而, 此时均为1,与题设矛盾. 若,则即为,而, ,故,此时均为1,与题设矛盾. 若,则即为,而,所以,故, 从而, 而,故,故, 此时均为1,与题设矛盾. 若,则即为,而,所以, 而,故,故,故, 故,故,故, 此时均为1,与题设矛盾. 若,则,故, 故,故,故,故,故, 此时均为1,与题设矛盾. 综上,. （ii）由均值不等式得, 由上面三组数内必有一组不相等,否则, 从而与题设矛盾, 故等号不成立,从而, 又,由④和⑥得 因此由⑤得： ． 故原式得证. 【变式训练13-1】设有穷数列的项数为,若正整数满足：,则称为数列的“点”． (1)若,求数列的“点”； (2)已知有穷等比数列的公比为,前项和为．若数列存在“点”,求正数的取值范围； (3)若,数列的“点”的个数为,证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）因为 所以, 所以数列 的 “ 点” 为 3,5 , （2）依题意,,因为数列存在 “点”, 所以存在 ,使得 , 所以,即. 因为,所以,所以, 又随的增大而增大, 所以当时,取最大值, 所以,又,所以. 当时,有, 所以数列存在 “点”,所以的取值范围为, （3）①若,则数列不存在 “点”,即. 由得,,所以, ②若存在,使得. 下证数列有 “点”. 证明: 若,则2是数列的 “点”; 若,因为存在,使得, 所以设数列中第1个小于的项为, 则,所以是数列的第1个 “点”. 综上,数列存在 “点”.               不妨设数列的 “点” 由小到大依次为, 则是中第1个小于的项, 故,因为 , 所以,所以,所以 所以 所以.综上,,得证. 【变式训练13-2】定义：若对于任意,数列满足：①；②,其中的定义域为,则称关于满足性质. (1)请写出一个定义域为的函数,使得关于满足性质； (2)设,若关于满足性质,证明：； (3)设,若关于满足性质,求数列的前项和. 【答案】见解析 【解析】（1）令,定义域为R, 显然任意,,且, 故满足要求,（注：所有的定义域为的偶函数均符合题意） （2）因为,所以, 移项得, 因为,所以,故, 由基本不等式,当且仅当时取到等号, 而,故,即. （3）由题意,, 故, 设, 则, 故在上单调递增,而, 故时,时,, 因此在上单调递减,在上单调递增. 不妨设,因为, 所以当时,,当或时,, 且时,时,, 故对于任意,方程有且只有两个不同的根, 又,故的图象关于对称,故, 因此数列的前项和为. 1、 单选题 1.已知，数列满足，且对一切，有，则（       ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】D 【解析】由题意知，所以，所以，，所以是等比数列，且,所以，选项A，B，C错误，选项D正确. 故选：D． 2.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解. [方法一]:常规解法 因为，所以，，得到， 同理，可得， 又因为，故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特例（值）法 不妨设则故D正确. 3.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据新定义，逐一检验即可 由知，序列的周期为m，由已知，， 对于选项A， ，不满足；对于选项B， ，不满足；对于选项D， ，不满足；故选：C 【综合分析】1.以北斗三号全球卫星导航系统为背景设计试题，展示我国的航天事业的重要成果，突出发挥高考试题的德育教育，同时引导学生关注社会、关注科技成果，激发学生学习热情. 2.以0-1周期序列在通信技术的应用为背景设计题目，考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，突出引导学生关注最新科技成果，激发学习热情. 4.艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列．设，已知，，的前n项和为，则等于（   ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】D 【解析】有两个零点1，2，则，解之得， 则，则 则；则 由，可得， 故，又，则数列是首项为1公比为2的等比数列 则通项公式，前n项和；则；故选：D 5.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（    ） A． B．是数列中的最大值 C． D．数列无最大值 【答案】C 【解析】等比数列的公比为，则，由，则有，必有， 又由，即，又，则有或， 又当时，可得，由，则与矛盾 所以，则有， 由此分析选项：对于A，，故，故A错误； 对于B，等比数列中，，，所以数列单调递减，又因为，所以前项积为中，是数列中的最大项，故B错误； 对于C，等比数列中，则，则，故C正确； 对于D，由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.故选：C. 二、多选题 1.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足， 所以，，， 类似的有，，累加得， 由题知，故选项A正确， 对于B选项，因为，，，类似的有， 累加得，故选项B正确， 对于C选项，因为，，，类似的有， 累加得，故选项C错误， 对于D选项，可知扇形面积， 故，故选项D正确，故选：ABD. 2.已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（       ） A．1 B．4 C．9 D．32 【答案】BD 【解析】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．故选：BD． 3.已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（    ） A．1 B．4 C．9 D．32 【答案】BD 【解析】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．故选：BD． 4.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】对于A，，A错误； 对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得； 当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确； 对于C，当为奇数且时， 累加可得 ，时也符合； 当为偶数且时， 累加可得 ；则，C正确； 对于D，设数列的前项和为，则， 又，，D正确. 故选：BCD. 5.在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（       ） A．对于任意的，都有 B．对于任意的，数列不可能为常数列 C．若，则数列为递增数列 D．若，则当时， 【答案】ACD 【解析】A：由，对有，则，即任意都有，正确； B：由，若为常数列且，则满足，错误； C：由且， 当时，此时且，数列递增； 当时，此时，数列递减； 所以时数列为递增数列，正确； D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确. 故选：ACD 6.2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是（       ） A．图（4）中共有294个正六边形 B． C．是一个递增的等比数列 D．记为数列的前n项和，则对任意的且，都有 【答案】BCD 【解析】对于A，由图可知，图至图中正六边形的个数构成以为首项， 为公比的等比数列，故图中共有个正六边形，A错误； 对于B，由题可知，图中每个正六边形的边长为， ，，B正确； 对于C，是底数大于的指数型函数， 是一个递增的等比数列，C正确； 对于D，，，， ， 当且时， 对任意的且，都有，D正确.故选：BCD. 7.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个， 则从新数列的第1个1到第个1一共有项， 从新数列的第1个1到第个1一共有项， 所以，解得， 而，所以，故A正确，B错误； ， 令， 则， ，， 所以，故D正确，C错误，故选：AD. 8.已知数列满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】AD 【解析】，则 ，又 ，同理 ，故A正确； 而 ，故不是等比数列，B错误； ，故C错误； ，故D正确，故选：AD 9.下列命题中真命题有（    ） A．若，则是钝角 B．数列的前n项和为，若，则 C．若定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，则 D．若，分别表示的面积，则 【答案】CD 【解析】对于A，若，则，故A错误； 对于B，因为，所以当时有， 两式相减可得，即， 当时，，所以，故B错误； 对于C，因为函数为偶函数，所以，所以， 因为是定义域为的奇函数，所以，故C正确； 对于D，如图，设线段的中点分别为，连接， 因为，所以， 所以，即，即点是线段靠近点的三等分点， 所以，故D正确； 故选：CD 10.已知等差数列的前n项和为，且若存在实数a，b，使得，且，当时，取得最大值，则的值可能为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】BC 【解析】，即而， 即有令，则有， 令函数，则当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故，从而有， 则有，当且仅当时，等号成立. 同理，即，当且仅当时等号成立， 则，当且仅当时等号成立. 又，所以，故有， 所以，，则 从而，解得，又，， 所以故是单调递减数列，当或时，取得最大值， 所以或故选：BC. 11.将个数排成行列的数阵，如图所示：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中0）.已知，记这个数的和为，下面叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意，，， 由，则，整理可得，由，解得，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，故D正确.故选：ACD. 12.在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若，则 C．若，则 D．当时， 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，故A正确； 对于B，由已知，是公差为的等差数列，则， 是公差为的等差数列，则，即，解得：或，故B错误； 对于C，，解得：，故C正确； 对于D，，故D正确；故选：ACD 三、填空题 1.已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________. 【答案】2 【解析】因为时，，所以，而， 所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而. 又因为恒成立，即恒成立，所以. 由得，得， 所以，所以，即实数的最小值是2.故答案为：2 2.已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________. 【答案】 【解析】因为，， 所以，则，所以，， 则，可知，，，所以， 又，，所以，则，又， 所以，，所以，因为，所以，故答案为：． 3.若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果，数列为牛顿数列，设，且，则__________；数列的前项和为，则__________. 【答案】          【解析】（1）因为，所以，， 则，，则有， 则， 所以是以为首项，公比为2的等比数列，所以，所以， 解得：. （2），所以.故答案为：；. 4.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，用符号表示（），已知，，（）. （1）若，则___________； （2）若，则___________. 【答案】     11     【解析】（1），∴； （2） .故答案为：①11；②. 5.著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是斐波那契数列中的第______项；又知高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则______.（ 【答案】     101     842 【解析】 ，则是斐波那契数列中的第101项； 列出斐波那契数列，有， 可得，由，取， ， ， 得，，因为，故， 则，.故答案为：①101；②842. 6.已知数列的前项和为，，，则数列_____________． 【答案】 【解析】由题意可得， 所以，所以， 所以， 又因为，所以，故答案为： 7.已知数列满足，，且，则______________. 【答案】2550 【解析】由条件： 得： ，即偶数项是相邻两项的等比中项； 得： ，即奇数项是相邻两项的等差中项； ∴原数列为：1，2，4，6，9，12，16，……，其中第 项 ，第 项（ ） ； ；故答案为：2550. 8.已知数列满足，，且．则数列的通项公式为________．若，则数列的前项和为________． 【答案】     ，     【解析】，，可得，， 又， 则， 上式对也成立，所以，； 由，可得， 则数列的前项和为 ． 故答案为：，；． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 数列与不等式 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：比较大小 6 题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n的范围 7 题型03: 根据不等式恒成立求参数范围 10 题型04: 数列不等式存在求参数取值范围 20 题型05: 证明与通项有关的不等式 22 题型06: 直接求和证明不等式 24 题型07: 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 28 题型08: 先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 30 题型09: 与导数有关的数列不等式. 37 题型10: 数学归纳法证明数列不等式 41 题型11: 数列不等式与三角函数综合 43 题型12: 数列不等式与概率统计 46 题型13：新定义数列 48 巩固提升 51 一、 分值占比与题型分布 数列不等式是高考数学的核心交汇考点，分值占比约10-15分，常融合在数列解答题中，部分试卷会以选择/填空的压轴题形式出现。 1. 基础题型：选择/填空考查数列项的大小比较、简单的放缩判断、基本不等式求数列最值，难度中等偏易。 2.综合题型：解答题多为数列与不等式的交汇题，常作为次压轴题，以“求通项→求和→证明不等式”的三段式结构命题，部分新高考卷会结合新定义、实际情境（如数列模型的最优解问题）命题。 二、 核心考点与命题趋势 1. 核心考点 ◦ 基础层：等差/等比数列的通项与求和公式结合不等式的基本运算；利用数列单调性求最值；基本不等式的应用。 ◦ 进阶层：放缩法证明数列不等式（裂项放缩、等比放缩是高频考点）；数列不等式恒成立问题（转化为数列最值求解参数范围）；S_n与a_n互化后的不等式分析。 ◦ 拔高层：数学归纳法证明数列不等式；构造函数法结合导数处理复杂数列不等式；柯西不等式在数列最值中的应用（新高考卷偶有涉及）。 2. 命题趋势 ◦ 难度分层明显：基础题保分，综合题拉分，区分度高。 ◦ 注重方法迁移：强调放缩的“适度性”、函数与数列的转化思想，淡化复杂技巧，强化通性通法。 ◦ 情境化创新：结合实际问题（如增长率、产量优化）设置数列模型，考查不等式的实际应用。 一、 基础目标（全体学生必达） 1. 能结合等差数列、等比数列的通项与求和公式，解决简单的数列项或前n项和的不等式判断、求解问题。 2. 掌握基本不等式的使用条件，会用其求数列相关的最值，能通过作差、作商比较数列中两项的大小关系。 3. 理解数列单调性与不等式的关联，能通过作差法判断数列单调性，进而求解数列的最大、最小值。 二、 进阶目标（多数学生突破） 1. 熟练运用裂项放缩、等比放缩的基本技巧，证明形如 < k（k为常数）的数列不等式，把握放缩的“适度性”。 2. 能将数列不等式恒成立问题转化为数列最值问题，通过分析数列单调性或结合函数工具，求解参数的取值范围。 3. 掌握 与 的互化方法，能处理含 与 的不等式问题，且不遗漏n=1的检验步骤。 三、 拔高目标（尖子生冲刺） 1. 会用数学归纳法证明与自然数n相关的复杂数列不等式，能结合导数工具构造函数，利用函数单调性推导数列不等式。 2. 理解柯西不等式等拓展不等式的应用场景，能运用其优化数列不等式的证明过程，提升解题效率。 3. 具备解决新情境、新定义下数列不等式综合题的能力，能实现跨模块知识迁移，同时形成规范的解题书写逻辑。 数列中的不等式问题 一：比较大小 比较的大小,通常作差,转化为判断与0的大小,若,也可以转化为判断与1的大小. 二：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求的范围 此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解. 三：根据不等式恒成立求参数范围 不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为或的形式,再利用数列单调性或函数单调性,求的最值,然后确定的范围. 四：数列的能成立问题 五：证明与通项有关的不等式 求解此类问题,一般是先确定通项,再通过放缩或数列单调性证明. 六：直接求和证明不等式 七：先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 证明与前n项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再放缩. 八：先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求和的数列,再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足. 关于放缩： ①考虑放缩的方向； ②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形； ③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。 九：借助导数证明与前n项和有关的不等式. 求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用代换,通过累加或累乘法证明所给不等式. 十：数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 归纳奠基→（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立 归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件， 推出“当n=k+1时命题也成立” 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 一、 通项与求和类不等式解题策略 1. 基本量运算：针对等差、等比数列，利用通项公式 和前n项和公式列方程，求解,d,q等基本量，代入不等式直接判断或求解范围。 2. 与互化：务必检验n=1时是否与n≥2的通项一致，再结合不等式分析。 3. 求和技巧结合不等式： ◦ 错位相减、分组求和、裂项相消求出后，直接代入不等式求解参数范围或证明结论。 ◦ 若无法直接求和，可先对通项放缩，转化为可求和的数列（如等比数列），再通过求和结果推导不等式。 二、 不等式证明类解题策略 1. 放缩法（核心方法） ◦ 裂项放缩：适用于分式型通项，将拆成 - 的形式，放缩后可裂项求和，注意放缩的“度”，避免过度放缩导致证明失败。 ◦ 等比放缩：将非等比数列通项放缩为等比数列通项，利用等比数列求和公式放缩求和，常用于证明<k（k为常数）。 ◦ 单调性放缩：通过作差或作商判断数列{}的单调性，再结合不等式证明。 2. 数学归纳法：适用于与自然数n相关的数列不等式，步骤为：验证n=时成立→假设n=k时成立→推导n=k+1时成立，注意推导过程中需用到n=k的假设条件。 3. 构造函数法：将数列的通项公式转化为函数f(x)，利用导数判断函数单调性，得到f(x)的最值，进而推导数列不等式。 三、 恒成立与参数范围类解题策略 1. 分离参数法：转化为求数列哈函数f(n)的最大值或最小值。 2. 直接求最值法：若无法分离参数，通过分析数列的单调性（作差、作商或结合函数单调性），求出数列的最值，再根据恒成立条件列不等式求解参数范围。 3. 分类讨论法：当参数影响数列的单调性或通项形式时，按参数的不同取值范围分类讨论，分别求解后取并集。 四、 易错防范策略 1. 放缩法证明时，牢记“适度性”原则，可先尝试“紧放缩”，若无法证明再调整放缩幅度。 2. 处理S_n与a_n的关系时，不要忽略n=1的检验，避免分段通项的遗漏。 3. 求解参数范围时，注意数列的特殊性（n为正整数），函数的最值点若不是正整数，需比较最值点附近的正整数项的大小。 题型01： 比较大小 比较的大小,通常作差,转化为判断与0的大小,若,也可以转化为判断与1的大小. 【典型例题】已知数列的前n项和,且满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为,比较和的大小. 【答案】见解析 【解析】（1）因为 当时, 又因为时,也满足上式 所以当时,, （2）由,得 当时, 当时,,. 综上所述：当时,,当时,. 【变式训练1-1】已知函数. (1)若函数在点处的切线在两坐标轴上截距相等，求的值； (2)（i）当时，恒成立，求正整数的最大值； （ii）记，，且.试比较与的大小并说明理由. 题型02：判断数列不等式是否成立或由数列不等式求n的范围 此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解. 【典型例题1】已知数列满足,且． (1)设,证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为,求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：∵, ,,,, 又, ,, ,, 又,,, ,即,, 又, ,, ∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列． （2）由（1）可知数列是以2为首项,2为公比的等比数列, ,即, ,, ,又, , 即, , , , 在是一个增数列, , , ∴满足题意的n的最小值是20． 【典型例题2】已知数列满足记数列的前项和为, (1)求证：数列为等比数列,并求其通项； (2)求； (3)问是否存在正整数,使得成立？说明理由. 【答案】见解析 【解析】（1） , 即, 所以, （2）,所以, 当为奇数时,可令, 则 , 当为偶数时,可令 则； （3）假设存在正整数,使得成立, 因为,, 所以只要 即只要满足①：,和②：, 对于①只要 就可以； 对于②,当为奇数时,满足,显然不成立, 当为偶数时,满足,即 令, 因为 由于的对称轴为,故在且为偶数,单调递减, 当时,,故 即,且当时,最大,且最大值为, 因此,, 所以当为偶数时,②式成立,即当为偶数时,成立 . 【变式训练2-1】已知数列是递增的等比数列．设其公比为，前项和为，并且满足，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，是的前项和，求使成立的最大正整数的值． 【变式训练2-2】已知为等差数列，公差为d，是公比为2的等比数列，且，． (1)证明：； (2)求集合的子集个数． 【变式训练2-3】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，，求满足条件的的最小值. 【变式训练2-4】已知数列满足，且 (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【变式训练2-5】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55． (1)求an、Sn； (2)若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n． 【变式训练2-6】已知数列的前项和(为常数)，且构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值. 题型03: 根据不等式恒成立求参数范围 不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为或的形式,再利用数列单调性或函数单调性,求的最值,然后确定的范围. 【典型例题1】已知为等差数列,且,． (1)求的通项公式； (2)若恒成立,求实数λ的取值范围． 【答案】间解析 【解析】（1）设数列 的公差为d,则根据题意可得, 解得,则． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到, 又恒成立,则恒成立, 设,则, 当时,,即； 当时,,则,则； 则,故, 故实数λ的取值范围为． 【典型例题2】已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）证明见解析，；（ii）;(2) 【解析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得； （2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围. （1）（i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. （2）因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 【典型例题3】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4；(2)；(3). 【解析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． （1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 【典型例题4】记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式： (2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得，结合，可以求出的通项公式，再根据，计算数列的通项公式即可； （2）结合（1）知，，通过，得到，将分正偶数和正奇数两种情况分析讨论即可． （1）由，得， 因为，故，于是. 所以，易知，即. 当时，， 故，，当时，上式也成立， 所以，. （2）， 所以， 所以， 由，可得， 由于，若为偶数时，则， 由于，所以， 若为奇数时，则， 因为，所以， 所以． 故的取值范围为． 【典型例题5】已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）利用等差数列，等比数列代入计算； （2）利用错位相减法可得，讨论n的奇偶结合恒成立问题运算处理． (1)因为数列是等比数列，则可得，解得 所以． 因为数列是等差数列，且，，则公差， 所以． 故， (2)由（1）得：， 数列的前n项和为① 所以② 由①-②得：， 所以． 不等式恒成立，化为成立， 令且为递增数列，即转化为 当时，恒成立，取，所以． 当时，恒成立，取，，所以． 综上可得：实数的取值范围是． 【变式训练3-1】已知数列的前项和为，且满足．设，数列的前项和为． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-2】已知等差数列中，，前12项和. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前项和为，若不等式，对所有恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-3】设数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式． （2）设，是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值． 【变式训练3-4】已知数列的前n项和为，且． （1）求出数列的通项公式； （2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围． 【变式训练3-5】已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设记数列的前项和为，求. (3)设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-6】已知数列中,,设为前项和,,已知数列,设的前项和． (1)求； (2)若对任意恒成立,求实数的取值范围． 【变式训练3-7】设为正项数列的前项和，满足. （1）求的通项公式； （2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围； （3）设（其中是自然对数的底数），求证：. 【变式训练3-8】已知数列是首项的等差数列，设. (1)求证：是等比数列； (2)记，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值. 【变式训练3-9】已知数列的前n项和为，满足： (1)求证：数列为等差数列； (2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【变式训练3-10】已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值． 【变式训练3-11】已知数列的前n项和为，． (1)求； (2)若，对任意的，，，求 的取值范围． 【变式训练3-12】已知等差数列 满足：的前n项和为 ． (1)求及 ； (2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围． 【变式训练3-13】已知数列的前n项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围． 【变式训练3-14】已知等比数列的前项和为，且，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-15】设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立. (1)求数列，的通项公式； (2)设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-16】已知数列、满足，，，﹒ (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【变式训练317】已知正项数列的首项，前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【变式训练3-18】函数满足，，且与直线相切. (1)求实数，，的值； (2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-19】已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-20】已知数列的前项和为，满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列满足，记为的前项和，求证：； (3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【变式训练3-21】已知数列的前n项和为，且，，． (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练3-22】已知函数满足，若数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-23】若为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和． (3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-24】已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【变式训练3-25】已知数列的前n项和为 (1)证明：数列{}为等差数列； (2)，求λ的最大值． 【变式训练3-26】27．已知数列的前项和为 (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-27】已知是等差数列，是等比数列（公比不为1），的前n项和，且， (1)求数列：，的通项公式； (2)设的前项和为.对于任意正整数，当恒成立时，求的最小值. 37．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-28】图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数. (1)设，求数列的通项公式； (2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由. 题型04:数列不等式存在求参数取值范围 【典型例题1】已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据，利用累加法求解； （2）根据存在，成立，由求解. (1)因为， 当时， ， 又满足上式， ∴； (2)由（1）知，∴， ∵存在，使得成立， ∴，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【典型例题2】已知数列满足． （1）求数列的前n项和； （2）若存在,使不等式成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）由知是等差数列，写出通项公式，再应用裂项相消法求； （2）将问题化为，结合单调性，求t的范围. （1）由题设有，即是等差数列， 又，得，故，则， 所以． （2）若存在,使不等式成立，只要． ， 所以是递增的，对于，， 于是只需， 解得或． 故满足条件的实数t为或. 【变式训练4-1】已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式训练4-2】设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…，在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求； (3)对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-3】设对任意，数列满足，，数列满足． (1)证明：单调递增，且； (2)记，证明：存在常数，使得． 【变式训练4-4】设函数. (1)求函数在点处的切线方程; (2)证明:对每个，存在唯一的，满足； (3)证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足. 题型05: 证明与通项有关的不等式 求解此类问题,一般是先确定通项,再通过放缩或数列单调性证明. 【典型例题】已知复数数列的通项公式为（是虚数单位）,为的前项和． (1)求的值； (2)求证：； (3)求的通项公式． 【答案】见解析 【解析】（1）因为（是虚数单位）, 所以 （2）当为奇数时,； 当为偶数时,． 因此无论为奇数还是偶数,． ,当时,上式大于0． 所以, 即 （3）因为（是虚数单位）, 所以． 所以, , 所以 . 【变式训练5-1】在数列的第项与第项之间插入个1,称为变换．数列通过变换所得数列记为,数列通过变换所得数列记为,以此类推,数列通过变换所得数列记为（其中）． (1)已知等比数列的首项为1,项数为,其前项和为,若,求数列的项数； (2)若数列的项数为3,的项数记为． ①当时,试用表示； ②求证：． 【变式训练5-2】已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 题型06: 直接求和证明不等式 【典型例题1】已知数列的首项,且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记,求数列的前项和,并证明． 【答案】见解析 【解析】（1）由得, 又,所以是首项为2,公比为2的等比数列． （2）由（1）知,,所以 所以, 当时,单调递增,故． 【典型例题2】设数列的前项和为,且． (1)求数列的通项公式． (2)设数列满足,且数列的前项和为,求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）依题意,由,可得, 当时,,解得, 当时,, 整理,得,, ∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴； （2）依题意及（1）,由可得, 则, , 两式相减,可得 , ∴,故得证． 【典型例题3】已知等比数列的各项都为正实数,. (1)求数列的通项公式； (2)设,数列的前项和为,证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）设等比数列的公比为, 因为,所以, 化简得,解得或（舍去）,所以； （2）证明：由（1）得, 所以, 所以, 所以 , 所以, 因为,所以. 【典型例题4】已知各项为正数的数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）利用公式，时，，代入化简得到数列的递推公式，即可求解通项公式； （2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式. （1）当时，，解得； 当时，由，得， 两式相减可得，，又， ，即是首项为，公差为的等差数列， 因此，的通项公式为； （2）证明：由可知，所以， ， 因为恒成立，所以， 又因为，所以单调递增，所以， 综上可得． 【变式训练6-1】已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，证明：． 【变式训练6-2】已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 【变式训练6-3】已知是数列的前项和，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． 【变式训练6-4】记数列的前n项和为，且满足（）. （1）求的通项公式； （2）求证：数列的前n项和. 【变式训练6-5】已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【变式训练6-6】已知为数列的前项和，，，记. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：. 【变式训练6-7】已知数列中，，点 ，在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）设，Sn为数列的前 n项和，试问：是否存在关于n的整式，使得恒成立，若存在，写出 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由. 【变式训练6-8】记为数列的前项和，已知．证明： (1)为等比数列； (2)． 【变式训练6-9】已知正项数列的前项和满足关系式. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明. 【变式训练6-10】设各项均为正数的数列的前项和为，满足，已知等比数列，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）记，数列的前项和．证明：对一切正整数，． 【变式训练6-11】已知数列满足，且. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，是数列前n项的和，求证：. 题型07: 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 证明与前n项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再放缩. 【典型例题1】已知等比数列和等差数列,满足,,,． (1)求数列,的通项公式； (2)记数列的前项和为,数列的前项和为．证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）等比数列满足,,所以单调递增, 设的公比为,等差数列的公差为,依题意可得, 解得或（舍去）, 所以,． （2）由（1）可得, 所以 所以, 故, 又,, 即, 所以 ． 【典型例题2】已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求，并求证：. 【答案】(1)；(2)，证明见解析 【解析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式； （2）利用列项相消求数列的前n项和为，再结合单调性即可求证； （1）等差数列公差为d，，且，，，成等比数列， 则有，解得， 所以 （2），， 所以数列的前n项和. 所以， 易知单调递增，同时， 所以当时取得最小值，同时， 所以 【变式训练7-1】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式训练7-2】已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和，且满足，求证：． 题型08:先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求和的数列,再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足. 【典型例题1】已知数列满足． (1)证明是等比数列,并求的通项公式； (2)证明： 【答案】见解析 【解析】（1）因为,所以,且,则, 即,所以数列是首项为,公比为7的等比数列, 所以,则； （2）由（1）可知,, ,即,只有当时,等号成立, 所以,只有当时,等号成立, 当时,,成立, 当时,, 综上可知,. 【典型例题2】已知数列的前项和为,且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）当时,. 当时,,,两式相减得： . 所以是以为首项,以为公比的等比数列. 所以. （2）由（1）知： 所以. 当时,, 当时,,故, 所以. 【典型例题3】已知数列中，，为数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，为数列的前项和，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）利用的关系结合递推式可得，分奇偶项计算即可； （2）结合（1）的结论利用递推关系可得，再利用，放缩求证不等式即可. （1）由题意得，所以， 所以，所以，① 因此．② 由②-①，得，即， 因此或． 因为，所以，所以， 所以数列的奇偶项分别成等差数列，且公差为2． 又因为，得， 所以，．所以． （2）证明：由（1）知， 可得，两式相减，得，即． 又，所以．又， 所以，所以． 【典型例题4】已知数列满足：. (1)求证：数列和均为等比数列； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由，，两式相减结合累加法得，，再由等比数列定义证明即可； （2）先求出的通项公式，进而证明，从而得出，最后结合裂项相消求和法证明即可. （1）由，① ，② 将②-①得， 故当时，，，，…，， 累加得， 故， 当时，，符合题意， 故， 即，， 因此为以3为首项，9为公比的等比数列. 将代入①得，故为以9为首项，9为公比的等比数列. （2）由（1）知，，故， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 因此对任意，均有， 则. 当时，； 当时，. 【典型例题5】已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意，利用求和公式的定义整理可得数列递推公式，结合累乘法，并检验，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式整理可得新数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. （1），∴， ∴， 即， ∴，，…，， ∴， 即，∴． 由，令可得， ∴，验证符合上式，∴． （2）由（1）得，，， 显然； 可知当时，， ∴ ， 符合上式， ∴不等式得证． 【变式训练8-1】已知是等差数列,其前项和为是等比数列,已知,是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记,求证：. 【变式训练8-2】如图,已知点列在曲线上,点列在x轴上,,,为等腰直角三角形． (1)求,,；（直接写出结果） (2)求数列的通项公式； (3)设,证明：． 【变式训练8-3】已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． (2)设数列前n项和为，求． (3)证明：，． 【变式训练8-4】记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列. （i）求的通项公式； （ii）设，证明：. 【变式训练8-5】表示正整数a,b的最大公约数.若,且,则将k的最大值记为,例如： (1)求; (2)设,数列 的前n项和为 证明： 【变式训练8-6】自然常数,符号,为数学中的一个常数,是一个无限不循环小数,且为超越数,其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”,以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位,是数学中最重要的常数之一,它的其中一个定义是.设数列的通项公式为,, (1)写出数列的前三项,,． (2)证明：． 【变式训练8-7】已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【变式训练8-8】记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)求证：对于且，． 【变式训练8-9】已知数列满足：. (1)求证：数列和均为等比数列； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【变式训练8-10】已知数列中，，数列的前n项和为，且. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求证：. 【变式训练8-11】已知数列的前项和为，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）证明:当时， 【变式训练8-12】已知数列的前项和为，且满足， (1)求和 (2)求证：． 【变式训练8-13】已知数列，，，，，为数列的前n项和，为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）求证：． 【变式训练8-14】已知数列前n项积为，且． (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求证：． 【变式训练8-15】已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 题型09: 与导数有关的数列不等式. 求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用代换,通过累加或累乘法证明所给不等式. 【典型例题1】已知函数 (1)若函数在内点处的切线斜率为,求点的坐标； (2)①当时,求在上的最小值； ②证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）设点. 由于,则,得, 则,且,所以点的坐标为. （2）①, 则,记, 则 易知在上单调递减,且, ,即, 所以,当时,,在上单调递增； 当时,,在上单调递减. 因为, 所以时,,在单调递增, 所以,当时,取得最小值. ②由①可知,时恒成立,即恒成立. 设,则, 当时,,在上单调递增, 所以,所以, 又,所以, 取,则, ,得证. 【典型例题2】牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点,任意选取作为的初始近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的1次近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的2次近似值．一般地,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,就称为的次近似值,称数列为牛顿数列． (1)若的零点为,,请用牛顿切线法求的2次近似值； (2)已知二次函数有两个不相等的实数根,数列为的牛顿数列,数列满足,且． （ⅰ）设,求的解析式； （ⅱ）证明： 【答案】见解析 【解析】（1） ,所以 当,所以 当, 所以的2次近似值为. （2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根, 所以不妨设, 则, 因为所以 所以在横坐标为的点处的切线方程为 令则 即, 所以. （ⅰⅰ）由（ⅰ）知, 所以. 因为所以所以. 令则,又 所以,数列是公比为2的等比数列. . 令,则 当时,,所以在单调递减, 所以,即 因为所以即. . 【变式训练9-1】已知函数,. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对,恒成立（为的导数）； (3)设,证明：（）. 【变式训练9-2】帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为：,且满足：,,,…,．注：,,,,…已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a,b的值； (2)当时,试比较与的大小,并证明； (3)已知正项数列满足：,,求证：． 【变式训练9-3】已知函数,数列满足正整数 (1)求的最大值； (2)求证：； (3)求证：． 题型10:数学归纳法证明数列不等式 【典型例题1】设正项数列的首项为4，满足． (1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1)，；(2)见解析 【解析】（1）由首项及递推关系式逐次求得，再根据前三项总结规律猜想出数列的通项公式； （2）根据已知条件得到递推关系，利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可. (1)由可得，又，则，， 则，猜想； (2)由（1）得，当时，， ①当时，猜想显然成立； ②假设当时成立，即； 当时，，猜想成立， 由①②知猜想恒成立，即. 【典型例题2】已知数列满足，前n项和． (1)求，，的值并猜想的表达式； (2)用数学归纳法证明（1）的猜想． 【答案】(1)，，，；(2)证明见解析. 【解析】（1）用赋值法即可求解，根据根据，，，猜想可得； （2）利用数学归纳法的步骤证明即可. (1)∵，前n项和， ∴令，得， ∴， 令，得， ∴． 令，得， ∴． 猜想． (2)用数学归纳法给出证明如下 ①当时，结论成立； ②假设当(，)时，结论成立， 即， 则当时，， ， 即， ∴， ∴， ∴当时结论成立．由①②可知， 对一切都有成立． 【变式训练10-1】设数列满足． (1)求的值并猜测通项公式； (2)证明上述猜想的通项公式． 【变式训练10-2】已知数列的前项和为，其中且. (1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法加以证明. 【变式训练10-3】用数学归纳法证明． 题型11: 数列不等式与三角函数综合 【典型例题1】已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若数列满足，则 【答案】见解析 【解析】A选项，，故， 由基本不等式可得，故，当且仅当时，等号成立， 故，A正确； B选项，由柯西不等式得 ， 当且仅当时，等号成立， 故， ，故，当且仅当时，等号成立， 故， 依次类推，可得，当且仅当等号成立， 故 ，B错误； C选项，设，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，故在上恒成立， ，C正确； D选项，， ， 故，D正确. 故选：ACD 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 【典型例题2】设,. (1)当时,证明：； (2)证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）因为定义域为, 所以, 所以为定义在上的偶函数,下取, 可知,令 则在内单调递增,可得, 即在内恒成立,可知在内单调递增, 所以在内的最小值为,结合偶函数性质可知：. （2）由（1）可得：,当且仅当时,等号成立, 即,令,则,当时,,即, 则有：,,,, 相加可得：, 因为,则,所以, 即. 【变式训练11-1】已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，，当为奇数时，. 【变式训练11-2】设正项数列满足，，．数列满足，其中，．已知如下结论：当时，． (1)求的通项公式． (2)证明：． 【变式训练11-3】同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）． (1)解同余方程（mod3）； (2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若（），数列的前n项和为，求； ②若（），求数列的前n项和． 【变式训练11-4】设． （1）当时，求证：； （2）证明：对一切正整数n，都有． 题型12: 数列不等式与概率统计 【典型例题】在足球比赛中,有时需通过点球决定胜负． (1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外人中的 人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为,易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为,比较与的大小． 【答案】见解析 【解析】（1）解法一：依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为, 门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为   易知,所以   故的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望． 解法二：的所有可能取值为    在一次扑球中,扑到点球的概率,    所以      所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的数学期望： （2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为, 则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为, 第次传球之前球不在甲脚下的概率为,   则     即,又,   所以是以为首项,公比为的等比数列． ②由①可知,所以,   所以,故． 【变式训练12-1】不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个,将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验,若两次均摸到彩球,则试验成功并终止试验,否则在袋子中添加一个相同的白球,然后进行下一次试验． (1)若最多只能进行3次试验,设试验终止时进行的次数为随机变量,求的分布列与数学期望； (2)若试验可以一直进行下去,第次试验成功的概率记为,求证：． 【变式训练12-2】某射击运动员进行射击训练,已知其每次命中目标的概率均为． (1)若该运动员共射击6次,求其在恰好命中3次的条件下,第3次没有命中的概率； (2)该运动员射击训练不超过n（）次,当他命中两次时停止射击（射击n次后,若命中的次数不足两次也不再继续）,设随机变量X为该运动员的射击次数,试写出随机变量X的分布列,并证明． 题型13：新定义数列 【典型例题】已知有穷正项数列,若将每个项依次围成一圈,满足每一项的平方等于相邻两项平方的乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数列都可围成“HL-Circle”． (1)设,当时,是否存在使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由： (2)若的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”． （i）求的取值集合； （ii）求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）由定义可得,而为正项数列,故, 故, 由最后两式可得,故,故且, 结合可得即,故,故. 故存在,使得数列可围成“HL-Circle”,此时数列为：. （2）（i）若的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”． 则由, 结合为正项数列可得, 诸式相乘后可得, 又上述关系式即为(若下标大于,则取下标除以的余数). 故, 故(若下标大于,则取下标除以的余数). 所以(若下标大于,则取下标除以的余数). 设, 若,则即为,故,从而,, 而,故,故,故,从而, 此时均为1,与题设矛盾. 若,则即为,而, ,故,此时均为1,与题设矛盾. 若,则即为,而,所以,故, 从而, 而,故,故, 此时均为1,与题设矛盾. 若,则即为,而,所以, 而,故,故,故, 故,故,故, 此时均为1,与题设矛盾. 若,则,故, 故,故,故,故,故, 此时均为1,与题设矛盾. 综上,. （ii）由均值不等式得, 由上面三组数内必有一组不相等,否则, 从而与题设矛盾, 故等号不成立,从而, 又,由④和⑥得 因此由⑤得： ． 故原式得证. 【变式训练13-1】设有穷数列的项数为,若正整数满足：,则称为数列的“点”． (1)若,求数列的“点”； (2)已知有穷等比数列的公比为,前项和为．若数列存在“点”,求正数的取值范围； (3)若,数列的“点”的个数为,证明：． 【变式训练13-2】定义：若对于任意,数列满足：①；②,其中的定义域为,则称关于满足性质. (1)请写出一个定义域为的函数,使得关于满足性质； (2)设,若关于满足性质,证明：； (3)设,若关于满足性质,求数列的前项和. 1、 单选题 1.已知，数列满足，且对一切，有，则（       ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 2.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 3.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ） A． B． C． D． 4.艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列．设，已知，，的前n项和为，则等于（   ） A．2022 B．2023 C． D． 5.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（    ） A． B．是数列中的最大值 C． D．数列无最大值 二、多选题 1.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（       ） A．1 B．4 C．9 D．32 3.已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（    ） A．1 B．4 C．9 D．32 4.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 5.在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（       ） A．对于任意的，都有 B．对于任意的，数列不可能为常数列 C．若，则数列为递增数列 D．若，则当时， 6.2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是（       ） A．图（4）中共有294个正六边形 B． C．是一个递增的等比数列 D．记为数列的前n项和，则对任意的且，都有 7.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 8.已知数列满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D． 9.下列命题中真命题有（    ） A．若，则是钝角 B．数列的前n项和为，若，则 C．若定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，则 D．若，分别表示的面积，则 10.已知等差数列的前n项和为，且若存在实数a，b，使得，且，当时，取得最大值，则的值可能为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 11.将个数排成行列的数阵，如图所示：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中0）.已知，记这个数的和为，下面叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 12.在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若，则 C．若，则 D．当时， 三、填空题 1.已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________. 2.已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________. 3.若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果，数列为牛顿数列，设，且，则__________；数列的前项和为，则__________. 4.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，用符号表示（），已知，，（）. （1）若，则___________； （2）若，则___________. 5.著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是斐波那契数列中的第______项；又知高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则______.（ 6.已知数列的前项和为，，，则数列_____________． 7.已知数列满足，，且，则______________. 8.已知数列满足，，且．则数列的通项公式为________．若，则数列的前项和为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $