第06讲 祖暅原理与几何体体积讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

该高中数学讲义聚焦祖暅原理与空间几何体体积高考核心考点，按柱体、锥体、台体、球体及组合体体积，内切球外接球问题分层构建知识体系，通过考点梳理、解题策略指导、典型例题与变式训练结合，帮助学生系统突破体积计算难点。 资料融合数学文化与转化思想，创新采用“构造等价几何体”“截面面积法”等策略，如用祖暅原理推导半球体积时对比圆柱与圆锥组合体，培养直观想象与逻辑推理素养。设置分层练习与易错点警示，助力教师把控节奏，提升学生实战解题能力。

第06讲 祖暅原理与空间几何体的体积 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 4 解题策略 4 题型01：柱体体积的有关计算 6 题型02：锥体体积的有关计算 8 题型03：台体体积的有关计算 10 题型04：球体体积的有关计算 13 题型05：组合体的体积问题 14 题型06 ：几何体的内切球问题 18 题型07 ：几何体的外接球问题 22 题型08 ：祖暅原理的应用 25 巩固提升 29 祖暅原理是高考数学立体几何模块的特色考点，以“数学文化+体积转化”为核心，常以小题（5分）呈现，偶与解答题结合，聚焦原理理解、构造转化、体积计算三大方向，突出直观想象与数学运算素养，是区分基础与能力的关键题型。 一、考情定位与分值占比 • 题型与分值：多为选择题、填空题（5分），近5年全国卷、新高考卷中单独命题约1-2次/年，常与三视图、数学文化融合；解答题中多作为辅助方法（如割补法），间接考查体积转化，整体分值约5-8分，占立体几何总分的15%-25%。 • 考查定位：核心是“幂势既同，则积不容异”的理解与应用，即两个等高几何体，若等高处截面面积均相等，则体积相等，重点考查构造等价几何体简化体积计算的能力。 二、核心考点与命题规律 （一）高频考点拆解 1. 原理理解与直接应用：结合数学文化背景（如祖暅与祖冲之、牟合方盖），直接考查原理表述，或用于推导柱体、锥体、球体体积公式。例如2019年浙江卷以祖暅原理为背景，结合三视图求柱体体积。 2. 构造等价几何体求体积：针对不规则几何体（如半圆柱、组合旋转体、“帐篷”类多面体），通过构造“等截面、同高”的规则几何体（如圆柱、棱柱、棱锥），转化为规则体体积计算。例如2024年模拟题通过构造正四棱柱挖去正四棱锥，求“四脚帐篷”体积。 3. 与旋转体、切接问题结合：利用祖暅原理推导球体积（半球与圆柱减圆锥体积相等），或解决旋转体的组合体积、截面相关体积问题，常与轴截面法配合使用。 4. 与函数、导数结合求最值：设参数（如高度x），表示等高处截面面积，建立体积函数，用基本不等式或导数求体积最值，体现“以平代曲”的思想。 （二）命题趋势 1. 数学文化融合常态化：以祖暅原理为载体，渗透中国古代数学成就，考查文化理解与知识迁移，如2023年某省模考结合“阳马”“鳖臑”考查体积转化。 2. 构造转化能力成核心：弱化公式记忆，强化“构造等价体”的思维，题目多给出不规则几何体，要求用祖暅原理转化为规则体计算。 3. 多模块综合增强：与三视图、空间向量、函数最值结合，如2025年模拟题结合三视图与祖暅原理求组合体体积，提升试题综合性。 （三）常见易错点 1. 忽略“等高”前提：误用原理，未保证两个几何体高度相同，导致体积转化错误。 2. 截面面积计算错误：求等高处截面面积时，未结合几何体结构（如旋转体的截面半径、多面体的截面边长），导致S(x)表达式错误。 3. 构造等价体不当：未找到合适的规则几何体，或构造的几何体与原几何体截面面积不恒等，导致计算结果偏差。 一、知识目标 1. 理解祖暅原理的核心内涵（“幂势既同，则积不容异”），明确“同高、等高处截面面积相等”是体积相等的关键条件。 2. 掌握柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体的体积公式，理解公式的推导逻辑（依托祖暅原理与割补法）。 3. 知晓不规则几何体体积转化的核心思路，明确祖暅原理与割补法、等积法的关联。 二、能力目标 1. 能准确复述祖暅原理，判断不同几何体是否满足“幂势既同”，并应用原理比较或推导几何体体积。 2. 熟练运用体积公式计算规则几何体及组合体（割补后可转化为规则体）的体积，能借助祖暅原理构造等价几何体解决不规则几何体体积问题。 3. 具备“设参数→求截面面积→建体积关系”的解题能力，能处理与函数、导数结合的体积最值问题。 三、素养目标 1. 体会数学文化价值，感受中国古代数学成就的智慧，提升数学文化素养。 2. 强化化归与转化思想，培养“化不规则为规则、化空间为平面”的思维能力，深化直观想象与逻辑推理素养。 3. 提升数学运算的严谨性，确保公式应用、截面面积计算及体积转化的准确性。 需要我设计原理理解+公式应用+构造转化三层练习题，帮你逐一落实这些学习目标吗？ 知识点:祖暅原理 1、 祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。 2、 祖暅原理的含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。 3、应用：等地面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 名称 体积 柱体 锥体 台体 球 其中,分别表示上、下底面的面积，表示高，表示球的半径。 核心思路：明原理本质→构等价几何体→转规则体计算，围绕“原理应用、体积转化、最值求解”三大核心，用“构造法”“割补法”“截面面积法”突破不规则几何体体积难点，确保转化严谨、计算精准。 一、原理直接应用类（判断体积相等、推导体积公式） • 策略：紧扣“同高+等高处截面面积相等”，先验证前提条件，再应用体积关系。 • 解题步骤： 1. 明确目标：判断两几何体体积是否相等，或推导未知几何体体积公式； 2. 验证“同高”：确认两几何体的高度一致（或可通过平移、缩放转化为同高）； 3. 求截面面积：设距离底面高度为x，分别计算两几何体在高度x处的截面面积(x)和(x)（常用相似三角形、勾股定理、圆的面积公式）； 4. 结论：若(x)=(x)对所有x成立，则体积=；推导公式时，将未知几何体与已知体积的规则体（如圆柱、棱柱）建立等价关系。 二、不规则几何体体积转化类（构造等价规则体） • 策略：“化不规则为规则”，利用祖暅原理构造“等截面、同高”的规则几何体，简化计算。 • 典型场景与解法： 1. 半球体积： ◦ 构造同底（半径R）、等高（R）的圆柱，挖去一个同底、等高的圆锥； 2. “帐篷”类多面体（如四棱锥接四棱柱）： ◦ 构造等截面的长方体或棱柱，通过祖暅原理转化为规则体体积，或用割补法拆分为棱锥+棱柱，分别计算求和； 3. 旋转体组合（如半圆柱+圆锥）： ◦ 按旋转轴画轴截面，分析等高处截面形状（如半圆+三角形），计算截面面积后，构造等价圆柱、圆锥组合体。 三、组合体体积计算类（割补法+祖暅原理） • 策略：“先割补拆分为基本几何体，再用祖暅原理验证转化”，避免漏算或重复计算。 • 解题步骤： 1. 拆分组合体：将不规则组合体拆分为若干个基本几何体（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥），或补全为完整的规则几何体； 2. 处理重叠/缺失部分：拆分后若有重叠，计算时减去重叠部分体积；补全后，用完整几何体体积减去缺失部分体积； 3. 辅助验证：对拆分后的复杂部分，用祖暅原理转化为规则体，确保计算准确（如拆分后的不规则棱锥，构造等截面的正棱锥求体积）。 四、体积最值类（函数建模+祖暅原理） • 策略：“设参数→建截面面积函数→求体积最值”，结合导数或基本不等式求解。 • 解题步骤： 1. 设关键参数：根据题意设核心变量（如几何体的底面边长、半径、高，设为t）； 2. 建立截面面积函数：以高度x为变量，写出截面面积S(x,t)（含参数t）； 3. 求体积表达式：体积（无需严格积分，可通过规则体体积公式转化 4. 求最值：对V(t)用基本不等式或导数求导，找到极值点，计算最值。 五、易错点规避 1. 忽略“同高”前提：应用祖暅原理时，未确保两几何体高度一致，直接判断体积相等； 2. 截面面积计算错误：未结合几何体结构（如旋转体的截面半径随高度变化），导致S(x)表达式出错； 3. 构造等价体不当：构造的几何体与原几何体仅部分高度截面面积相等，而非所有高度，导致体积转化错误； 4. 组合体漏算重叠部分：拆分后未减去重叠面的体积（如两个圆锥底面重合，表面积需减重合圆面积，但体积直接求和）。 题型01：柱体体积的有关计算 【方法技巧与总结】 柱体体积问题的处理方法 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高.圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素. 【典型例题1】已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】因为正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为， 则， 所以，解得.故选：C 【典型例题2】以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆柱体体积公式计算即可. 以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体是圆柱体. 并且是底面半径和高都是正方形边长的圆柱体，即，， 根据圆柱体体积公式：，可得圆柱体体积为. 故选：B. 【典型例题3】某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（   ） A．立方厘米 B．立方厘米 C．立方厘米 D．立方厘米 【答案】B 【解析】先由题中条件，计算梯形底面的面积，再由棱柱体积公式，即可求出结果. 计算梯形底面的面积：，由于铺设长度为300，故立方厘米． 故选：B 【变式训练1-1】已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B．4 C． D． 【变式训练1-2】已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练1-3】已知某圆柱的高为10，底面周长为，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】一个长方形容器中盛有水，侧面为正方形，且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于 ． 【变式训练1-6】一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要 立方米混凝土（钢筋体积略去不计）． 题型02： 锥体体积的有关计算 求解锥体的体积问题的关键是确定底面积和高，这些元素常常是放到平面图形中通过构造直角三角形，应用勾股定理进行求解。 1、利用转化法求解体积问题的思路： 转化法是在用公式法求解一个几何体体积时，直接求解不便于计算时常考虑的基本方法，有两种常见的转化思路：一是运用等体积转化法求解，即如果所求几何体对应的底面面积或者高较难求解时，利用几何体体积的不变性转化为从另一个角度求底面面积和高，进而得到它的体积；二是运用比例转化法求解，即将所求几何体按比例转化为常见的几何体，再考虑用公式法求解体积. 2、利用转化法求解体积的步骤： 第一步：等体积转化(或比例转化）.通过分析几何体的结构特征，利用体积的不变性将所求几何体的底面和高转化为易于求解的底面和高（或将不易求解体积的几何体按照比例转化成易求解体积的几何体模型）.第二步：计算体积.分别求出转化后的几何体底面面积和高，再用体积公式计算.第三步：得到结论. 【典型例题1】已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 【详解】由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 【典型例题2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，则该四棱锥的体积为（    ）    A．48 B．18 C．16 D．8 【答案】C 【解析】由棱锥的体积公式计算即可求解. 由题意可得：该四棱锥的体积为，故选：C 【典型例题3】已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先依次求出圆锥的半径、高，然后结合圆锥的体积公式求解即可. 设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，圆锥的高为， 则此圆锥体积为. 故选：B. 【变式训练2-1】已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】侧棱长为2的正三棱锥，若其底面边长为3，则该正三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的三个几何体体积分别记为、、，则它们之间一定满足（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】若圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是 【变式训练2-6】某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 题型03： 台体体积的有关计算 求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体重的直角梯形、直角三角形。另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的体积差的得到。 【典型例题1】现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 根据题意画出图形，如图所示，其中且. 由，可得， 又且，可得是长方形，则， 所以，， 则，正四棱台的高，下底面的面积，上底面的面积. 于是正四棱台的体积. 故该水库的最大蓄水量为.故选：A. 【典型例题2】已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解. 由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2， 设圆台的高为，可得， 所以圆台的体积为. 故选：B. 【典型例题3】若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用正六棱台的性质求得上下底面，再利用棱台的体积公式计算即可. 设正六棱台上、下底面的面积分别为、， 因为，，高为， 所以，， 所以该棱台的体积 .故选：C. 【变式训练3-1】如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高和体积分别为（       ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练3-2】在正四棱台中，，且三棱锥的体积为12，则该正四棱台的体积为（    ） A． B．36 C．108 D． 【变式训练3-3】《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（   ） A． B． C．100 D．140 【变式训练3-4】如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【变式训练3-5】折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是6和12，且，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】在梯形ABCD中，，，且，将梯形绕着边BC所在的直线旋转一周，形成空间几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型04： 球体体积的有关计算 【典型例题1】已知球的半径为，且该球的表面积与体积的数值之比为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】根据球的表面积公式和体积公式得到方程，解出即可. 由题意得，解得或0（舍去）.故选：A. 【典型例题2】已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 【答案】C 【解析】先求得球的半径，进而求得球的体积. 设球的半径为，则， 所以球的体积为.故选：C 【典型例题3】把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用球的体积公式即可求解. 设大铁球的半径为，则有 ，解得．故选：B. 【变式训练4-1】一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练4-4】已知棱长为2的正方体的体积与球的体积相等，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式训练4-6】 （1）已知球的直径为，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比. 题型05： 组合体的体积问题 【典型例题1】如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆柱和圆台的侧面积和体积公式求解即可. 设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则. 瓶子的侧面积，解得. 瓶子的体积.故选：A 【典型例题2】如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为 . 【答案】 【解析】设的面积为，三棱台的高为，可知，利用台体的体积公式可求得的值，再利用台体和锥体的体积公式可求得结果. 设的面积为，三棱台的高为， 易知，且，则， 则，可得， ， 所以，沿平面截去三棱锥， 则剩余的部分几何体的体积为.故答案为：. 【典型例题3】如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【答案】； 【解析】先作辅助线，再应用球及圆台的表面积及体积公式计算求解即可. 由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面，侧面和一半球面组成.在直角梯形中，过点作，垂足为， 在中，， 所以，，， 所以形成的几何体的表面积为. 因为圆台的体积， 半球的体积， 所以所求几何体的体积为. 【变式训练5-1】科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（    ） （参考数据：，，，）    A． B． C． D． 【变式训练5-2】如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的．已知中间圆柱部分的侧面面积与上下露在外面的球面面积之比为1：3，则中间圆柱部分的体积与上下两个半球体体积之和的比值为（    ） A．1:2 B．1:1 C．2:1 D．2:3 【变式训练5-3】宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 【变式训练5-5】某车间对一个正六棱柱形的工件进行加工，该工件的所有棱长均为4cm．需要在底面的中心处打一个半径为的圆柱形通孔（如图所示），当工件加工后的表面积最大时，加工后的工件体积为 ． 【变式训练5-6】某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14. （1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土； （2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数） 题型06 ：几何体的内切球问题 【典型例题1】在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【解析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 【典型例题2】一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是．故选：D 【典型例题3】圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积，故选：D. 【变式训练6-1】如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练6-2】将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 【变式训练6-3】已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（    ） A．4 B．16 C．8 D．64 【变式训练6-4】一个高为的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为，若，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理.如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则该球与圆柱的体积之比为 . 【变式训练6-6】蹴鞠（如图），又名“蹴球”，“蹴圆”，“筑球”，“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若把“鞠”看作一个表面光滑的球，已知某“鞠”内切于棱长为2的一个正四面体，则该“鞠”的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型07 ：几何体的外接球问题 【典型例题1】已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 【典型例题2】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可. 因为，，则为直角三角形， 和的外心分别为斜边的中点， 连接，取的中点， 则为三棱柱外接球的球心， 其外接圆半径为， 则半径， 则外接球的表面积为. 故选：C 【典型例题3】正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 【变式训练7-1】已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为 . 【变式训练7-3】已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】若一个正四棱柱的底面积为32，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为 . 【变式训练7-5】已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，．若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（    ） A． B． C．2 D． 题型08 ：祖暅原理的应用 【方法技巧与总结】 1、祖暅原理的应用：如果在相同高度的截面上，两个几何体的截面积相等，那么根据祖暅原理，这两个几何体的体积也相等。 2、祖暅原理构造法的关键：构造一个与原几何体等高的几何体，使得新构造的几何体在与原几何体等高处的截面积相等，即两个截面积的函数解析式完全相同，同时新构造的几何体的体积我们可以直接计算，其体积就直接等于所求的原几何体的体积 【典型例题1】中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ． 【答案】7 【解析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 【典型例题2】祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【答案】 【解析】根据圆柱与圆锥的体积公式，结合题意，可得答案. ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：. 【典型例题3】祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图是一个半径为的球体，平面与球相交，截面为圆，延长，交球于点，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）. (1)若圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为，求圆锥DB的表面积和体积； (2)如图平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积. 【答案】(1)表面积为；体积为；(2) 【解析】（1）利用圆心角等于弧长除以半径来计算，再结合直角三角形中的三角函数定义，即可计算得到，从而去求圆锥的高和母线长，最后利用表面积和体积公式即可求出结果； （2）利用祖暅原理，利用半球的体积与底面半径和高都等于球的半径的圆柱里面挖掉一个圆锥的体积相等，再利用球冠对应的部分体积转化到圆柱减去圆台的体积计算即可. （1）设，则， 由圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为，则， 又因为，则， 又因为，所以， 而，所以， ， 则，即， 则 所以圆锥表面积：， 圆锥体积：. （2）如右图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥, 取同一高度的截面.令球冠截面半径为，面积为圆锥截面半径为， 面积为，， ， 所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等. . 【变式训练8-1】祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【变式训练8-2】中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 . 【变式训练8-3】祖暅（gèng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面的距离为，则平面截半球所得的较小部分的几何体的体积等于 . 【变式训练8-4】根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为 ．（注：） 【变式训练8-5】刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（    ） 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等． A． B． C． D． 巩固提升 一、单选题 1．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（    ） A． B． C． D． 3．艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（    ） A． B． C． D． 5．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 6．在中，，，以BC所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 9．一个圆柱的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆柱与球的体积之比是（    ） A． B． C． D． 10.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 11.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为8，体积为64，则这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 12.如图1，在高为的直三棱柱容器中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为（    ） A． B．3 C．4 D．6 13.如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为，圆柱部分的高为，底面圆的半径为，则该组合体的体积为（   ） A． B． C． D． 14.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，这是一个“阿基米德多面体”花岗岩石凳，它是将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到．已知此石凳的体积为，则此石凳的棱长（单位：cm）为（    ） A．15 B． C．20 D． 15.《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（    ）（，，） A． B． C． D． 16.我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 1.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（    ） A．当时，该几何体是一个半正多面体 B．若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 C．若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 D．该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体 2.我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑，已知长方体中中，，，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑下列说法正确的是（    ） A．三棱锥由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体 B．三棱锥由四个直角三角形组成的四面体 C．该鳖臑的最长棱长 D．该鳖臑的体积为4 3.“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3是以底面边长为的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（    ） A．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形 B．图2中阴影部分的面积为 C．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为 D．由棱长为的正方体截得的“牟合方盖”体积为 4.下列说法中正确的是（    ） A．若一个球的直径为2，则此球的表面积为 B．若一个圆锥的底面积为，母线长为2，则此圆锥的体积为 C．若两个球的半径之比为，则这两个球的体积之比为 D．棱台的上下两个地面面积分别为，高为，则体积为 5.已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的内切球的体积为 C．该圆锥的外接球的表面积为 D．该圆锥的内接正方体的棱长为 6.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（    ） A．该阳马的体积为 B．该阳马的表面积为 C．该阳马外接球的半径为 D．该阳马内切球的半径为 三、填空题 1.已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 2.如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 3.已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 4.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为，则其外接球的表面积是 ． 5.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为 ． 6.在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，则所得几何体的体积为 ． 四、解答题 1.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．    （1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长； （2）求六棱锥的表面积和体积． 2.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为. （1）求圆柱的表面积； （2）求三棱锥外接球的体积. 3.如图，在梯形中，，在平面内过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的表面积． （2）求此旋转体的体积． 4.意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，、为半圆弧上的点，，，阴影部分为弦、、与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．    （1）写出该几何体的主要结构特征（至少两条）； （2）计算该几何体的体积． 5.如图：三棱台的六个顶点都在球的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，，和分别是边长为和的正三角形． （1）求三棱台的表面积； （2）计算球的体积． 6.如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 7.已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 8.如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 9.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 10.我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 祖暅原理与空间几何体的体积 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 4 解题策略 4 题型01：柱体体积的有关计算 6 题型02：锥体体积的有关计算 9 题型03：台体体积的有关计算 13 题型04：球体体积的有关计算 18 题型05：组合体的体积问题 21 题型06 ：几何体的内切球问题 27 题型07 ：几何体的外接球问题 32 题型08 ：祖暅原理的应用 37 巩固提升 42 祖暅原理是高考数学立体几何模块的特色考点，以“数学文化+体积转化”为核心，常以小题（5分）呈现，偶与解答题结合，聚焦原理理解、构造转化、体积计算三大方向，突出直观想象与数学运算素养，是区分基础与能力的关键题型。 一、考情定位与分值占比 • 题型与分值：多为选择题、填空题（5分），近5年全国卷、新高考卷中单独命题约1-2次/年，常与三视图、数学文化融合；解答题中多作为辅助方法（如割补法），间接考查体积转化，整体分值约5-8分，占立体几何总分的15%-25%。 • 考查定位：核心是“幂势既同，则积不容异”的理解与应用，即两个等高几何体，若等高处截面面积均相等，则体积相等，重点考查构造等价几何体简化体积计算的能力。 二、核心考点与命题规律 （一）高频考点拆解 1. 原理理解与直接应用：结合数学文化背景（如祖暅与祖冲之、牟合方盖），直接考查原理表述，或用于推导柱体、锥体、球体体积公式。例如2019年浙江卷以祖暅原理为背景，结合三视图求柱体体积。 2. 构造等价几何体求体积：针对不规则几何体（如半圆柱、组合旋转体、“帐篷”类多面体），通过构造“等截面、同高”的规则几何体（如圆柱、棱柱、棱锥），转化为规则体体积计算。例如2024年模拟题通过构造正四棱柱挖去正四棱锥，求“四脚帐篷”体积。 3. 与旋转体、切接问题结合：利用祖暅原理推导球体积（半球与圆柱减圆锥体积相等），或解决旋转体的组合体积、截面相关体积问题，常与轴截面法配合使用。 4. 与函数、导数结合求最值：设参数（如高度x），表示等高处截面面积，建立体积函数，用基本不等式或导数求体积最值，体现“以平代曲”的思想。 （二）命题趋势 1. 数学文化融合常态化：以祖暅原理为载体，渗透中国古代数学成就，考查文化理解与知识迁移，如2023年某省模考结合“阳马”“鳖臑”考查体积转化。 2. 构造转化能力成核心：弱化公式记忆，强化“构造等价体”的思维，题目多给出不规则几何体，要求用祖暅原理转化为规则体计算。 3. 多模块综合增强：与三视图、空间向量、函数最值结合，如2025年模拟题结合三视图与祖暅原理求组合体体积，提升试题综合性。 （三）常见易错点 1. 忽略“等高”前提：误用原理，未保证两个几何体高度相同，导致体积转化错误。 2. 截面面积计算错误：求等高处截面面积时，未结合几何体结构（如旋转体的截面半径、多面体的截面边长），导致S(x)表达式错误。 3. 构造等价体不当：未找到合适的规则几何体，或构造的几何体与原几何体截面面积不恒等，导致计算结果偏差。 一、知识目标 1. 理解祖暅原理的核心内涵（“幂势既同，则积不容异”），明确“同高、等高处截面面积相等”是体积相等的关键条件。 2. 掌握柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、球体的体积公式，理解公式的推导逻辑（依托祖暅原理与割补法）。 3. 知晓不规则几何体体积转化的核心思路，明确祖暅原理与割补法、等积法的关联。 二、能力目标 1. 能准确复述祖暅原理，判断不同几何体是否满足“幂势既同”，并应用原理比较或推导几何体体积。 2. 熟练运用体积公式计算规则几何体及组合体（割补后可转化为规则体）的体积，能借助祖暅原理构造等价几何体解决不规则几何体体积问题。 3. 具备“设参数→求截面面积→建体积关系”的解题能力，能处理与函数、导数结合的体积最值问题。 三、素养目标 1. 体会数学文化价值，感受中国古代数学成就的智慧，提升数学文化素养。 2. 强化化归与转化思想，培养“化不规则为规则、化空间为平面”的思维能力，深化直观想象与逻辑推理素养。 3. 提升数学运算的严谨性，确保公式应用、截面面积计算及体积转化的准确性。 需要我设计原理理解+公式应用+构造转化三层练习题，帮你逐一落实这些学习目标吗？ 知识点:祖暅原理 1、 祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。 2、 祖暅原理的含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。 3、应用：等地面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 名称 体积 柱体 锥体 台体 球 其中,分别表示上、下底面的面积，表示高，表示球的半径。 核心思路：明原理本质→构等价几何体→转规则体计算，围绕“原理应用、体积转化、最值求解”三大核心，用“构造法”“割补法”“截面面积法”突破不规则几何体体积难点，确保转化严谨、计算精准。 一、原理直接应用类（判断体积相等、推导体积公式） • 策略：紧扣“同高+等高处截面面积相等”，先验证前提条件，再应用体积关系。 • 解题步骤： 1. 明确目标：判断两几何体体积是否相等，或推导未知几何体体积公式； 2. 验证“同高”：确认两几何体的高度一致（或可通过平移、缩放转化为同高）； 3. 求截面面积：设距离底面高度为x，分别计算两几何体在高度x处的截面面积(x)和(x)（常用相似三角形、勾股定理、圆的面积公式）； 4. 结论：若(x)=(x)对所有x成立，则体积=；推导公式时，将未知几何体与已知体积的规则体（如圆柱、棱柱）建立等价关系。 二、不规则几何体体积转化类（构造等价规则体） • 策略：“化不规则为规则”，利用祖暅原理构造“等截面、同高”的规则几何体，简化计算。 • 典型场景与解法： 1. 半球体积： ◦ 构造同底（半径R）、等高（R）的圆柱，挖去一个同底、等高的圆锥； 2. “帐篷”类多面体（如四棱锥接四棱柱）： ◦ 构造等截面的长方体或棱柱，通过祖暅原理转化为规则体体积，或用割补法拆分为棱锥+棱柱，分别计算求和； 3. 旋转体组合（如半圆柱+圆锥）： ◦ 按旋转轴画轴截面，分析等高处截面形状（如半圆+三角形），计算截面面积后，构造等价圆柱、圆锥组合体。 三、组合体体积计算类（割补法+祖暅原理） • 策略：“先割补拆分为基本几何体，再用祖暅原理验证转化”，避免漏算或重复计算。 • 解题步骤： 1. 拆分组合体：将不规则组合体拆分为若干个基本几何体（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥），或补全为完整的规则几何体； 2. 处理重叠/缺失部分：拆分后若有重叠，计算时减去重叠部分体积；补全后，用完整几何体体积减去缺失部分体积； 3. 辅助验证：对拆分后的复杂部分，用祖暅原理转化为规则体，确保计算准确（如拆分后的不规则棱锥，构造等截面的正棱锥求体积）。 四、体积最值类（函数建模+祖暅原理） • 策略：“设参数→建截面面积函数→求体积最值”，结合导数或基本不等式求解。 • 解题步骤： 1. 设关键参数：根据题意设核心变量（如几何体的底面边长、半径、高，设为t）； 2. 建立截面面积函数：以高度x为变量，写出截面面积S(x,t)（含参数t）； 3. 求体积表达式：体积（无需严格积分，可通过规则体体积公式转化 4. 求最值：对V(t)用基本不等式或导数求导，找到极值点，计算最值。 五、易错点规避 1. 忽略“同高”前提：应用祖暅原理时，未确保两几何体高度一致，直接判断体积相等； 2. 截面面积计算错误：未结合几何体结构（如旋转体的截面半径随高度变化），导致S(x)表达式出错； 3. 构造等价体不当：构造的几何体与原几何体仅部分高度截面面积相等，而非所有高度，导致体积转化错误； 4. 组合体漏算重叠部分：拆分后未减去重叠面的体积（如两个圆锥底面重合，表面积需减重合圆面积，但体积直接求和）。 题型01：柱体体积的有关计算 【方法技巧与总结】 柱体体积问题的处理方法 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高.圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素. 【典型例题1】已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】因为正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为， 则， 所以，解得.故选：C 【典型例题2】以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆柱体体积公式计算即可. 以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体是圆柱体. 并且是底面半径和高都是正方形边长的圆柱体，即，， 根据圆柱体体积公式：，可得圆柱体体积为. 故选：B. 【典型例题3】某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（   ） A．立方厘米 B．立方厘米 C．立方厘米 D．立方厘米 【答案】B 【解析】先由题中条件，计算梯形底面的面积，再由棱柱体积公式，即可求出结果. 计算梯形底面的面积：，由于铺设长度为300，故立方厘米． 故选：B 【变式训练1-1】已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项. ,故选:A 【变式训练1-2】已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】根据棱柱的体积公式计算可得. 因为正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为， 则， 所以，解得.故选：C 【变式训练1-3】已知某圆柱的高为10，底面周长为，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱底面圆半径为r，由，得， 所以圆柱的体积为．故选：C 【变式训练1-4】若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为， 则，∴. 又，则， ∴.故选：B. 【变式训练1-5】一个长方形容器中盛有水，侧面为正方形，且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于 ． 【答案】4 【解析】利用等体积法，转化求解水的高度即可． 设正方形的边长为，则当面水平放置时，水的体积为， 当面水平放置时，设水面高度为，则，解得， 故答案为：4． 【变式训练1-6】一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要 立方米混凝土（钢筋体积略去不计）． 【答案】324 【解析】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体． 所以（平方米）， 设该预制件的高为h，则该预制件的体积（立方米）． 故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土． 题型02： 锥体体积的有关计算 求解锥体的体积问题的关键是确定底面积和高，这些元素常常是放到平面图形中通过构造直角三角形，应用勾股定理进行求解。 1、利用转化法求解体积问题的思路： 转化法是在用公式法求解一个几何体体积时，直接求解不便于计算时常考虑的基本方法，有两种常见的转化思路：一是运用等体积转化法求解，即如果所求几何体对应的底面面积或者高较难求解时，利用几何体体积的不变性转化为从另一个角度求底面面积和高，进而得到它的体积；二是运用比例转化法求解，即将所求几何体按比例转化为常见的几何体，再考虑用公式法求解体积. 2、利用转化法求解体积的步骤： 第一步：等体积转化(或比例转化）.通过分析几何体的结构特征，利用体积的不变性将所求几何体的底面和高转化为易于求解的底面和高（或将不易求解体积的几何体按照比例转化成易求解体积的几何体模型）.第二步：计算体积.分别求出转化后的几何体底面面积和高，再用体积公式计算.第三步：得到结论. 【典型例题1】已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 【详解】由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 【典型例题2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，则该四棱锥的体积为（    ）    A．48 B．18 C．16 D．8 【答案】C 【解析】由棱锥的体积公式计算即可求解. 由题意可得：该四棱锥的体积为，故选：C 【典型例题3】已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先依次求出圆锥的半径、高，然后结合圆锥的体积公式求解即可. 设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，圆锥的高为， 则此圆锥体积为. 故选：B. 【变式训练2-1】已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出圆锥的高，再求出母线，然后计算侧面积. 设圆锥的高为，则母线长. 根据已知条件有，得，所以. 故圆锥的侧面积.故选：A. 【变式训练2-2】已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径，结合侧面展开图可知底面半径与高，进而可得体积. 设圆锥的底面圆半径为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得， 又侧面展开图是半径为的半圆，即圆锥的母线长为， 则圆锥的高， 所以该圆锥的体积为，故选：D． 【变式训练2-3】侧棱长为2的正三棱锥，若其底面边长为3，则该正三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，正三棱锥为， 取中点，连接，过点作平面交底面于点， 为正三棱锥， 在平面上的射影为的中心， 所以O在CD上，，， ，， 所以三棱锥的高， .故选：B. 【变式训练2-4】分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的三个几何体体积分别记为、、，则它们之间一定满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在直角三角形中，，过点作，垂足为点，如下图所示： 以为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为， 以为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为， 以为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为， 则，， 因为，则， ， 所以，，故选：D. 【变式训练2-5】若圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是 【答案】 【解析】设圆锥底面圆半径为，由圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为4的扇形， 得圆锥的母线，且，解得，因此圆锥的高， 所以这个圆锥的体积. 【变式训练2-6】某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为， 又圆锥底面半径为，则底面周长为， 故，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为，故选：B. 题型03： 台体体积的有关计算 求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体重的直角梯形、直角三角形。另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的体积差的得到。 【典型例题1】现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 根据题意画出图形，如图所示，其中且. 由，可得， 又且，可得是长方形，则， 所以，， 则，正四棱台的高，下底面的面积，上底面的面积. 于是正四棱台的体积. 故该水库的最大蓄水量为.故选：A. 【典型例题2】已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解. 由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2， 设圆台的高为，可得， 所以圆台的体积为. 故选：B. 【典型例题3】若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用正六棱台的性质求得上下底面，再利用棱台的体积公式计算即可. 设正六棱台上、下底面的面积分别为、， 因为，，高为， 所以，， 所以该棱台的体积 .故选：C. 【变式训练3-1】如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高和体积分别为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3， 如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据相似关系可知，三棱台的高也是.    所以棱台的体积为.故选:C. 【变式训练3-2】在正四棱台中，，且三棱锥的体积为12，则该正四棱台的体积为（    ） A． B．36 C．108 D． 【答案】D 【解析】设正四棱台的高为，则，， ，又，， 正四棱台的体积 .故选：D. 【变式训练3-3】《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（   ） A． B． C．100 D．140 【答案】B 【解析】由棱台体积公式可得答案. 由题可得上底面积为，下底面积为，高为， 则棱台体积为：.故选：B 【变式训练3-4】如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【答案】D 【解析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以.故选：D. 【变式训练3-5】折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是6和12，且，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆台上下底面的半径分别为， 由题意可知，解得， ，解得，作出圆台的轴截面，如图所示： 图中， 过点向作垂线，垂足为，则， 所以圆台的高， 则圆台上下底面面积为， 由圆台的体积计算公式可得：故选：D． 【变式训练3-6】在梯形ABCD中，，，且，将梯形绕着边BC所在的直线旋转一周，形成空间几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将梯形ABCD绕着边BC所在的直线旋转一周，形成以BC为轴的圆台，如图： 由于，，设的中点为M，连接， 可得，，，所以， 所以圆台的体积为.故选：A 题型04： 球体体积的有关计算 【典型例题1】已知球的半径为，且该球的表面积与体积的数值之比为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】根据球的表面积公式和体积公式得到方程，解出即可. 由题意得，解得或0（舍去）.故选：A. 【典型例题2】已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 【答案】C 【解析】先求得球的半径，进而求得球的体积. 设球的半径为，则， 所以球的体积为.故选：C 【典型例题3】把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用球的体积公式即可求解. 设大铁球的半径为，则有 ，解得．故选：B. 【变式训练4-1】一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用勾股定理结合给定条件得到球的半径，再求解体积即可. 如图，设截面圆的圆心为，由题意可知，圆面的直径为6，则， 又，所以球的半径， 所以球的体积，故选：C. 【变式训练4-2】如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 【变式训练4-3】已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算. 设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为.故选：C 【变式训练4-4】已知棱长为2的正方体的体积与球的体积相等，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由棱长为2的正方体的体积为， 设球的半径为，可得，解得.故选：D. 【变式训练4-5】若一个球体的体积与其表面积的值相等，则该球体的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】设该球体的半径为，由题意，解得.故选：C. 【变式训练4-6】 （1）已知球的直径为，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比. 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】（1）因为直径为，所以半径，所以球的表面积， 球的体积. （2）设球的半径为，因为，所以， 所以球的表面积. （3）设三个球的半径分别为，，， ∵三个球的表面积之比为， ∴，即， ∴，得， ∴. 题型05： 组合体的体积问题 【典型例题1】如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆柱和圆台的侧面积和体积公式求解即可. 设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则. 瓶子的侧面积，解得. 瓶子的体积.故选：A 【典型例题2】如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为 . 【答案】 【解析】设的面积为，三棱台的高为，可知，利用台体的体积公式可求得的值，再利用台体和锥体的体积公式可求得结果. 设的面积为，三棱台的高为， 易知，且，则， 则，可得， ， 所以，沿平面截去三棱锥， 则剩余的部分几何体的体积为.故答案为：. 【典型例题3】如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【答案】； 【解析】先作辅助线，再应用球及圆台的表面积及体积公式计算求解即可. 由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面，侧面和一半球面组成.在直角梯形中，过点作，垂足为， 在中，， 所以，，， 所以形成的几何体的表面积为. 因为圆台的体积， 半球的体积， 所以所求几何体的体积为. 【变式训练5-1】科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（    ） （参考数据：，，，）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先由题意得半球的半径、圆柱的底面半径和母线长以及圆台的两底面半径和高，再分别利用球、圆柱、圆台的体积公式即可求出结果. 根据题意，该组合体的直观图如图所示： 因为半球的半径为，圆柱的底面半径为，母线长为，圆台的两底面半径分别为和，高为， 所以， ， ， 所以浮空艇的体积为： ，   故选：A. 【变式训练5-2】如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的．已知中间圆柱部分的侧面面积与上下露在外面的球面面积之比为1：3，则中间圆柱部分的体积与上下两个半球体体积之和的比值为（    ） A．1:2 B．1:1 C．2:1 D．2:3 【答案】A 【解析】设球的半径为，圆柱的半径以及高分别为， 由题意可得且，故， 则中间圆柱部分的体积与上下两个半球体体积之和的比值为，故选：A 【变式训练5-3】宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米， 下圆台的高为厘米， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米.故选：D 【变式训练5-4】如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）首先求出斜率，再由梯形面积公式计算可得； （2）根据球、柱体、台体的体积公式计算可得. （1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为，，， 则该四棱台的斜高为， 所以正四棱台的侧面积为； （2）因为， ，， 所以这个奖杯的体积. 所以这个奖杯的体积约为. 【变式训练5-5】某车间对一个正六棱柱形的工件进行加工，该工件的所有棱长均为4cm．需要在底面的中心处打一个半径为的圆柱形通孔（如图所示），当工件加工后的表面积最大时，加工后的工件体积为 ． 【答案】 【解析】工件加工后的表面积， 要使工件加工后的表面积最大，则取得最大值， 令，当时，取得最大值， 此时加工后的工件体积为． 【变式训练5-6】某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14. （1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土； （2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数） 【答案】（1）；（2）4升 【解析】（1）由已知正四棱台的上底面积，下底面积，高， 所以正四棱台的体积； 由已知圆柱的底面半径，高， 所以圆柱的体积； 故该预制件的体积 故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土. （2）作该几何体的截面，过点作，垂足为，如下： 由已知，， 该正四棱台侧面梯形的高为：， 故该预制件的表面积， ∴，， 所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升. 题型06 ：几何体的内切球问题 【典型例题1】在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【解析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 【典型例题2】一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是．故选：D 【典型例题3】圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积，故选：D. 【变式训练6-1】如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 画出圆锥的轴截面如图    设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得，故选：B. 【变式训练6-2】将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 【答案】/ 【解析】根据给定条件，求出正四棱锥内切球半径即可求得球的表面积. 底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高， 因此该四棱锥的表面积， 依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为， 则，解得，该球的表面积为. 故答案为： 【变式训练6-3】已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（    ） A．4 B．16 C．8 D．64 【答案】D 【解析】根据球的体积公式，，解得. 因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长， 所以正方体的棱长为，故正方体的体积为.故选：D. 【变式训练6-4】一个高为的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为，若，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作圆锥的轴截面，如图， 由题可知，,， 所以，即，解得， 则，所以故选：D 【变式训练6-5】古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理.如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则该球与圆柱的体积之比为 . 【答案】/ 【解析】若球体半径为，则圆柱体的底面半径和高分别为， 【变式训练6-6】蹴鞠（如图），又名“蹴球”，“蹴圆”，“筑球”，“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若把“鞠”看作一个表面光滑的球，已知某“鞠”内切于棱长为2的一个正四面体，则该“鞠”的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，正四面体中，设为正三角形的中心，连接， 根据对称性可知正四面体的内切球球心在线段上，连接， 根据正弦定理得的外接圆半径， 所以， 设内切球半径为， 根据等体积法，解得， 所以该内切球的表面积，故选：A 题型07 ：几何体的外接球问题 【典型例题1】已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 【典型例题2】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可. 因为，，则为直角三角形， 和的外心分别为斜边的中点， 连接，取的中点， 则为三棱柱外接球的球心， 其外接圆半径为， 则半径， 则外接球的表面积为. 故选：C 【典型例题3】正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 【变式训练7-1】已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可. 根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 【变式训练7-2】已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】令长方体的长、宽、高分别为，则， 由，则， 而长方体外接球半径，故，其表面积. 【变式训练7-3】已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是正三棱锥，底面是正三角形，边长为， 则顶点的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等， 如图，取的中点，连接，过作平面，且垂足为，则， 由， 则在中，有，所以， 则在中，有， 设外接球的半径为， 则，即，解得， 故外接球的表面积为.故选：A. 【变式训练7-4】若一个正四棱柱的底面积为32，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】设正四棱柱底面边长为，由题意，则， 由于正四棱柱的外接球的直径，就是正四棱柱的对角线的长， 所以球的直径为：， 所以该正四棱柱的外接球的表面积为：. 【变式训练7-5】已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，．若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设球的半径为，∵球的体积为，∴，解得. ∵，，所以， 又，所以，所以， ∴外接圆的半径，解得. 设球心到底面的距离为，则， ∴这个直三棱柱的体积.故选：B. 题型08 ：祖暅原理的应用 【方法技巧与总结】 1、祖暅原理的应用：如果在相同高度的截面上，两个几何体的截面积相等，那么根据祖暅原理，这两个几何体的体积也相等。 2、祖暅原理构造法的关键：构造一个与原几何体等高的几何体，使得新构造的几何体在与原几何体等高处的截面积相等，即两个截面积的函数解析式完全相同，同时新构造的几何体的体积我们可以直接计算，其体积就直接等于所求的原几何体的体积 【典型例题1】中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ． 【答案】7 【解析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 【典型例题2】祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【答案】 【解析】根据圆柱与圆锥的体积公式，结合题意，可得答案. ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：. 【典型例题3】祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图是一个半径为的球体，平面与球相交，截面为圆，延长，交球于点，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）. (1)若圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为，求圆锥DB的表面积和体积； (2)如图平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积. 【答案】(1)表面积为；体积为；(2) 【解析】（1）利用圆心角等于弧长除以半径来计算，再结合直角三角形中的三角函数定义，即可计算得到，从而去求圆锥的高和母线长，最后利用表面积和体积公式即可求出结果； （2）利用祖暅原理，利用半球的体积与底面半径和高都等于球的半径的圆柱里面挖掉一个圆锥的体积相等，再利用球冠对应的部分体积转化到圆柱减去圆台的体积计算即可. （1）设，则， 由圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为，则， 又因为，则， 又因为，所以， 而，所以， ， 则，即， 则 所以圆锥表面积：， 圆锥体积：. （2）如右图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥, 取同一高度的截面.令球冠截面半径为，面积为圆锥截面半径为， 面积为，， ， 所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等. . 【变式训练8-1】祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【答案】 【解析】由题意，从而得到椭球的体积为，再代入数据求解即可. 因为总有圆所以，半椭球的体积等于， 故椭球的体积为，所以该椭环体积是. 故答案为：. 【变式训练8-2】中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 . 【答案】21 【解析】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 故， 【变式训练8-3】祖暅（gèng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面的距离为，则平面截半球所得的较小部分的几何体的体积等于 . 【答案】 【解析】由题意知，， ， 所以， 所以该平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积为： 【变式训练8-4】根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为 ．（注：） 【答案】 【解析】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h， 由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积， 由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积， 故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为， 相应圆台的体积为， 所以，解得. 【变式训练8-5】刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（    ） 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】棱锥， 由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥 所以图1中几何体体积为， 所以牟合方盖体积为．故选：C． 巩固提升 一、单选题 1．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积.故选：D 2．有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先将数据统一单位，代入棱台体积计算公式，计算结果后再换算成即得. 因，而，设棱台的深度为， 由棱台的体积公式可得，，解得.故选：B. 3．艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的底面圆的半径为，由题意可得，可求，由圆锥的体积公式可求体积. 设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为， 侧面面积为，由题意知， 所以，解得， 因此该圆锥的高， 故该圆锥的体积．故选：C． 4．某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意先求圆台的高，利用圆台体积公式计算，借助于混凝土密度即可求得圆台石墩的质量. 由题意可得，，，因此该圆台石墩的高为， 故该圆台形石墩的体积约为， 故该圆台石墩的质量约为故选：A 5．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【解析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 设此半正多面体模型的体积为， 则.故选：C. 6．在中，，，以BC所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得该几何体由两个底面重合的圆锥组成，其中圆锥的底面半径为2，高为，进而即得. ∵在中，，， ∴，边上的高为2， 由题可知该几何体由两个底面重合的圆锥组成，其中圆锥的底面半径为2，高为， 所以该几何体的体积为．故选：A. 7．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于，故选:B. 8．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得到圆台和半球的体积，即可求解． ，， 剩余部分几何体的体积为．故选:C 9．一个圆柱的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆柱与球的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球半径为，则圆柱底面半径为，高为， 因此圆柱体积，球体积， 所以圆柱与球的体积之比.故选：B 10.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥底面圆半径为，依题意，，解得，而圆锥的母线长， 因此圆锥的高， 所以这个圆锥的体积是.故选：B 11.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为8，体积为64，则这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正四棱柱高为8，体积为64， 所以底面积为8，则底面正方形边长为， 所以正四棱柱的对角线长、即球的直径为， 所以球的半径为，球的表面积.故选： 12.如图1，在高为的直三棱柱容器中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】在图（1）中的几何体中，水的体积为, 在图（2）的几何体中，水的体积为：， 因为，可得，解得.故选：B. 13.如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为，圆柱部分的高为，底面圆的半径为，则该组合体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知，底面圆的半径为圆柱部分的高为，圆锥部分的高为， 所以圆柱部分的体积为， 圆锥部分的体积为， 所以该组合体的体积为.故选：C. 14.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，这是一个“阿基米德多面体”花岗岩石凳，它是将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到．已知此石凳的体积为，则此石凳的棱长（单位：cm）为（    ） A．15 B． C．20 D． 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为，则石凳的棱长为， 因为由正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的， 所以该几何体的体积为，解得， 所以石凳的棱长为.故选：B 15.《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（    ）（，，） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高， 所以，解得， 所以正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，棱台的高为， 所以方亭的斜高为， 由于各侧面均为相等的等腰梯形，所以， 所以方亭的表面积.故选：C 16.我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设截面与底面的距离为h，在帐篷中的截面为， 设底面中心为O，截面中心为，则， 所以，所以截面为的面积为． 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心O与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即．故选：D． 二、多选题 1.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（    ） A．当时，该几何体是一个半正多面体 B．若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 C．若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 D．该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体 【答案】BCD 【解析】根据半正多面体的定义，结合棱柱和棱锥的体积公式逐一判断即可. 选项A：当时，，但，不满足正多边形条件，故A错误； 选项B：如图1，因为棱长为4的正方体中，，，…，，所以，， 当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，，，解得，故B正确； 选项C，如图2，当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，， 所以，体积为，故C正确； 选项D，当时，如图3所示，此半正多面体是由正方形与正六边形围成， 此时几何体也是半正多面体，故D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解半正多面体的定义. 2.我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑，已知长方体中中，，，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑下列说法正确的是（    ） A．三棱锥由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体 B．三棱锥由四个直角三角形组成的四面体 C．该鳖臑的最长棱长 D．该鳖臑的体积为4 【答案】BCD 【解析】把三棱锥还原到长方体中，再逐项分析判断即可． 如图，把三棱锥还原到长方体中， 则，， 所以A错误，B正确； 该鳖臑的最长棱长就是长方体的体对角线，所以C正确． 该鳖臑的体积为，所以D正确． 故选：BCD． 3.“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3是以底面边长为的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（    ） A．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形 B．图2中阴影部分的面积为 C．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为 D．由棱长为的正方体截得的“牟合方盖”体积为 【答案】BCD 【解析】根据“牟盒方盖”的定义、祖暅原理及几何体的体积公式计算可得. 由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的， 故只要用水平面去截它们，那么所得的截面为正方形，故A错误； 根据祖暅原理，图2中正方体与“牟合方盖”的八分之一之间空隙的截面面积与图3中正四棱锥中阴影部分的面积相等，故B正确； 由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的，存在内切球，且只要用水平面去截它们， 那么所得的正方形和圆，也是相切在一起的，对于直径为的球和高为的牟合方盖来说， 使用同一高度处的水平面来截它们，所得的截面积之比正好总是相切的圆和正方形的面积之比，也就是，故C正确； 由图中正方体与牟合方盖的八分之一之间空隙的体积与正四棱锥体的体积相等； 而正四棱锥体的体积为． 所以八分之一牟合方盖的体积等于正方体的体积减去正四棱锥的体积， 从而得到整个牟合方盖的体积为，故D正确 故选：BCD． 4.下列说法中正确的是（    ） A．若一个球的直径为2，则此球的表面积为 B．若一个圆锥的底面积为，母线长为2，则此圆锥的体积为 C．若两个球的半径之比为，则这两个球的体积之比为 D．棱台的上下两个地面面积分别为，高为，则体积为 【答案】ABD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，圆锥的底面积为，则底面半径为， 所以此圆锥的高为，体积为，B正确； 对于C，设两个球的半径为，则，所以，C错误； 对于D，，D正确.故选：ABD. 5.已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的内切球的体积为 C．该圆锥的外接球的表面积为 D．该圆锥的内接正方体的棱长为 【答案】AC 【解析】对于A：设圆锥底面半径为，母线为,则侧面积为， 则圆锥高为，故圆锥体积为，故A正确； 对于B：由于,所以, 如图，内切球和圆锥侧面和底面分别切于,,故内切球半径， 故内切球的体积为，故B错误； 对于C：外接球的球心为半径, 则满足：，∴，故C正确； 对于D：以圆锥的顶点以及正方体的一条面对角线作截面如下，设内接正方体的棱长为， 则由相似可得，故D错. 故选：AC 6.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（    ） A．该阳马的体积为 B．该阳马的表面积为 C．该阳马外接球的半径为 D．该阳马内切球的半径为 【答案】BD 【解析】如图，不妨底面，，两两互相垂直， 平面平面，又， 因此，由对称性：，解得， 所以A错误； 该阳马的表面积B正确； 都是以为斜边的直角三角形， 则都在以为直径的球上，C错误； 设该阳马内切球的半径为，则， 即，解得D正确.故选：BD 三、填空题 1.已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 【答案】/ 【解析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 2.如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 【答案】40 【解析】利用割补法求解几何体体积； 依题意，将该“四角反棱台”还原成长方体，知该几何体为长方体截取 四个相同大小的四棱锥，如图.则该几何体体积为 . 故答案为：40. 3.已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 【答案】/ 【解析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 4.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为，则其外接球的表面积是 ． 【答案】 【解析】如图所示，可把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体， 则三棱锥的外接球与该长方体的外接球是同一个球，设外接球的半径为， 因为长方体的对角线长为，可得，即， 所以外接球的表面积为. 5.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为 ． 【答案】 【解析】设的面积为，底面ABC水平放置时，液面高为h， 侧面水平放置时，水的体积为， 当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为. 6.在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，则所得几何体的体积为 ． 【答案】 【解析】由题意，将所得平面图形绕直线旋转一圈后， 所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体， 则该组合体的体积为． 四、解答题 1.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．    （1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长； （2）求六棱锥的表面积和体积． 【答案】（1）高为6，斜高为，侧棱长为；（2）表面积为，体积为 【解析】（1）如图： 在正六棱锥中，， H为中点，所以． 因为是正六边形的中心，所以为正六棱锥的高． ， 在中，，所以． 在中，． 在中，，， 所以． 故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为． （2）的面积为， 的面积为， 所以正六棱锥的表面积为， 体积为 2.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为. （1）求圆柱的表面积； （2）求三棱锥外接球的体积. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵在中，， ∴， 又在中，，，∴， 而点的圆柱的底面圆上，∴， 所以， 于是由，得，∴， ∴圆柱的表面积. （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球， 则外接球的球心是的中点，半径， 所以三棱锥外接球的体积. 3.如图，在梯形中，，在平面内过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的表面积． （2）求此旋转体的体积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）在梯形中，，，且，，， ， ， ． 以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥， 且圆柱高为，底面半径为，圆锥的母线长为，底面半径为， 圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的底面积， 组合体上底面积， 旋转体的表面积． （2）由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积， 圆柱的体积， 圆锥的体积， 旋转体的体积． 4.意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，、为半圆弧上的点，，，阴影部分为弦、、与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．    （1）写出该几何体的主要结构特征（至少两条）； （2）计算该几何体的体积． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】（1）该几何体中间空心部分为一个圆柱和两个等高的圆锥拼接而成的组合体， 且圆柱的上下底面分别为两个圆锥的底面． 该旋转体为球体挖去上述组合体而形成的几何体． （2）连接，则，分别过、作的垂线，垂足分别为、． 因为，则， 因为，则，，． 同理，，，则， 因为，，，则四边形为矩形，故， 所以，该几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积， 故该几何体的体积为． 5.如图：三棱台的六个顶点都在球的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，，和分别是边长为和的正三角形． （1）求三棱台的表面积； （2）计算球的体积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）如图 设点分别是正和的中心，球的半径为， 且三点共线，正三棱台的高为， 在等边中，由，得， 同理，得， 如下图，过点作， 则在中，，， 所以正三棱台的高为3，在直角梯形中， ， 所以，所以正三棱台的斜高为， 正三棱台侧面积为， 又因为正三棱台上下两底的面积之和为 , 所以正三棱台表面积为. （2）在中，， 即，在中，， 即，两式联立解得：， 所以球的体积为：． 6.如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【解析】先确定旋转体的形状，再利用圆柱和圆锥的表面积公式与体积公式求解即可. 在梯形中，，， ，，， 如图，作， 由题意得四边形是矩形，故， ，， ，． 由于以为轴将梯形旋转一周后形成的几何体 为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径． 圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 圆柱的底面积，圆锥的底面积， 组合体上底面积， 旋转体的表面积． 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． 设圆柱体体积为，圆锥体体积为， ，， ． 7.已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 【答案】(1)；(2)，． 【解析】（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积； （2）根据等体积法求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积和体积. （1）由题意，如图所示． 底面三角形中心到AC的距离， 则正棱锥侧面的斜高为．    ． 故． （2）设正三棱锥的内切球球心为， 联结、、、， 而点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径， ． 又， ，解得． ， ． 8.如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 【答案】(1)；(2)（元） 【解析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）求出该模型的表面积，进而可得出答案. （1）设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. ， 故总费用为（元）. 9.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. （1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    10.我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)94毫米 【解析】（1）盆的形状不同，接到的雨水存在差异. （2）根据台体的体积公式求容积. （3）台体的容积除以盆口面积即可. （1）因为器形不同，所以不能直接用盆里的水深来代替平地水深. （2）根据题意，该盆可以视作圆台，故作出该圆台的轴截面，如图， 根据题意得：寸，寸，寸，寸． （立方寸）. （3）由（2）知寸，即水面的半径为10寸， 所以盆中水的体积为（立方寸） 因为平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，所以平地降雨量为寸． 再根据1寸约为现代的31.2毫米计算可得：（毫米） 故折算到现代的雨量约为94毫米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $