精品解析：2017年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷

**基本信息** 2017年青岛北区中考数学一模卷立足中考模拟，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过行程问题、仰角测量等实际情境与动态几何、函数综合题，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相反数、图形对称、正方体展开等|基础概念与空间观念结合，如正方体展开图考查空间想象| |填空题|6/18|科学记数法、标准差、利润函数等|统计与函数应用，如用表格数据建立利润函数模型| |解答题|10/78|仰角测量、统计分析、动态几何等|综合应用与探究，如动态几何问题考查推理能力与空间观念|

2017年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷 一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 相反数是5的数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 根据表格估计一元二次方程x2+2x-4=0的一个解的范围在（      ） x -1 0 1 2 3 -5 -4 -1 4 11 A. -1＜x＜0 B. 0＜x＜1 C. 1＜x＜2 D. 2＜x＜3 6. 如图，是的直径，直线与相切于点A，交于点C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连接交于点M，连接、．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：___________. 10. 某种细胞的直径是米，将用科学记数法表示为_________________． 11. 某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生身高情况（m）的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为________队（填甲或乙）会被录取，理由是________． 平均数 标准差 中位数 甲队 1.72 0.038 1.73 乙队 1.69 0.025 1.70 12. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 13. 如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是_____平方米． 14. 如图，已知点C（1，0），直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E分别是AB, OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____________. 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但到保留作图痕迹． 已知：线段a， 求作：正方形ABCD，使其对角线AC=a 16. （1）化简： （2）解不等式组． 17. 甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由． 18. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD的正后方30米的观测点P处，以22°的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD上距离地面3米高的E处，测得教学楼的顶端A的仰角为45°，求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈，tan22°≈） 19. 中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表： 抽取的200名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩x A组 50≤x＜60 B组 60≤x＜70 C组 70≤x＜80 D组 80≤x＜90 E组 90≤x＜100 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为 ，表示C组扇形的圆心角θ的度数为 度； （3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？ 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式． （2）连接OA、OB，求△AOB的面积． （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 21. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD． （1）求证：AO＝EO； （2）若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论． 22. 如图，需在一面墙上绘制两个形状相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，最高点M到横轴的距离是4米，到纵轴的距离是6米；纵轴上的点A到横轴的距离是1米，右侧抛物线的最大高度是左侧抛物线最大高度的一半．（结果保留整数或分数，参考数据：，） （1）求左侧抛物线的表达式； （2）求右侧抛物线的表达式； （3）求这个图案在水平方向上的最大跨度是多少米． 23. 【问题提出】 已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积． 【问题探究】 为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究． 探究一：在（图1）中，，，，，求的面积（用含a、b、的代数式表示） 在中， ， 探究二： 锐角（图2）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 探究三： 钝角（图3）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【问题解决】 用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是_____ 【问题应用】 已知平行四边形（图4）中，，， 求：平行四边形的面积．（用含a、b、的代数式表示） 24. 已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点，直线以从点出发，沿方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点，过点作，交于点 （1）求线段的长；（用含的代数式表示） （2）设的面积为（单位：），求与的函数关系式； （3）是否存在某时刻，使线段恰好经过点？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2017年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷 一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 相反数是5的数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的意义求解即可． 【详解】解：5的相反数是-5， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意． B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确把握概念是解题的关键． 3. 图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体， 故选：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 4. 线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据旋转后的图形即可解题． 【详解】解：如图： ∴点N的对应点的坐标为． 故选：C． 5. 根据表格估计一元二次方程x2+2x-4=0的一个解的范围在（      ） x -1 0 1 2 3 -5 -4 -1 4 11 A. -1＜x＜0 B. 0＜x＜1 C. 1＜x＜2 D. 2＜x＜3 【答案】C 【解析】 【分析】利用夹逼思想求一元二次方程的近似解．根据表格当时，，且最接近于0；当时，，且最接近于0．即可选出答案案． 【详解】根据表内数据，可以发现： 当时，； 当时，. ∴一元二次方程的其中一个解x的范围是1＜x＜2. 故选C. 【点睛】本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解，观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围是解本题的方法． 6. 如图，是的直径，直线与相切于点A，交于点C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由切线的性质知，所以，由圆周角定理推出． 【详解】∵直线与相切于点A ∴ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形性质、圆周角定理，观察图形由角的位置关系得出角之间的数量关系是解题的关键． 7. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 8. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连接交于点M，连接、．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据条件证明是等边三角形，得到，结合即可判断①；证明，根据全等三角形对应边相等即可判断②；证明即可判断③；根据特殊角的三角函数证明，设，则，，， 即可判断④． 【详解】解：①矩形中，为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴垂直平分，故①正确； ②为等边三角形， ， 在和中， ∴， ， ， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即垂直平分， ∴， ∵为的斜边， ∴， 即， 若与全等，则和的对边与也应相等，与上述结论矛盾，故②错误； ③由②知， ∴， 在和中， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ， ， ，， ， ， 由对称性可知，； ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ， 设， 则，，， ， ，故④错误； ∴其中正确结论的个数为2个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后计算即可. 【详解】解：， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 10. 某种细胞的直径是米，将用科学记数法表示为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法—表示较小的数．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故答案为：． 11. 某学校要从甲、乙两支女生礼仪队中，选拔一支身高相对整齐的队伍，代表学校承接迎宾任务，对两队女生身高情况（m）的统计分析如表所示，在其它各项指标都相同的情况下，你认为________队（填甲或乙）会被录取，理由是________． 平均数 标准差 中位数 甲队 1.72 0.038 1.73 乙队 1.69 0.025 1.70 【答案】 ①. 乙 ②. 乙队的标准差较小，身高比较整齐 【解析】 【分析】本题考查了标准差的意义，选拔身高整齐的队伍应比较标准差，标准差小的队伍更整齐． 【详解】解：从表中数据可知，甲队标准差为0.038，乙队标准差为0.025，乙队标准差小于甲队，而标准差越小数据的波动越小， 因此乙队身高更整齐， 故乙队会被录取． 故答案为：乙；乙队的标准差较小，身高比较整齐． 12. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据表中数据确定销售量y与销售单价x成一次函数关系，再利用利润公式建立w与x的二次函数关系即可． 【详解】解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设， 将点和代入， 得， 解得， ∴， ∴日销售利润销售收入总成本 ． 故答案为：． 13. 如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是_____平方米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题结合实际问题考查了扇形面积的计算方法，解题关键是弄清小羊活动的范围是哪些图形． 小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为和一个半径为1、圆心角为的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围． 【详解】解：如图．， 小羊的活动范围是：（平方米） 故答案为． 14. 如图，已知点C（1，0），直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E分别是AB, OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____________. 【答案】10 【解析】 【分析】点C关于OA的对称点C′（−1，0），点C关于直线AB的对称点为C″，连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△CDE周长最小，这个最小值就是线段C′C″，然后求出C″的坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，点C关于OA的对称点C′（−1，0），点C关于直线AB的对称点C″， ∵直线AB的解析式为y＝−x＋7， ∴设直线CC″的解析式为y＝x+b， 代入C（1，0）得：0=1+b， 解得：b=－1， ∴直线CC″的解析式为：y＝x−1， 联立，解得：， ∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3）， ∵K是CC″中点， ∴C″（7，6）， 连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△CDE周长最小， △CDE的周长＝DE＋EC＋CD＝EC′＋ED＋DC″＝C′C″＝， 故答案为10． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路径问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点坐标的求法以及两点间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E的位置，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但到保留作图痕迹． 已知：线段a， 求作：正方形ABCD，使其对角线AC=a 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先画一条线段AC=a，然后作AC的垂直平分线，交AC于O，然后以O为圆心， a长为半径作弧，交AC的垂直平分线于B、D两点，连接AB、BC、CD、AD，即可得出所求作的正方形． 【详解】解：作法：（i）作线段AC=a， （ii）作线段AC的垂直平分线，交AC于O， （iii）以O为圆心， OA长为半径作弧，交AC的垂直平分线于B、D两点， （iv）连接AB、BC、CD、AD， 则正方形ABCD即为求作的图形． 【点睛】本题考查了尺规作图，解题关键是明确正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，按照尺规作图的方法画图. 16. （1）化简： （2）解不等式组． 【答案】（1）a；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则、解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． （1）先根据分式的性质把括号内的化为同分母的分式，并将除法转化为乘法，再进行计算即可； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再找出公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式 ； （2）由①可得： 由②去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 不等式组的解集为：． 17. 甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【解析】 【分析】列表得到所有情况，然后找出数字之和是3的倍数的情况，利用概率公式计算后进行判断即可得． 【详解】根据题意列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：（2，1），（1，2），（4，2），（3，3），（2，4），共5种， ∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=1﹣=， 则该游戏不公平． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD的正后方30米的观测点P处，以22°的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD上距离地面3米高的E处，测得教学楼的顶端A的仰角为45°，求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈，tan22°≈） 【答案】18m 【解析】 【详解】分析：如图作EF⊥AB于F，则四边形EFBD是矩形．设EF=AF=x米．在Rt△PAB中，AB=x+3，PB=30+x，根据tan22°=，可得=，解方程即可解决问题． 详解：如图，作EF⊥AB于F，则四边形EFBD是矩形． ∵∠AEF=45°，∠AFE=90°，∴∠AEF=∠EAF=45°，∴EF=AF，设EF=AF=x，则BD=EF=x．在Rt△PAB中，∵AB=x+3，PB=30+x，∴tan22°==，解得：x=15，∴AB=x+3=18． 答：教学楼AB的高度约为18m． 点睛：本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 19. 中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表： 抽取的200名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩x A组 50≤x＜60 B组 60≤x＜70 C组 70≤x＜80 D组 80≤x＜90 E组 90≤x＜100 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为 ，表示C组扇形的圆心角θ的度数为 度； （3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？ 【答案】（1）答案见解析；（2）a=15，72°；（3）700人. 【解析】 【详解】试题分析：（1）用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；（2）用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C组扇形的圆心角θ的度数；（3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，即可得出答案． 试题解析：（1）D的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70=50（人）， 补图如下： （2）B组人数所占的百分比是×100%=15%；C组扇形的圆心角θ的度数为360×=72° （3）根据题意得：2000×=700（人）， 答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人． 考点：（1）条形统计图；（2）用样本估计总体；（3）扇形统计图 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式． （2）连接OA、OB，求△AOB的面积． （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2）1.5 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题． （1）将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案． （2）求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案． （3）根据图象即可求出x的取值范围． 【小问1详解】 将代入， ∴， ∴反比例函数的解析式为： ， 将代入， ∴， ∴， 将和代入， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 令代入， ∴， ∴， 【小问3详解】 由图象可知：当y1＜y2时，，或 21. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD． （1）求证：AO＝EO； （2）若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABO=∠EBO， ∵AE⊥BD， ∴∠AOB=∠EOB=90°， ∵BO=BO， ∴△AOB≌△EOB， ∴AO=EO； （2） 平行四边形，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠BCD， ∵∠ABD=∠EBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AD=AB， ∵OA=OE，OB⊥AE， ∴AB=BE， ∴AD=BE， ∵BE=CE， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∴AD=EC， ∵AD∥CE， ∴四边形AECD是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）△AOB≌△EOB，即可得到结论； （2）由AD∥BC，BD平分∠ABC，得到∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=AB，根据垂直平分线的性质有AB=BE，于是AD=BE，进而得到AD=EC，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】考查等腰直角三角形的性质以及平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 22. 如图，需在一面墙上绘制两个形状相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，最高点M到横轴的距离是4米，到纵轴的距离是6米；纵轴上的点A到横轴的距离是1米，右侧抛物线的最大高度是左侧抛物线最大高度的一半．（结果保留整数或分数，参考数据：，） （1）求左侧抛物线的表达式； （2）求右侧抛物线的表达式； （3）求这个图案在水平方向上的最大跨度是多少米． 【答案】（1） （2） （3）这个图案在水平方向上的最大跨度是23米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意可知顶点为，则设左侧抛物线的表达式为，再把点A代入求解即可； （2）根据题意可设右侧抛物线的表达式为，再通过左侧抛物线求出点C，最后将其代入求解即可； （3）通过右侧抛物线求出点D即可求解． 【小问1详解】 解：∵最高点M到横轴的距离是4米，到纵轴的距离是6米， ， ∴设左侧抛物线的表达式为， 由题意得，把代入， 得， 解得， ∴左侧抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为， ∵右侧抛物线与左侧抛物线形状相同，且右侧抛物线的最大高度是左侧抛物线最大高度的一半， ∴设右侧抛物线的表达式为， 把代入， 得，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴右侧抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：∵右侧抛物线的表达式为， ∴右侧抛物线的对称轴是直线， ∵点C为， 点D为． ∴这个图案在水平方向上的最大跨度是23米． 23. 【问题提出】 已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积． 【问题探究】 为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究． 探究一：在（图1）中，，，，，求的面积（用含a、b、的代数式表示） 在中， ， 探究二： 锐角（图2）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 探究三： 钝角（图3）中，，， 求：的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【问题解决】 用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是_____ 【问题应用】 已知平行四边形（图4）中，，， 求：平行四边形的面积．（用含a、b、的代数式表示） 【答案】探究二：；探究三：；问题解决：（是两边的夹角）；问题应用： 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 探究二：过点作于点，先解直角三角形可得，再利用三角形的面积公式求解即可得； 探究三：过点作于点，先解直角三角形可得，再利用三角形的面积公式求解即可得； 问题解决：根据直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的面积归纳即可得； 问题应用：过点作于点，先解直角三角形可得，再利用平行四边形的面积公式求解即可得． 【详解】解：探究二：如图2，过点作于点， 在中，，，， ， ∴， ∵，， ∴的面积为． 探究三：如图3，过点作于点， 在中，，，， ， ∴， ∵，， ∴的面积为． 问题解决：由问题探究中直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积可知，三角形面积的方法是（是两边的夹角）， 故答案为：（是两边的夹角）． 问题应用：如图4，过点作于点， 在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形的面积为． 24. 已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点，直线以从点出发，沿方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点，过点作，交于点 （1）求线段的长；（用含的代数式表示） （2）设的面积为（单位：），求与的函数关系式； （3）是否存在某时刻，使线段恰好经过点？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在某时刻，使线段恰好经过点， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可； （2）过点Q作于点E，解直角三角形求出，，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）过点Q作于点E，求出，，根据得出，再根据解析（2）得出，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵菱形中，， ∴，，， ， ∴， 根据平移可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点Q作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 解：存在某时刻，使线段恰好经过点； 过点Q作于点E，如图所示： 则， 根据解析（2）可知：，， ∵， ∴， 当经过点O时，， ， 根据解析（2）可知：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的相关计算，三角形面积的计算，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $