精品解析：甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学试题

甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用集合的并集运算法则求解即可． 【详解】因为集合，， 所以． 故选：B． 2. 函数的定义域为（ ） A. R B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数式的真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】函数有意义，真数，则， 解得，所以的定义域为. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的关系即可判断为必要不充分条件. 【详解】由，得， 时不能得到，而时一定满足， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案. 【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AB； 根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除C. 故选：D 5. 已知函数的图象过定点，函数也经过点，则的值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数性质求得点，然后将点P的坐标代入对数函数解析式求解即可. 【详解】当时，，所以函数过定点， 将代入中，得，解得. 故选：D. 6. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案． 【详解】函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标． 在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图： 由图可知，. 故选：B． 7. 用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用对数加法公式和对数换底公式的推论，结合换元法解一元二次不等式可得结果. 【详解】因为，所以，即，所以， 设，又因为，所以， 由对数加法公式得：， 由对数换底公式得：， 所以可化为：， 即，解得或， 又因为，所以， 即的值所在的区间为， 故选：C 8. 若定义在R上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和周期性，赋值求出具体的函数值，代入计算即得. 【详解】因为是R上的奇函数，所以， 令，则，即， 又，所以，，. 因 ，则 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、幂函数的单调性、指数函数的单调性以及对数函数的定义域和单调性等概念.我们将分别根据这些性质来判断每个选项是否成立. 【详解】对于选项A，对于幂函数，它在R上是增函数.因为，所以，选项A成立. 对于选项B，已知且.根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变，所以，选项B不成立. 对于选项C，指数函数在R上是增函数.因为，所以，选项C成立. 对于选项D，因为，所以.对数函数在上是增函数.所以，选项D不成立. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 的单调递增区间为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用换元法求出函数解析式，再结合对数函数与二次函数的性质，分析该复合函数的定义域、值域、单调区间及最值. 【详解】令，则，则， 所以，所以，A正确，B错误； 结合复合函数的单调性可知：当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减， 所以当时，的最小值为，C正确，D错误. 故选： AC. 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，作出函数的图象，，A正确；由，求得，B错误；，，从而判定C；设，则，则，可得值域，判断D. 【详解】作出函数的图象， 由图可知，若， 则，A正确； 因为，可得， 所以，可得，B错误； 依题意，，得， 则，且当接近时，接近，接近4， 此时， 且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷， 则的取值范围为，C正确； 函数，， 设，则， 则，， 所以函数的值域为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项C，依题意，，得，则，从而求范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则与对数的运算性质计算即得. 【详解】. 故答案为：2. 13. 若命题：“”是真命题，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为恒成立问题，进而转化为函数最值问题，运用单调性求最值即可. 【详解】命题：“”是真命题，则恒成立， 由于都是递增函数，则也是增函数， 故即可，即，即. 故实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数满足，且函数在区间上单调递增，则关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，函数为偶函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，关于的不等式可变形为，即，可解不等式. 【详解】根据题意，，即， 设，则， 即函数为偶函数，又函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 关于的不等式可变形为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设，由函数的单调性和奇偶性求解不等式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合，写出时的集合，直接求解即可. （2）将是充分不必要条件转化为两集合的包含关系，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由得， 解得，即，或， 当时，，或， 所以，或， 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 由（1）知：， 所以且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义以及性质求解； （2）问题为对任意恒成立，即，求出的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 则问题为对任意恒成立， 即，， 由于的最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 17. 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为且是常数），如图所示： （1）根据图象写出关于的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求分段函数的解析式； （2）由解不等式，根据不等式的解即可得出药物有效时长. 【小问1详解】 因为当时，血液中的药物浓度与时间成正比，且过点，所以， 当时，与的函数关系式为且是常数）， 且过点和， 所以，所以，所以， 所以 【小问2详解】 当时，令，得； 当时，令，得． 因此当时，药物有效，有效时长为． 18. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）；当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）分析函数的单调性，即可，再根据“1距”减函数的概念做出判断. （2）根据“距”减函数的概念可得对恒成立，再根据可求的取值范围. （3）根据“2距”减函数，结合指数函数的单调性，可求参数的取值范围；再结合二次函数的对称轴和区间的位置关系进行讨论，求函数的最大值. 【小问1详解】 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以是“1距”减函数. 【小问2详解】 由题意对恒成立， 即对恒成立 由， 因为，所以对恒成立. 所以， 结合，得. 即的取值范围为. 【小问3详解】 由对恒成立. 因为当，，所以. 故实数的取值范围为. 设，，. 当即时，在上单调递增， 所以，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 19. 已知函数偶函数. （1）求实数的值； （2）证明：函数在区间上单调递增； （3）若函数，当时，函数与函数的值域相同，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见详解. （3） 【解析】 【分析】（1）可先用特殊值求出的可能值，再代入验证证明其正确； （2）利用函数单调性定义进行证明； （3）根据已知，结合两个函数的单调性求出的最小值和的最大值即可求解. 【小问1详解】 由已知是偶函数，代入. ，；得，. 代入，. 满足. 可得. 【小问2详解】 在区间内选择任意的， ， 因为 ，其中，，，，. 可得，，即. 综上，证得在单调递增. 【小问3详解】 由(2)已证，，又有，若要满足当时，与的值域相同，则且 由在单调递增，在单调递减，且，, 根据的单调性，且；又由,则只需要满足且即可. ，，， ，. 的最大值为 【点睛】方法点睛：在一些比较复杂的根据奇偶性求参数的问题中，不妨设特殊值先求出可能的参数值，再根据奇偶性的定义进行验证得到最后的答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. R B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数图象过定点，函数也经过点，则的值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 6. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 7. 用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在R上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10 已知函数，则（ ） A. 定义域为 B. C. 的单调递增区间为 D. 的最小值为 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 若命题：“”是真命题，则实数的取值范围为_____________. 14. 已知定义在上的函数满足，且函数在区间上单调递增，则关于的不等式的解集为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 17. 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为且是常数），如图所示： （1）根据图象写出关于的函数表达式； （2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长. 18. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 19. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）证明：函数区间上单调递增； （3）若函数，当时，函数与函数的值域相同，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $