精品解析：黑龙江省哈尔滨市道里区2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

2025—2026学年上学期九年级数学期末调研测试 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．根据点，利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：设这个函数的解析式为， ∵这个反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个函数的解析式为， 故选：C． 4. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线的顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 5. 篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：∵有x个队参加比赛，每两队之间都进行一场比赛， ∴总比赛场数为， ∵总共比赛45场， ∴． 故选：B． 6. 如图，在中，点E在边上，射线交延长线于点F，若，则下列结论错误的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．根据平行四边形的性质，可知，，可得，，即可根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：对于A和B， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选项A和选项B都正确，不符合题意； 对于C和D， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ，， ， ， 故选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、C正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项B正确， 由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确． 故选：D． 8. 如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据是直径，得到，结合，得到，根据同弧所对的圆周角相等，得到． 【详解】解：连接， 是圆O的直径， ， ， ， ． 故选：B． 9. 将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（ ）个棋子． A. 18 B. 20 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中棋子个数的变化规律． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，通过归纳得出第n个图形的棋子的个数，最后把代入规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， ……， 由此发现，第n个图形有个棋子， ∴第6个图形有个棋子． 故选：C 10. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项， 故选：． 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12. 多项式因式分解的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 【详解】解：原式， ， 故答案为：． 13. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2026． 14. 如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与应用，根据图象求出解析式是解题关键． 设反比例函数的解析式为，根据图象可知，双曲线过点，代入解析式求出k．再令，求出此时电流的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将，代入解析式得，， ∴， ∴， 令，则（A）， ∴此时电流的值为． 故答案为：． 15. 规定运算“★”是，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义，分母有理化，二次根式的减法运算．根据新运算的定义，将 a 和 b 的值代入公式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴当，时，． 故答案为：． 16. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式求出半径，利用扇形公式求出面积即可. 【详解】设半径为R ， ∴2= ，解得：R=3， ∴扇形面积为： =3， 故答案为3 【点睛】本题考查弧长公式和扇形面积公式，熟练掌握弧长和扇形面积公式是解题关键. 17. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】解：∵随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球， ∴所有可能的结果有，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 一共16种， 其中两次取出的小球标号的和为5的情况有：，，，共4种， 则两次取出的小球标号的和等于5的概率为． 故答案为：． 18. 如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理．连接，由切线的性质可得，．根据，可得，结合圆周角定理可知，，所以．根据含角的直角三角形的性质可得，，结合，从而算出与的值，进一步求出 的长． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在直角中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆O的直径， ∴， ∴． 故答案为：4． 19. 在中，，，，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，涉及正切函数定义、勾股定理等知识，根据题意，分情况求解是解决问题的关键 由，分三种情况：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，然后过点作出对边的高，构造直角三角形分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分三种情况： 当为锐角三角形时，过点作于点，如图所示： 在中，， 设，则， ， 由勾股定理可得，则， ， 解得或（负值，舍去）， 则，， 在中，，，则由勾股定理可得， ； 当为直角三角形时，如图所示： 在中，，则， ， ，故此种情况不存； 当为钝角三角形时，过点作于点，如图所示： 在中，， 设，则， ， 由勾股定理可得，则， ， 解得或（负值，舍去）， 则，， 在中，，，则由勾股定理可得， ． 故答案为：或． 20. 四边形中，，，，，E、F分别是和上的点，连接、、．有如下结论：①；②；③若，，则；④的周长最小值等于周长的．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形周长的计算，对所有知识点灵活运用是解题的关键． 结论①：利用等腰三角形的性质，进行角度计算即可；结论②：构造，再证明出得出多种数量关系，即可证出；结论③：假设，则，过点作交于点，由勾股定理，求出的长，通过特殊角的直角三角形求出的长，最终求出的长度；结论④：利用轴对称的性质，判断出的周长最小值的情况，求出最小值，并与周长进行比较计算即可． 【详解】解：对于结论①： ∵，， ∴， 同理，由于，， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确． 对于结论②： 在的延长线上截取，连接，如下图所示： 在与中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，又∵， ∴， 即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，结合， 故， 即结论②正确． 对于结论③： 过点作交于点，过点作交于点，如图： 由结论①的结果，，，且为等边三角形，即， ∴，结合勾股定理，结合， 解得，， 假设，则， ∵， ∴， ∵，结合结论②，可得， ∴， ∵和， ∴， 即， 解得，即，结合， 由勾股定理， 故结论③错误． 对于结论④：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，同理可得， 计算得出，符合题意， 此时的最小周长为线段的长度， ∵、为、的中点， ∴， 在中，， ∴，, 则的周长为， ∵ ∴的最小周长等于周长的， 故结论④错误． 故答案为：①②． 三、解答题：（第21题、22题各7分，第23题、24题各8分，第25题、26题、27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值：，其中a＝tan60°﹣2sin30°． 【答案】，. 【解析】 【分析】根据分式加减乘除的运算法则对原式进行化简，再算出a的值，代入即可. 【详解】原式＝ . 当a＝tan60°﹣2sin30°＝时， 原式＝ ． 【点睛】本题考查分式的运算以及特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则及特殊角的三角函数值. 22. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B在格点上． （1）直接写出线段的长为__________； （2）只用无刻度的直尺，在网格中按照下列要求完成画图：将点A绕点B顺时针旋转得到点C，标出C点，连接，画出的中线．（保留画中线的画图痕迹） 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）根据旋转的性质和网格的特点可得点C，然后取格点E、F，连接交于点D，根据网格的特点可知，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：由图可知，； 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， ． 23. 某工厂生产A、B、C、D四种产品．下面是该工厂这四种产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． 各产品年产量条形统计图 各产品年产量扇形统计图 根据上面的信息，回答下列问题： （1）求该工厂四种产品年产量一共多少万件？ （2）通过计算补全条形图； （3）若A、B、C、D四种产品的成本分别是每件4元、3元、7元、6元，求这四种产品制作的平均成本是多少元？ 【答案】（1）200万件 （2）图见解析 （3）元 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数，从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）根据D产品的年产量为40万件，占比，列式计算即可得到四种产品的年产量； （2）根据（1）中求得的总年产量和C产品的占比，先求得C产品的年产量，再求得A产品的年产量，据此补全条形统计图即可； （3）先根据四中产品的每件成本价，求得这四种产品的总成本，然后除以总量即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，（万件）， 答：该工厂四种产品年产量一共200万件． 【小问2详解】 解：C产品的年产量：（万件）， A产品的年产量：（万件）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（元）， 答：这四种产品制作的平均成本是元． 24. 筝形在几何学中定义为有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形．如图1，在四边形中，若，，则四边形即为筝形．（注：画出四边形的任何一边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸多边形．） （1）如图2，在菱形中，点E、F分别是边、上的两个点，，连接和．求证：四边形是筝形． （2）如图3，的方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均在格点上，，以点O为原点，点O、P所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若点M、N在格点上，且四边形为筝形，例如，如图3中所给出的点M即为所求，请直接写出网格中其它所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）证明见解析 （2），， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，即可证明，得到，即可根据筝形的定义证明结论； （2）分和两种情况讨论，分别求出满足条件的点M的坐标即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是筝形； 【小问2详解】 解：当时，以点P为圆心，5为半径画弧，该弧恰经过，，，等4个格点， 且，； ，；，， 四边形、四边形、四边形都是筝形； 当时，也能得到，，，共4个格点，但都找不到对应的点M，使四边形为筝形； 所以网格中其它所有符合条件的点M的坐标是，，． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间的距离公式，正确理解筝形的定义并能拓展应用是解题的关键． 25. 同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． （1）求种材料和种材料的单价； （2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 【答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）最多能购买种材料20件． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组应用、一元一次不等式的应用． （1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元， 依题意， 解得， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； 【小问2详解】 解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得． ∴m的最大值为20． 答：最多能购买种材料20件． 26. 已知：是的直径，弦交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点E作直线，分别交于点M、点N．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过N作于点F，连接并延长交于点G，连接，，．求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理和平角的定义可证明，则由三线合一定理可证明，据此可证明结论； （2）导角可证明；则可证明，得到；再证明，得到，则可证明； （3）过点B作于H，连接，由三线合一定理可得，证明是的中位线，得到；设的半径为，则，由勾股定理得，解得，则，可求出，，解直角三角形可得；可证明，，则． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点B作于H，连接， 由（2）可得，， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴； 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 一次函数的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，二次函数的图象经过A、B两点． （1）求b的值； （2）P是二次函数图象第三象限内一点，连接、，设P点横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式（不用写出自变量取值范围） （3）在（2）的条件下，过P点作直线分别交直线于点D，交y轴于点E，过P作轴于K，延长交直线于F，H是延长线上一点，连接，，P为中点，取中点G，连接，，交线段于点M，，求H点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可解答； （2）不妨设点，设直线交轴于点，然后用待定系数法求得直线的表达式为：，那么，最后通过得出答案； （3）过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，先表示出，然后结合，得到，，设，证明四边形为矩形，以及，得到，那么为的垂直平分线，，设，则，接着证明，延长交延长线于点，延长交轴于点，连接，证明，得到，推出，作于，证明，，得到，结合，轴，列出，解方程即可． 【小问1详解】 解：对于一次函数， 令，则；令，则， ∴，， 把，代入二次函数， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数的解析式为： 不妨设点，设直线交轴于点，如图所示： 设直线的表达式为：，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交延长线于点，延长交轴于点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期九年级数学期末调研测试 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 相反数是（　　） A. B. C. D. 2 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（     ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 5. 篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点E在边上，射线交延长线于点F，若，则下列结论错误的是（     ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（     ） A. B. C. D. 9. 将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（ ）个棋子． A. 18 B. 20 C. 24 D. 36 10. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 多项式因式分解的结果是_____． 13. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为______． 14. 如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是____． 15. 规定运算“★”，则__________． 16. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为_______. 17. 一个不透明口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是___________． 18. 如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为__________． 19. 在中，，，，则__________． 20. 四边形中，，，，，E、F分别是和上的点，连接、、．有如下结论：①；②；③若，，则；④的周长最小值等于周长的．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 三、解答题：（第21题、22题各7分，第23题、24题各8分，第25题、26题、27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值：，其中a＝tan60°﹣2sin30°． 22. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B在格点上． （1）直接写出线段的长为__________； （2）只用无刻度的直尺，在网格中按照下列要求完成画图：将点A绕点B顺时针旋转得到点C，标出C点，连接，画出的中线．（保留画中线的画图痕迹） 23. 某工厂生产A、B、C、D四种产品．下面是该工厂这四种产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． 各产品年产量条形统计图 各产品年产量扇形统计图 根据上面信息，回答下列问题： （1）求该工厂四种产品年产量一共多少万件？ （2）通过计算补全条形图； （3）若A、B、C、D四种产品的成本分别是每件4元、3元、7元、6元，求这四种产品制作的平均成本是多少元？ 24. 筝形在几何学中定义为有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形．如图1，在四边形中，若，，则四边形即为筝形．（注：画出四边形的任何一边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸多边形．） （1）如图2，在菱形中，点E、F分别是边、上两个点，，连接和．求证：四边形是筝形． （2）如图3，的方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均在格点上，，以点O为原点，点O、P所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若点M、N在格点上，且四边形为筝形，例如，如图3中所给出的点M即为所求，请直接写出网格中其它所有符合条件的点M的坐标． 25. 同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． （1）求种材料和种材料的单价； （2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 26. 已知：是的直径，弦交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点E作直线，分别交于点M、点N．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过N作于点F，连接并延长交于点G，连接，，．求线段的长． 27. 一次函数的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，二次函数的图象经过A、B两点． （1）求b的值； （2）P是二次函数图象第三象限内一点，连接、，设P点横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式（不用写出自变量取值范围） （3）在（2）的条件下，过P点作直线分别交直线于点D，交y轴于点E，过P作轴于K，延长交直线于F，H是延长线上一点，连接，，P为中点，取中点G，连接，，交线段于点M，，求H点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $