第06讲 裂项相消专题 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习数列专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦裂项相消专题，覆盖分式型、根式型、指数型等12类高考核心题型，按“原理-模型-应用”逻辑架构知识要点，通过考点梳理、策略指导、题型归纳、真题训练四环节，帮助学生构建从通项裂项到求和证明的完整解题体系。 讲义创新采用“模型分类+等价校验”教学法，如总结等差裂项“系数提取法”、指数裂项“仿写法”等策略，结合分层练习与最新模拟题，培养学生数学思维与运算能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生数列综合题应考能力。

第06讲 裂项相消专题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 7 题型01：分式型裂项 7 题型02：根式型裂项 8 题型03：指数型裂项 11 题型04：对数型裂项 12 题型05：三角函数型裂项 14 题型06：复杂裂项型——分离常数型 15 题型07：复杂裂项型——分子裂差法 16 题型08：复杂裂项型——指数裂项法 17 题型09：复杂裂项型——等差指数仿写法 18 题型10：正负型——等差裂和型 19 题型11：正负型——等差裂差型 20 题型12：正负型——指数裂和型 22 巩固提升 23 最新模拟新模考真题 27 裂项相消是高考数列求和核心方法，常考解答题（17题，10分左右），难度中等，偶见选择/填空；重点考通项裂项、求和、不等式证明，核心是掌握常见裂项模型与等价性校验。 一、高考定位与命题趋势 1. 核心地位：数列求和三大方法（分组、裂项、错位相减）之一，高频考点，近5年新高考卷多次在解答题第17题考查，分值10分，难度中等，区分度好。 2.题型分布：以解答题为主（求通项+裂项求和/不等式证明）；小题多为基础裂项或放缩，难度中低，常考分式型、根式型、指数型。 3. 命题趋势：与递推求通项、不等式证明、函数综合结合，强调裂项等价性与消项完整性，近年更侧重裂项放缩证明数列不等式。 一、 知识目标 1. 准确理解裂项相消法的核心原理：将数列通项拆分为两项之差的形式，通过累加抵消中间项，仅保留首尾有限项完成求和。 2. 熟记高考高频裂项模型，包括分式型、根式型、指数型、对数型等，并能灵活变形应用。 3. 掌握裂项相消法与数列通项求解、不等式证明的关联逻辑，明确该方法在数列综合题中的应用场景。 二、 能力目标 1. 基础运算能力：能根据通项特征选择合适的裂项模型，完成等价裂项，精准计算前n项和，避免系数错漏、消项不彻底等问题。 2. 综合应用能力：结合递推公式、S_n与a_n的关系求出数列通项，再运用裂项相消法解决求和问题；能通过裂项放缩证明数列不等式，把控放缩幅度。 3. 题型辨析能力：快速判断题目是否适合用裂项相消法，区分其与分组求和、错位相减等数列求和方法的适用条件。 三、 应试目标 1. 面对高考数列解答题（如第17题）中裂项相消相关考点，能在规定时间内规范书写解题步骤，确保满分或高分。 2. 攻克选择、填空题中的基础裂项求和或放缩小题，提高解题速度与正确率。 3. 应对高考命题趋势，能处理裂项相消与函数、不等式结合的综合题型，提升应试得分能力。 裂项相消法的八种类型 类型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） 类型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 类型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 类型4：对数型 类型5：幂型 （1） （2） （3） 类型6：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 类型7：通项裂项为“”型 ，本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 类型8：裂项相消与放缩法、导数的结合 例1：已知数列满足=0， （1)证明数列是等差数列。并求数列的通项公式 （2）设数列的前n项和为Sn，证明： 解：（1）. ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列 所以 即 （2）.， 数列的前n项和Sn=n- ∵ ∴Sn=n-n- 所以 1. 核心原理 把数列的通项 a_n 拆成两项之差的形式 a_n = b_n - b_{n+1}（或 a_n = b_{n-1}-b_n），累加时中间项相互抵消，最终剩余首末若干项求和。 2. 解题步骤 ① 判断特征：数列通项为分式或根式形式，且分母为若干项的乘积/和差，可尝试裂项。 ② 精准裂项：根据通项结构匹配裂项模型，提取系数，确保变形等价。 ③ 逐项抵消：写出前 n 项和 ，展开后观察抵消规律，明确剩余项（注意首项、末项的保留情况）。 ④ 化简结果：对剩余项合并计算，整理出最简表达式。 题型01：分式型裂项 【典型例题】记数列的前n项和为，对任意，有． (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）根据，令得到，令最终得到，结合等差数列定义即可证明； （2）根据等差数列定义得到，结合裂项相消法求和即可. （1）因为， 所以当时，，所以， 当时，， 两式相减得， 即， 即， 因为，所以为常数， 所以是首项为2，公差为2的等差数列 （2）由（1）知，， 所以， 所以数列的前n项和为. 【变式训练1-1】已知在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式训练1-2】已知等差数列满足，，等比数列满足，． (1)求与的通项公式； (2)若，设，求的前项和． 【变式训练1-3】记为数列的前项和． (1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①数列是等差数列；② (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 【变式训练1-4】已知数列是公差为的等差数列，且，若16和26分别是中的项. (1)当取最大值时，求通项； (2)在（1）的条件下，求数列的前n项和. 题型02：根式型裂项 【典型例题1】已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 【答案】(1)；(2)；(3)详见解析. 【解析】（1）根据和的关系即可求解；（2）根据等差数列前项和公式求出代入化简即可解决；（3）求出，进行适当放缩后用裂项相消求和解决. （1）设等比数列的公比为， 当时，有，则  ① 当时，，两式相减可得：， 整理得，可知，代入①可得， 所以等比数列的通项公式为（）. （2）由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列， 所以， 则， 设，则是递增数列， 当为偶数时，恒成立，即，所以； 当为奇数时，恒成立，即，所以； 综上所述，的取值范围是. （3）证明：由（1）得， 则有 . ,原不等式得证. 【典型例题2】已知正项数列满足，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题，利用累乘法即可求解，进而可得，进而可证等差； （2）由（1）得，由裂项求和即可求解. 所以当时， ， 易知满足，所以. 所以， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）可得， 所以 . 所以. 【典型例题3】在正项数列中，，． (1)求； (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由，可得，令，则，可得为首项为1，公差为1的等差数列，可得，进而求解； （2）根据裂项相消求和，进而即可得证. （1）由， 得， 令，则，且， ∴为首项为1，公差为1的等差数列， ∴，又，∴． （2）证明：． 【变式训练2-1】已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，． 【变式训练2-2】在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题． 已知数列的前n项和． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，设___________，求数列的前n项和． 【变式训练2-3】已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，设的前项和为，求证：． 【变式训练2-4】记为数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)令，证明：. 【变式训练2-5】已知数列的前项和为. (1)求； (2)求. 题型03：指数型裂项 【典型例题】已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由与的关系求通项； （2）先求出，再用裂项相消法求. （1）由已知①， 当时，，即，解得， 当时，②， ①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）因为， 所以 . 【变式训练3-1】已知是数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式训练3-2】已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【变式训练3-3】已知为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． 【变式训练3-4】已知数列的前项和为，，，. (1)求，及的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值. 题型04：对数型裂项 【典型例题】已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，，，求； (3)设，其中.求的前2n项和. 【答案】(1)，；(2)；(3). 【解析】（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可； （2）运用累和法，结合对数的运算性质进行求解即可； （3）根据（1）（2）的结论，结合裂项相消法进行求解即可. (1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，或舍去，所以； ， ，解得：，即， 所以有，； (2)因为， 所以当时， 有 ，显然当时也适合， 即； (3)由（1）（2）可知：，，. 当，时，， 当，时，， ， . 【点睛】运用裂项相消法是解题的关键. 【变式训练4-1】已知数列满足 (1)证明：数列为等差数列： (2)设数列满足，求数列的前项和. 【变式训练4-2】已知数列的首项为2，且满足（且），． (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【变式训练4-3】已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列和的通项公式； (2)记． （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【变式训练4-4】已知数列是首项为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且满足，．设数列满足． (1)求的通项公式； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列满足______，求的前n项和． 题型05：三角函数型裂项 【典型例题】已知数列中，，，且． (1)设，试用表示，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）根据提示将条件进行转化即可； （2）根据两角差的正弦公式可将化为裂项式求和. （1），， 所以，所以， 所以，. （2）， 所以 . 【变式训练5-1】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令 . （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 【变式训练5-2】已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前100项和． 【变式训练5-3】已知数列中，，，且. (1)设，证明数列是常数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的的前项和； (3)设，求数列的前2022项的和. 【变式训练5-4】在正项等比数列中，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 题型06：复杂裂项型——分离常数型 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，吧分子次幂降下来 【典型例题】已知函数. (1)若，使得成立，求实数的取值范围； (2)证明：对任意的为自然对数的底数. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）变形不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得. （2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得. （1）函数，则不等式，令， 求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，因此当时，，依题意，，所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，当时，，即当时，，而当时，， 因此，于是 ，即有， 所以. 【变式训练6-1】已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求． (3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值． 题型07：复杂裂项型——分子裂差法 分式型分子裂差法 【典型例题】已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求； （2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明. （1）当时，，解得． 当时，由①，可得，② ①②得：，即． ， ． 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列的通项公式． （2）由（1）可得， ， ，，，，， ， . 【变式训练7-1】设正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和. 题型08：复杂裂项型——指数裂项法 指数裂项法 【典型例题】设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解. （2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解. （1）一方面：因为，所以， 所以，即； 另一方面：又时，有，即，且，所以此时； 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，又由题意， 数列的前项和为， 又，都有，故只需，而关于单调递增， 所以关于单调递减，关于单调递增， 所以当时，有， 因此，即，解得， 综上所述：的取值范围为. 【变式训练8-1】已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 题型09：复杂裂项型——等差指数仿写法 等差指数仿写型裂项法 【典型例题】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用构造法，先求得，进而求得.（2）利用裂项求和法求得. （1）由得：， ∵，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以， 所以； （2），所以 . 【变式训练9-1】设数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； 题型10：正负型——等差裂和型 正负型：等差裂和型 【典型例题】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. (3)，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)；(3)当为奇数时，；当为偶数时，. 【解析】（1） 设等差数列的公差为,根据题意求出的值，即可得答案； （2）由题意可得，再采用分组求和即可得答案； （3）由题意可得，分为奇数、偶数分别求解即可. （1）解：设等差数列的公差为， 由，可得，即， 即，则，解得， 所以； （2）由（1）可得： 所以 （3）解：因为， 当为奇数时， ，所以； 当为偶数时， ，. 【变式训练10-1】已知数列的前项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 题型11：正负型——等差裂差型 正负型：等差裂差型 【典型例题1】设数列的前项和为，且.（1）求、、的值； （2）求出及数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和为. 【答案】（1），，；（2），； （3）当为奇数，；当为偶数，. 【解析】(1)，时，， 时，，解得， 时，，解得，同理可得：， （2）由（1）可得：，，化为，猜想，时，代入，左边；右边,所以左边=右边，猜想成立，时也成立， 时，，时，也成立，； 当时，，又， 数列的通项公式为. （3）， 为偶数时，数列的前项和为： . 为奇数时，数列的前项和为： . 综上所述，当为奇数，；当为偶数，. 【变式训练11-1】已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型12：正负型——指数裂和型 正负型：等指数裂差型 【典型例题】已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)记，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，(2)(3)最大值为，最小值为 【解析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得. （2）利用错位相减求和法求得. （3）利用裂项求和法，结合对进行分类讨论，由此求得的最大值和最小值. （1）依题意，，，解得，所以， 则，设等差数列的公差为，则， 所以. （2），，， 两式相减得， . （3） ， ， 当为偶数时，，令（为偶数），则是单调递增数列， 最小值为，且. 当为奇数是，，令（为奇数），则是单调递减数列， 最大值为，且. 综上所述，的最大值为，最小值为. 【变式训练12-1】已知为等比数列，且，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围. 练 1．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 3．设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 4．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 5．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 6．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 7．设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 8．设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 9．设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求其前项和 10．已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 11．在等差数列中，，其前项和满足. (1)求实数的值，并求数列的通项公式； (2)若数列是首项为，公比为的等比数列，求证：数列的前项和. 12．已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列. (1)求和. (2)设，求数列的前项和. 13．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足 ． (1)求证：为等差数列； (2)记，求数列的前2023项的和M． 14．已知数列满足． (1)证明为等差数列，并的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15．已知数列的前项的积记为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 16．已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数. 17．已知等差数列，首项，其前项和为，点在斜率为1的直线上． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求证：． 18．设数列的前项和为，且. (1)求； (2)记，数列的前项和为，求. 19．已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前项和. 20．在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式和前n项和； (2)设，求数列的前n项和公式． 21．已知正项数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 22．已知数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 23．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知_________，是的前项和，证明：． 从①，②中选取一个补充至题中并完成问题． 24．已知等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式. 25．已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，，成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列的前项和.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） ①；②；③. 26．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 27．已知数列的前n项和为，且满足，等差数列中，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，求数列的前n项和． 28．记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若，求m的值． 最新模拟新模考真题 1.已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等? (3)在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大? 2.已知数列的首项为1，设，． (1)若为常数列，求的值； (2)若为公比为2的等比数列，求的解析式； (3)数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由． 3.已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 4.已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列.求的值. 5.记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 6.在等差数列中，是数列的前n项和，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 8.正项数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 9.数列中，，且对任意正整数m，数列，，是公差为的等差数列. (1)依次求，，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)记（n为正整数），求数列的前n项和. 10.已知等差数列，其前项和满足为常数. (1)求及的通项公式； (2)记数列 ，求前项和的. 11.已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 12.在数列中，且. (1)求的通项公式； (2)设，若的前项和为，证明：. 13.记为数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 14.已知数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：，求数列的前2n项和. 15.已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 裂项相消专题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：分式型裂项 5 题型02：根式型裂项 9 题型03：指数型裂项 16 题型04：对数型裂项 19 题型05：三角函数型裂项 24 题型06：复杂裂项型——分离常数型 28 题型07：复杂裂项型——分子裂差法 30 题型08：复杂裂项型——指数裂项法 32 题型09：复杂裂项型——等差指数仿写法 34 题型10：正负型——等差裂和型 35 题型11：正负型——等差裂差型 37 题型12：正负型——指数裂和型 39 巩固提升 41 最新模拟新模考真题 66 裂项相消是高考数列求和核心方法，常考解答题（17题，10分左右），难度中等，偶见选择/填空；重点考通项裂项、求和、不等式证明，核心是掌握常见裂项模型与等价性校验。 一、高考定位与命题趋势 1. 核心地位：数列求和三大方法（分组、裂项、错位相减）之一，高频考点，近5年新高考卷多次在解答题第17题考查，分值10分，难度中等，区分度好。 2.题型分布：以解答题为主（求通项+裂项求和/不等式证明）；小题多为基础裂项或放缩，难度中低，常考分式型、根式型、指数型。 3. 命题趋势：与递推求通项、不等式证明、函数综合结合，强调裂项等价性与消项完整性，近年更侧重裂项放缩证明数列不等式。 一、 知识目标 1. 准确理解裂项相消法的核心原理：将数列通项拆分为两项之差的形式，通过累加抵消中间项，仅保留首尾有限项完成求和。 2. 熟记高考高频裂项模型，包括分式型、根式型、指数型、对数型等，并能灵活变形应用。 3. 掌握裂项相消法与数列通项求解、不等式证明的关联逻辑，明确该方法在数列综合题中的应用场景。 二、 能力目标 1. 基础运算能力：能根据通项特征选择合适的裂项模型，完成等价裂项，精准计算前n项和，避免系数错漏、消项不彻底等问题。 2. 综合应用能力：结合递推公式、S_n与a_n的关系求出数列通项，再运用裂项相消法解决求和问题；能通过裂项放缩证明数列不等式，把控放缩幅度。 3. 题型辨析能力：快速判断题目是否适合用裂项相消法，区分其与分组求和、错位相减等数列求和方法的适用条件。 三、 应试目标 1. 面对高考数列解答题（如第17题）中裂项相消相关考点，能在规定时间内规范书写解题步骤，确保满分或高分。 2. 攻克选择、填空题中的基础裂项求和或放缩小题，提高解题速度与正确率。 3. 应对高考命题趋势，能处理裂项相消与函数、不等式结合的综合题型，提升应试得分能力。 裂项相消法的八种类型 类型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） 类型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 类型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 类型4：对数型 类型5：幂型 （1） （2） （3） 类型6：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 类型7：通项裂项为“”型 ，本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 类型8：裂项相消与放缩法、导数的结合 例1：已知数列满足=0， （1)证明数列是等差数列。并求数列的通项公式 （2）设数列的前n项和为Sn，证明： 解：（1）. ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列 所以 即 （2）.， 数列的前n项和Sn=n- ∵ ∴Sn=n-n- 所以 1. 核心原理 把数列的通项 a_n 拆成两项之差的形式 a_n = b_n - b_{n+1}（或 a_n = b_{n-1}-b_n），累加时中间项相互抵消，最终剩余首末若干项求和。 2. 解题步骤 ① 判断特征：数列通项为分式或根式形式，且分母为若干项的乘积/和差，可尝试裂项。 ② 精准裂项：根据通项结构匹配裂项模型，提取系数，确保变形等价。 ③ 逐项抵消：写出前 n 项和 ，展开后观察抵消规律，明确剩余项（注意首项、末项的保留情况）。 ④ 化简结果：对剩余项合并计算，整理出最简表达式。 题型01：分式型裂项 【典型例题】记数列的前n项和为，对任意，有． (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）根据，令得到，令最终得到，结合等差数列定义即可证明； （2）根据等差数列定义得到，结合裂项相消法求和即可. （1）因为， 所以当时，，所以， 当时，， 两式相减得， 即， 即， 因为，所以为常数， 所以是首项为2，公差为2的等差数列 （2）由（1）知，， 所以， 所以数列的前n项和为. 【变式训练1-1】已知在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】见解析 【解析】（1）根据等差数列性质和通项公式可求得公差，代入通项公式即可求得； （2）采用裂项相消法可求得. （1）设等差数列的公差为， ，，， . （2）由（1）得：， . 【变式训练1-2】已知等差数列满足，，等比数列满足，． (1)求与的通项公式； (2)若，设，求的前项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）设的公差为，由题意可得，求得， ，进而可求；设的公比为，由题意可得，求得或，再分，两种情况求解即可. （2）利用裂项相消法和分组求和法即可求解. （1）设的公差为，因为，， 所以，解得，从而，所以． 设的公比为，因为，则有 ，，解得或， 当时，因为，所以，所以． 当时，因为，所以，所以． （2）由（1）可知，若，则．因为，所以， 所以， 所以． 【变式训练1-3】记为数列的前项和． (1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①数列是等差数列；② (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）选择条件①，利用与的关系式和等差中项的性质即可得证；选择条件②，设数列的首项为，公差为，求出，表示出，即可得证. （2）由（1）根据已知得出，然后利用裂项相消法即可求解. （1）选择条件①：， ， 两式相减可得， 即， ， 两式相减可得， 化简可得， ，数列是等差数列． 选择条件②：设数列的首项为，公差为， 则，故， 当时， ， 当时，，， 又． 数列是等差数列． （2）数列是等差数列，且公差， ． ， 故 ． 【变式训练1-4】已知数列是公差为的等差数列，且，若16和26分别是中的项. (1)当取最大值时，求通项； (2)在（1）的条件下，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由等差数列的性质，可得，找到与的关系，进而找到取最大值时，通项； （2）裂项相消即可. （1）由已知得，数列单调递增，不防设，且， ∴即，∴， ∵与越小，越大， ∴，∴，∴，∴ （2）由（1）知：，∴ ， ∴ 题型02：根式型裂项 【典型例题1】已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 【答案】(1)；(2)；(3)详见解析. 【解析】（1）根据和的关系即可求解；（2）根据等差数列前项和公式求出代入化简即可解决；（3）求出，进行适当放缩后用裂项相消求和解决. （1）设等比数列的公比为， 当时，有，则  ① 当时，，两式相减可得：， 整理得，可知，代入①可得， 所以等比数列的通项公式为（）. （2）由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列， 所以， 则， 设，则是递增数列， 当为偶数时，恒成立，即，所以； 当为奇数时，恒成立，即，所以； 综上所述，的取值范围是. （3）证明：由（1）得， 则有 . ,原不等式得证. 【典型例题2】已知正项数列满足，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题，利用累乘法即可求解，进而可得，进而可证等差； （2）由（1）得，由裂项求和即可求解. 所以当时， ， 易知满足，所以. 所以， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）可得， 所以 . 所以. 【典型例题3】在正项数列中，，． (1)求； (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由，可得，令，则，可得为首项为1，公差为1的等差数列，可得，进而求解； （2）根据裂项相消求和，进而即可得证. （1）由， 得， 令，则，且， ∴为首项为1，公差为1的等差数列， ∴，又，∴． （2）证明：． 【变式训练2-1】已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式列式，求出和，可得； （2）分母有理化化简，利用裂项求和求出，作差比较可证不等式成立. （1）设公差为，则，即，解得， 所以. （2） ，所以 ， 所以， 所以 ， 当时， ， 所以当时，. 【变式训练2-2】在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题． 已知数列的前n项和． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，设___________，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析 【解析】（1）利用数列通项与前项和的关系证明. （2）利用裂项相消法、错位相减法计算求解. （1）因为①， 所以②， ②①得整理得， 由等差数列的定义可知是等差数列． （2）由（1）得的公差， 又因为，所以． 若选①： , 所以 ． 若选②： ， 所以 ． 若选③： ， 则，   两式作差得 ．                   所以． 【变式训练2-3】已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，设的前项和为，求证：． 【答案】（I）;（Ⅱ）证明过程见解析； 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用 整理得 ,进而计算可得结论；（Ⅱ）通过分母有理化可知，并项相加即得结论．. （I）当时，，得或（舍去）． 当时，，，两式相减得 ， 所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列，． （Ⅱ） 【变式训练2-4】记为数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)令，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）由结合可得及，两式相减并整理可得答案； （2）由（1）结合，可得，即可得答案. （1）由题意得：，所以，即. 又，所以，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以，两式相减得，即， 所以，因此的通项公式为. （2）由（1）可得：，. 因为. 则， 所以 . 【变式训练2-5】已知数列的前项和为. (1)求； (2)求. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由与的关系化简得为等差数列后求解， （2）由裂项相消法求解． （1），可得， 可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列， 可得，由，可得； （2）， 即有. 题型03：指数型裂项 【典型例题】已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由与的关系求通项； （2）先求出，再用裂项相消法求. （1）由已知①， 当时，，即，解得， 当时，②， ①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）因为， 所以 . 【变式训练3-1】已知是数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据与的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. （1）时，， 时， 经验证时满足，； （2）， . 【变式训练3-2】已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由与的关系可求出通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的和即可. （1）当时，，得， 当时，，得， 所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以 【变式训练3-3】已知为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式； （2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案. （1）当时，，则， 因为， 所以， 两式相减得： ， 所以，， ，，则，即也适合上式， 所以是以5为首项，公比为2的等比数列， 故：， 故； （2）由（1）得 ， 故 ， 当时，，故. 【变式训练3-4】已知数列的前项和为，，，. (1)求，及的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值. 【答案】(1)，，；(2) 【解析】（1）根据递推公式和的值，即可求出，及的通项公式； （2）求出数列的通项公式，得出数列的前项和，由不等式的恒成立，还可求出的最小值. （1）由题意， 在数列中，，， 当时，， 当时上式也符合， ∴，，. ∴当时，；当时，上式也符合. ∴的通项公式为. （2）由题意及（1）得，, 在数列中，， 数列中，, ∴. ∵， ∴. ∵. ∴的最大值为，. ∴的最小值为. 题型04：对数型裂项 【典型例题】已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，，，求； (3)设，其中.求的前2n项和. 【答案】(1)，；(2)；(3). 【解析】（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可； （2）运用累和法，结合对数的运算性质进行求解即可； （3）根据（1）（2）的结论，结合裂项相消法进行求解即可. (1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，或舍去，所以； ， ，解得：，即， 所以有，； (2)因为， 所以当时， 有 ，显然当时也适合， 即； (3)由（1）（2）可知：，，. 当，时，， 当，时，， ， . 【点睛】运用裂项相消法是解题的关键. 【变式训练4-1】已知数列满足 (1)证明：数列为等差数列： (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）对进行整理得到，即可说明数列为等差数列； （2）将变形为或，然后求和即可. （1）法1：由， 两边同除以得，，（）为常数， ∴数列为等差数列，首项，公差为1， 法2：由得， ∴（）为常数， ∴数列为等差数列，首项，公差为1. （2）由，∴， 法1：， 则 . 法2：， 则 . 【变式训练4-2】已知数列的首项为2，且满足（且），． (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因式分解可知为等比数列，然后可解； （2）利用对数运算裂项可解. （1）由得， 因为，所以，所以，即， 又，所以是以2为首项和公比的等比数列，所以． （2）由得， 【变式训练4-3】已知数列，，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列和的通项公式； (2)记． （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)；；(2)（ⅰ） ；（ⅱ） 【解析】（1）利用等差数列的通项公式及等比中项的性质即可求解； （2）（ⅰ）利用裂项相消法求和即可， （ⅱ）将相邻两项合并成一项，再利用错位相减法求和即可. （1）设数列的公差为d， ∵，，成等比数列，且， ∴，即，解得， 则， 即， （2）（ⅰ）由（1）可知，， 则 ； （ⅱ）由题意，对， ， 设的前n项为， 所以，则， 则 ， 所以， 即． 【变式训练4-4】已知数列是首项为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且满足，．设数列满足． (1)求的通项公式； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列满足______，求的前n项和． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】设出数列的公差d及数列的首项，由题列方程可求出d，，利用等差数列和等比数列的通项公式，即可求解；（2）结合（Ⅰ）若选①，利用错位相减法即可求解；若选②，利用分组求和法即可求解；若选③，利用裂项相消法即可求解． (1)设数列的公差为d，数列的首项为． 由题意得，， 解得，， 则，，所以． (2)若选①， 即， 所以， 则， 两式相减得 所以． 若选②， 即， 所以 ． 若选③，即， 所以 ． 题型05：三角函数型裂项 【典型例题】已知数列中，，，且． (1)设，试用表示，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）根据提示将条件进行转化即可； （2）根据两角差的正弦公式可将化为裂项式求和. （1），， 所以，所以， 所以，. （2）， 所以 . 【变式训练5-1】在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令 . （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（1）类比等差数列求和的倒序相加法，将等比数列前n项积倒序相乘，可求，代入即可求解. （2）由（1）知，利用两角差的正切公式，化简，，得 ，再根据裂项相消法，即可求解. （Ⅰ）由题意，构成递增的等比数列，其中，则 ① ② ①②，并利用等比数列性质，得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又 所以数列的前项和为 【点睛】（Ⅰ）类比等差数列，利用等比数列的相关性质，推导等比数列前项积公式，创新应用型题；（Ⅱ）由两角差的正切公式，推导连续两个自然数的正切之差，构造新型的裂项相消的式子，创新应用型题；本题属于难题. 【变式训练5-2】已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1)证明见详解；(2) 【解析】（1）根据等比数列的性质分析可得，再结合等差数列的定义分析证明； （2）根据两角差的正切公式整理得，结合裂项相消法运算求解. （1）由题意可得：，且，可得， 所以，可得， 则， 所以数列是以公差为的等差数列. （2）由（1）可得， 则， 整理得， 则 ， 所以数列的前100项和. 【变式训练5-3】已知数列中，，，且. (1)设，证明数列是常数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的的前项和； (3)设，求数列的前2022项的和. 【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3) 【解析】（1）根据递推公式可得即，再由即可得证； （2）由（1）可得，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式及前项和公式计算可得； （3）依题意可得，列出的前几项，即可找到规律，从而得解； （1）证明：因为，，且 所以，又，即，， 又，所以，即是常数列； （2）解：由（1）可得，即，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以， 记数列的的前项和为，则； （3）解：因为 所以 所以，， ，． 所以 同理可得，，，， 所以， ， 每经过4个数循环一次， 且，， 所以， 记数列的前项和为， 所以， ， 【变式训练5-4】在正项等比数列中，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求得. （1）正项等比数列，中，， 设公比为，则，所以 解得，. 所以数列的通项公式为. （2）， 所以 则 . 题型06：复杂裂项型——分离常数型 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，吧分子次幂降下来 【典型例题】已知函数. (1)若，使得成立，求实数的取值范围； (2)证明：对任意的为自然对数的底数. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）变形不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得. （2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得. （1）函数，则不等式，令， 求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，因此当时，，依题意，，所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，当时，，即当时，，而当时，， 因此，于是 ，即有， 所以. 【变式训练6-1】已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求． (3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）根据及，可得到是首项为，公差为2的等差数列，结合定义法求通项公式即可； （2）根据（1）的结果求得，结合裂项相消法求和即可； （3）根据（1）的结果得到，进而得到当时，，结合随的增大而增大，得到最值，即可得到，进而得到答案. （1）因为， 所以当时，，解得， 当时，， 两式相减得，， 化简得，， 因为，所以，则， 即是首项为，公差为2的等差数列， 所以的通项公式为 （2）由（1）知，，因为， 所以， 所以 （3）由（1）知，，所以， 所以当时，，因为随的增大而增大， 所以，， 所以，所以的最小值为 题型07：复杂裂项型——分子裂差法 分式型分子裂差法 【典型例题】已知正项数列的前项和，满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记，设数列的前项和为，求证． 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）由，把用1代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通项可求； （2）由（1）可先算出，代入求得通项并裂项，再求和即可证明. （1）当时，，解得． 当时，由①，可得，② ①②得：，即． ， ． 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列的通项公式． （2）由（1）可得， ， ，，，，， ， . 【变式训练7-1】设正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用与的关系，列出方程求出. （2）根据题意求出，利用裂项相消求和法，计算求出答案. （1）当时，，即， 解得（舍去）或（可取）， 当时，，， 两式相减得：， 即，即， ∵恒成立，∴，∴， ∴是首项为，公差为的等差数列，故. （2）由（1）可得，∵是首项为，公差为的等差数列， ∴，∴， ∴.故. 题型08：复杂裂项型——指数裂项法 指数裂项法 【典型例题】设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解. （2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解. （1）一方面：因为，所以， 所以，即； 另一方面：又时，有，即，且，所以此时； 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，又由题意， 数列的前项和为， 又，都有，故只需，而关于单调递增， 所以关于单调递减，关于单调递增， 所以当时，有， 因此，即，解得， 综上所述：的取值范围为. 【变式训练8-1】已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）根据与的关系，即，和等比数列的性质进而求出数列的通项公式； （2）由结合(1)并列项得，再根据裂项求和得，进而即可证明. （1）当时，，两式相减得，， 又，，． 所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以． （2）证明：， 因为， 所以 ，因为，所以． 题型09：复杂裂项型——等差指数仿写法 等差指数仿写型裂项法 【典型例题】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用构造法，先求得，进而求得.（2）利用裂项求和法求得. （1）由得：， ∵，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以， 所以； （2），所以 . 【变式训练9-1】设数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； 【答案】(1)(2) 【解析】（1）根据与的关系求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可. （1）由，当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以； （2）， 则 . 题型10：正负型——等差裂和型 正负型：等差裂和型 【典型例题】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. (3)，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)；(3)当为奇数时，；当为偶数时，. 【解析】（1） 设等差数列的公差为,根据题意求出的值，即可得答案； （2）由题意可得，再采用分组求和即可得答案； （3）由题意可得，分为奇数、偶数分别求解即可. （1）解：设等差数列的公差为， 由，可得，即， 即，则，解得， 所以； （2）由（1）可得： 所以 （3）解：因为， 当为奇数时， ，所以； 当为偶数时， ，. 【变式训练10-1】已知数列的前项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）结合题设变形为，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求得，进而结合和的关系求解即可； （2）结合（1）可得，结合裂项相消求和即可. （1）由，得， 而，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，，显然也满足上式， 所以. （2）由（1）知，，， 因此， 所以. 题型11：正负型——等差裂差型 正负型：等差裂差型 【典型例题1】设数列的前项和为，且.（1）求、、的值； （2）求出及数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和为. 【答案】（1），，；（2），； （3）当为奇数，；当为偶数，. 【解析】(1)，时，， 时，，解得， 时，，解得，同理可得：， （2）由（1）可得：，，化为，猜想，时，代入，左边；右边,所以左边=右边，猜想成立，时也成立， 时，，时，也成立，； 当时，，又， 数列的通项公式为. （3）， 为偶数时，数列的前项和为： . 为奇数时，数列的前项和为： . 综上所述，当为奇数，；当为偶数，. 【变式训练11-1】已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得出，解方程求出，再由等差数列和等比数列的通项公式即可得出答案； （2）先求出，再由裂项相消法和等比数列的前项和公式求解即可. （1）设数列的公差为，数列的公比为，则，解得：， 所以数列的通项公式为； 数列的通项公式. （2）， 数列的前项和． . 题型12：正负型——指数裂和型 正负型：等指数裂差型 【典型例题】已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)记，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，(2)(3)最大值为，最小值为 【解析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得. （2）利用错位相减求和法求得. （3）利用裂项求和法，结合对进行分类讨论，由此求得的最大值和最小值. （1）依题意，，，解得，所以， 则，设等差数列的公差为，则， 所以. （2），，， 两式相减得， . （3） ， ， 当为偶数时，，令（为偶数），则是单调递增数列， 最小值为，且. 当为奇数是，，令（为奇数），则是单调递减数列， 最大值为，且. 综上所述，的最大值为，最小值为. 【变式训练12-1】已知为等比数列，且，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)当为递增数列时，，数列的前项和为，若存在，求的取值范围. 【答案】(1)或(2) 【解析】（1）运用等差中项的性质和等比数列通项公式基本量运算，解方程即可得到通项. （2）由递增可得，对通项进行裂项展开，当n为偶数、奇数时分别求出表达式，然后再分别求出的范围，由存在，即可求出的取值范围. （1）设等比数列公比为q， 由或， 或. （2）当为递增数列时， 所以 当为偶数时， 在上单调递减，， 当为奇数时， 在上单调递增，，. 练 1．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． （1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 2．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. （1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 3．设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【解析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. （1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以，设 所以，则， 作差得，所以，所以. 4．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)(2)见解析 【解析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. （1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴,∴当时，， ∴,整理得：,即, ∴， 显然对于也成立，∴的通项公式； （2） ∴ 5．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式； （II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证. （I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，，所以， 所以，且，所以数列是等比数列； （ii）由题意知，，所以， 所以，设， 则，两式相减得， 所以，所以. 【点睛】最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证. 6．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. （1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设，    ⑧ 则．     ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）得，，①， ①②得 ， 所以，所以，所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则．又， 所以 ，下同方法二． 【点睛】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 7．设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 【答案】（1），，，证明见解析；（2）. 【解析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可． （1）［方法一］【最优解】：通性通法 由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即． 证明如下：当时，成立； 假设时，成立. 那么时，也成立. 则对任意的，都有成立； ［方法二］：构造法 由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以． ［方法三］：累加法 由题意可得，． 由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，． ［方法四］：构造法 ，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即． （2）由（1）可知， ［方法一］：错位相减法 ，① ，② 由①②得： ， 即. ［方法二］【最优解】：裂项相消法 ，所以． ［方法三］：构造法 当时，，设，即，则，解得． 所以，即为常数列，而，所以． 故． ［方法四］： 因为，令，则 ， ， 所以． 故． 【点睛】（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解； 方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式； 方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式； 方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式． （2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法； 方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法； 方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出； 方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算． 8．设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii） 【解析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值. (Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 依题意得，解得， 故，. 所以，的通项公式为，的通项公式为. (Ⅱ)(i). 所以，数列的通项公式为. (ii) . 【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力. 9．设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求其前项和 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意求出，则，两式相减化简变形可得，从而得数列是以为首项，以3为公比的等比数列，进而可求出通项公式； （2）方法一：设，整理后与比较求出的值，则，然后利用裂项相消法可求得结果； 方法二：利用错位相减法求解即可. （1）因为， 所以由题意可得数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 两式作差得：， 化简得：即， 所以， 所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列， 故数列的通项公式为； （2）方法一： 设， 则有，比较系数得， 所以 所以， 所以， 所以. 方法二： 因为， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 10．已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）利用与的关系变形给定的递推公式，构造常数列求出数列的通项，再利用等差数列定义推理作答. （2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求和作答. （1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 于是，因此数列是常数列，则， 从而，即， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，， 所以. 11．在等差数列中，，其前项和满足. (1)求实数的值，并求数列的通项公式； (2)若数列是首项为，公比为的等比数列，求证：数列的前项和. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意的，进而得，即可得到数列的通项公式； （2）由（1）知，得，进而得，利用等比数列的前项和裂项求和，即可得到数列的前项和． （1）设等差数列的公差为， 因为，         所以，所以.                         … 所以，所以. 所以. （2）由（1）知， 所以. 所以.          所以             由于为正整数，所以成立. 12．已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列. (1)求和. (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）根据条件设出等差数列的公差，结合等比数列的性质列式求出公差，然后根据等差数列通项公式和求和公式即可得到答案； （2）根据（1）中所求写出数列通项公式，然后结合裂项相消法进行求和. （1）设等差数列的公差为， 因为，成等比数列， 所以，即， 得， 解得或（舍）， 所以， 所以， . （2）由（1）得，， 所以. 13．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足 ． (1)求证：为等差数列； (2)记，求数列的前2023项的和M． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证； （1）因为， 当时，，解得或， 又，所以，故， 由，可得，所以， 当时，． 所以，即， 所以，所以 所以是以为首项，1为公差的等差数列. （2）所以，则， 因为， 故． 14．已知数列满足． (1)证明为等差数列，并的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得的通项公式； （2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得. （1）证明：因为，所以，即 所以是以为首项，为公差的等差数列，则， 所以； （2） . 15．已知数列的前项的积记为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）分类讨论与两种情况，利用递推式求得与，从而得证； （2）利用裂项相消法求解即可. （1）因为， 当时，，即，易知，则， 当时，，所以，即， 故数列是以3为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得， 则， 所以. 16．已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据递推关系及与的关系化简得出，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出，再解不等式即可得解. （1）因为，所以， 所以 所以，即. 又因为，所以， 所以. （2）因为， 所以 令，得， 所以集合中元素的个数为. 17．已知等差数列，首项，其前项和为，点在斜率为1的直线上． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求证：． 【答案】(1)；(2)证明详见解析. 【解析】（1）求出，再根据与的关系求出即可；（2）根据裂项相消法求和再求最值即可. （1）设斜率为1的直线为，则， 当时，，所以，因为，所以， 所以， 当时，， 所以，经检验，也成立. 所以. （2）证明：由（1）可得，， 则 ， 因为， 所以数列是一个单调递增数列， 又因为，且当时，. 所以. 18．设数列的前项和为，且. (1)求； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，利用推出，由等差中项法得为等差数列，根据与求出公差，可得通项公式； （2）根据进行裂项求和可求出结果. （1）由， 当时，，解得， 当时，， 所以 ， 整理得：，① 所以有，② ①-②可得， 所以为等差数列， 因为，所以公差为， 所以. （2）， ∴ . 19．已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）对递推式变形，根据等差数列的定义即可证明； （2）先由（1）的结论求出数列的通项公式，再求出，最后利用裂项相消法求和即可. （1）由，可得， 又，所以是以3为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知：， 所以， 所以， 所以 . 20．在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式和前n项和； (2)设，求数列的前n项和公式． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法即可求出结果. （1）公差不为零的等差数列中，，又成等比数列， 所以，即， 解得， 则， . （2）由（1）可知，， 可得数列的前项和 . 21．已知正项数列满足，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；；(2) 【解析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得; （2）根据裂项求和法可求出结果. （1）因为，，所以，， 所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. （2） , 所以 . 22．已知数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先把题干条件等价变成，然后用累加法进行求解； （2）结合特殊的三角函数值，利用分组求和进行求解. （1）由得，， 所以时，， 故，又，则，当时，成立， 所以，． （2）由（1）知，， 所以， ， 因为， 于是， 所以，． 故数列的前项和为． 23．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知_________，是的前项和，证明：． 从①，②中选取一个补充至题中并完成问题． 【答案】(1)；(2)条件选择见解析，证明见解析 【解析】（1）根据的关系化简可得，，根据等比数列定义证明数列是等比数列，结合等比数列通项公式求解； （2）选①，由，利用裂项相消法求的前项和，完成证明； 选②，由，利用裂项相消法求的前项和，完成证明； （1）当时，， ∴， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴．又． ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴． （2）选①：由， 知， 故． 选②：由， 知． 24．已知等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据条件列出方程组求解； （2）对裂项，用累加法求数列的通项公式. （1）设的公差为，首项为，因为 所以，解得， 所以. （2）由题设， 所以当时，， 将上式累加可得：， 又，则. 又，也适合上式，故. 25．已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，，成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列的前项和.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） ①；②；③. 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析 【解析】（1）依题意可得，根据，作差得到，当时两边同除，即可得到为常数数列，从而求出，即可证明； （2）设的公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出，即可求出的通项，再根据所选条件，利用裂项相消法计算可得. （1）因为，即，当时，解得， 当时，所以， 即， 所以， 当时上述式子恒成立， 当时两边同除可得， 即，所以为常数数列，即， 所以，即， 当时上述也成立， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）设的公差为，因为，，成等比数列， 所以，即，解得，所以； 若选①，则， 所以. 若选②，则， 所以. 若选③，则， 所以 . 26．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）根据与的关系即可求解数列的通项公式； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解. （1）①， 当时，，解得. 当时，②， ①-②，得，所以， 又，符合上式，故. （2）由（1）知，则， 所以， 则 . 27．已知数列的前n项和为，且满足，等差数列中，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，求数列的前n项和． 【答案】(1)，；(2). 【解析】（1）根据给定条件，利用与的关系求出，再利用等差数列的性质求出公差即可作答. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和作答. （1）当时，，解得， 当时，，则， 即，于是，因此是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 等差数列中，，则公差，于是， 所以数列，的通项公式分别为：，. （2）由（1）知，，， 则 ， 所以数列的前n项和. 28．记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若，求m的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式； （2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可． （1）设的公差为d，因为， 所以，解得， 又，所以． 所以． （2）因为， 所以 ， 由，解得， 所以． 最新模拟新模考真题 1.已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等? (3)在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大? 【答案】(1)；(2)第63项；(3)当时，的值最大 【解析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即可得解； （2）先求得，，再利用等比数列的定义与通项公式求得，再令，从而得解； （3）利用分组求和法即可求出，再利用导数求得的单调性，从而得解. （1）依题意，设等差数列的公差为d， 则，又，得，解得， 所以； （2）设等比数列的公比为q， 则，，所以，， 所以，令，解得. 故是数列的第63项； （3）由（2）可知，则， 所以 ， 令，则， 由于，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 且，， 所以当时，有最大值且最大值为. 2.已知数列的首项为1，设，． (1)若为常数列，求的值； (2)若为公比为2的等比数列，求的解析式； (3)数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由． 【答案】(1)(2)(3)能为等差数列，通项公式为 【解析】（1）根据题意，由二项式定理，即可得到，即可得到结果； （2）根据题意，结合等比数列的定义，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，假设存在，结合倒序相加法即可得到，然后代入计算，即可得到结果. （1）因为为常数列，所以． ，所以． （2）因为为公比为2的等比数列，． 所以． 所以，故． （3）假设存在等差数列，使得对一切都成立， 设公差为d，则 相加得 所以． 所以恒成立， 即，恒成立，所以 故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为． 3.已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明图象关于点对称，转化为证明关系式； （2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和. （1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. （2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以（倒序）， 又由（1）得， 所以，所以. 4.已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列.求的值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）结合数列前项和与数列通项公式的关系进行求解即可； （2）根据等差数列的性质将表达出来，再利用错位相减法进行求解即可. （1）因为数列的前项和为，且满足， 当时，， 当时，， 经验证当时，.综上得，. （2）在和之间插入个数因为成等差数列， 所以，，，， . 注意到满足上式，则 设，即， ，两式相减，可得： .所以， 5.记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）根据等差数列中的基本量可解得，可求出的通项公式为； （2）利用裂项求和即可求出数列的前n项和. （1）设的公差为，因为，，所以，解得 由等差数列通项公式可得．即的通项公式为 （2）因为， 因此， 所以．即数列的前n项和. 6.在等差数列中，是数列的前n项和，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)(2). 【解析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式列方程组，求解首项，公差d即可； （2）由（1）可得，分别求解n为偶数时和n为奇数时的前n项和即可. （1）解：设数列的首项为，公差为d，因为，，则，解得，故． （2）解：由（1）得． 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 所以． 7.已知数列满足，且， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前2n项和． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用已知条件推导数列的通项公式，注意分n为奇数，偶数讨论 （2）利用分组求和法求解. （1）∵且， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴． 当n为奇数时，， 当n为偶数时， 综上，． （2）当n为偶数时，； 当n为奇数时，，∴ 8.正项数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）确定数列是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案. （2），根据裂项求和法计算得到答案. （1）正项数列满足，且，故，， 同理得到，， 则数列是首项为，公差为的等差数列，即，. （2）， 数列的前项和. 9.数列中，，且对任意正整数m，数列，，是公差为的等差数列. (1)依次求，，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)记（n为正整数），求数列的前n项和. 【答案】(1)，(2)(3) 【解析】（1）根据题意分别取、，结合等差数列运算求解即可； （2）根据题意可得，分奇偶项结合累加法运算求解； （3）由（2）可得，分奇偶项结合裂项相消法法运算求解； （1）因为数列，，是公差为的等差数列，且， 令，则数列，，是公差为的等差数列，可得； 令，则数列，，是公差为的等差数列，可得. （2）因为数列，，是公差为的等差数列， 则，可得， 当为奇数，可得， 且符合上式，所以当为奇数，；当为偶数，可得； 综上所述：. （3）由（2）可得：当为奇数，可得； 当为偶数，； 综上所述：. 当为偶数，可得 ； 当为奇数，可得； 综上所述：. 10.已知等差数列，其前项和满足为常数. (1)求及的通项公式； (2)记数列 ，求前项和的. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）计算出的值，根据等差中项的性质可列方程解出的值，再利用与的关系即可求解； （2）运用裂项相消法即可求解. （1）由题意，当时，， 当时，， 则，， 因为数列是等差数列，所以， 即，解得， 则，满足， 所以的通项公式为． （2）由（1）可得，，则， 所以 ． 11.已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式； （2）利用裂项相消法求得和，不等式可变形为，令，利用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围． （1）因为数列的前n项和满足， 当时，， 两式相减得：，即， 当时，，解得：， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）由（1）可知：， 所以 ， 对任意的，不等式都成立，即， 化简得：，设， 因为， 所以单调递减，则，所以， 所以实数k的取值范围是． 12.在数列中，且. (1)求的通项公式； (2)设，若的前项和为，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，进而求得数列的通项公式； （2）由，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得. （1）解：由，两边同除以，可得，即， 因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为. （2）解：由，可得 ， 所以数列的前项和为 ， 因为，可得，即. 13.记为数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）根据与的关系分析可得数列是3为首项，2为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解. （1）因为，可得， 两式相减得， 整理得，可知数列是3为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）由（1）可得：， 则 ，所以． 14.已知数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：，求数列的前2n项和. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用时关系求通项公式，注意验证情况，即可得通项公式； （2）应用分组、裂项相消法求. （1）由时， 又时也满足该等式，故. （2）由， 则 . 因此. 15.已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，(2) 【解析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得； （2）将数列通项公式变形为，直接求和可得. （1）证明：由，所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，即 （2）由（1）知：，所以.又， 学科网（北京）股份有限公司 $