精品解析：云南省丽江市华坪县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

云南省丽江市华坪县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试 高二数学试卷 满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合中元素范围，然后再求即可. 【详解】由已知或， ， . 故选：B. 2. 已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的奇偶性和对称性逐一分析判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为，所以为奇函数， 因为，所以是的图象的一条对称轴，故A符合题意； 对于B，函数的定义域为， 因为，所以函数不是奇函数，故B不符题意； 对于C，函数的定义域为， 因为， 所以函数不是奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的图象不是轴对称图形，故D不符题意. 故选：A. 3. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 4. 一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出该正四面体的体积和高，继而可求出正三棱柱的底面积，即可得出正三棱柱的底面边长，继而可求正三棱柱的侧面积. 【详解】如图为中点，为点在底面的投影， 由题意得，， ， 所以该正四面体的体积为. 所以正三棱柱的体积为，高为， 所以正三棱柱的底面积为， 设正三棱柱的底面边长为，则， 可得， 所以正三棱柱的底面边长为， 所以该正三棱柱的侧面积为. 故选：A. 5. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设向量在基底下坐标为，用该基底表示出向量，再由在基底下坐标为，表示出向量，建立等式求出即可. 【详解】设向量在基底下坐标为， 则. 已知在基底下坐标为， 即. 所以， 即， 则：， 所以向量在基底下的坐标是， 故选：B. 6. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的位置关系与充分、必要条件的概念求解. 【详解】当时，，即，解得， 当时，，，此时； 当时，即， ，即，此时； 故“”是“”的充要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 7. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 8. 在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可确定圆心坐标、半径，然后求出直线方程为，再然后求出圆心到直线的距离，最后根据即可得出结果. 【详解】，即，圆心坐标，半径， 因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 故， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的弦长的求法，可借助半径与圆心到直线的距离求出圆的弦长，考查根据圆的方程确定圆心与半径，考查直线方程的求法，是中档题. 二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知函数，则（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 直线是函数图像的一条对称轴 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 对任意，恒有 【答案】BD 【解析】 【分析】首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得，根据正弦函数的单调递增区间可判断A；根据正弦函数的对称轴可判断B；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C；代入利用诱导公式可判断D. 【详解】， 当时，，函数在上不是增函数，故A错误； 令，得， 显然直线是函数图像的一条对称轴，故B正确； 函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 10. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据条件求出；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解，利用跟的判别式求得的取值范围；选项C：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边的范围；选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求得内切圆半径，从而求的面积. 【详解】对于A，由可得，即， 因为，所以，且，所以，故A正确； 对于B，根据余弦定理可得，，即， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解， 因为， 所以或 解得或，因为，所以或，故B错误； 对于C，由正弦定理可得， ，即, 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以. 因为，所以. 由正弦定理可得，，即，即， 所以，即， 因为，所以，又因为，所以为锐角，则. 所以，所以为直角三角形， 所以内切圆的半径满足，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】CD 【解析】 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三.填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知函数有最小值，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定的取值范围. 【详解】分析时函数的最小值： 对于函数，将其进行配方可得. 因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值. 分析时函数存在最小值的条件： 当时，. 因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于. 又因为对数函数在上单调递增，所以. 要使存在最小值，则，即，解得. 故答案为：. 13. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由结合已知条件求解即可 【详解】因为平面向量满足，且与的夹角为， 所以 ， 故答案为： 14. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：关于直线：的对称点为，所以反射光线所在直线的方程是直线的方程: 考点：反射直线 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 将函数的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象. （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）若，求的最大值及取得最大值时的值. 【答案】（1），最小正周期为；（2），此时. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，应用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，进而求出函数的解析式及最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性求解的最大值及取得最大值时的值. 【详解】解：（1） ， 故将函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数的图象对应的解析式为， 函数的最小正周期. （2）由得， ， 此时，解得. 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式及三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题. 16. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的a值； （2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 【答案】（1） （2）74 （3）2，4，8. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图，结合加权平均数运算求解即可； （3）可知评分低于70分的三组频率之比为，根据分层抽样运算求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 【小问2详解】 由题意可知：， 所以业主评分平均数的估计值为74. 【小问3详解】 评分低于70分的三组频率之比为， 故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为， 即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8. 17. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数，设出的解析式，利用给定的解集求出参数得解析式. （2）由（1）的结论，等价变形不等式，分离参数，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值即可求解. 【小问1详解】 由，得，则， 由二次函数满足，设， 不等式，即， 依题意，是方程的二实根，且， 于是，解得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 不等式， 依题意，不等式对任意的恒成立， 而，，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 18. 已知半径为2的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程. （2）已知，为圆上任意一点，问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求出定点坐标及定值；若不存在，请说明理由. （3）在（2）的条件下，若点，试求的最小值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设圆C的圆心坐标为，根据直线与圆相切，可求得圆心，进而得到方程； （2）假设存在定点B，设，表示出，进而求解； （3）结合（2）可得，进而转化为P、B、三点共线问题. 【小问1详解】 由题意设圆C的圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为；. 【小问2详解】 假设存在定点B，设，如图， 设，则， 则， 当，即或（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点B使得为定值， B的坐标为； 【小问3详解】 由（2）知，故，从而， 当且仅当P、B、三点共线时，最小， 且， 所以的最小值为. 19. 如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2． （1）求证：AC⊥平面BEF； （2）求二面角B−CD−C1的余弦值； （3）证明：直线FG与平面BCD相交． 【答案】 （1）在三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形． 又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF． ∵AB=BC，E为AC的中点，．∴AC⊥BE，而， ∴AC⊥平面BEF． （2）； （3）［方法一］：【最优解】【通性通法】向量法 平面BCD的一个法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2）， ∴，∴，∴与不垂直， ∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交． ［方法二］：几何转化 如图4，取的中点，分别在取点N，M，使．联结．则平面平面，又平面，平面，故直线与平面相交． ［方法三］：根据相交的平面定义 如图5，设与交于P，联结． 因为，且，所以四点共面． 因为，所以． 又，所以四边形是梯形，即直线与直线一定相交． 因为平面，所以直线与平面相交． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果； （3）根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论. 【详解】（1）略 （2）［方法一］：【通性通法】向量法 由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC． ∵BE平面ABC，∴EF⊥BE． 如图建立空间直角坐称系E-xyz． 由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）． ∴ ， 设平面BCD的法向量为， ∴，∴， 令a=2，则b=-1，c=-4， ∴平面BCD的一个法向量， 又∵平面CDC1的一个法向量为，∴． 由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为． ［方法二］： 【最优解】转化＋面积射影法 考虑到二面角与二面角互补，设二面角为，易知，，所以． 故． ［方法三］：转化＋三垂线法 二面角与二面角互补，并设二面角为，易知平面． 如图3，作，垂足为H，联结．则是二面角的平面角，所以，不难求出，所以二面角的余弦值为． （3）略 【整体点评】（2）方法一：直接利用向量法求出，属于通性通法； 方法二：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用面积射影法求出，是该问的最优解； 方法三：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用三垂线法求出； （3）方法一：利用向量证明平面的法向量与直线的方向向量不垂直即可，既是该问的通性通法，也是最优解； 方法二：通过证明与平面平行的平面与直线相交证出； 方法三：构建过直线且与平面相交的平面，通过证明直线与交线相交证出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省丽江市华坪县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试 高二数学试卷 满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 3. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 4. 一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知函数，则（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 直线是函数图像的一条对称轴 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 对任意，恒有 10. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三.填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知函数有最小值，则实数的取值范围为________． 13. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则_________． 14. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 将函数的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象. （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）若，求的最大值及取得最大值时的值. 16. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的a值； （2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 17. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 18. 已知半径为2的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程. （2）已知，为圆上任意一点，问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求出定点坐标及定值；若不存在，请说明理由. （3）在（2）的条件下，若点，试求的最小值. 19. 如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2． （1）求证：AC⊥平面BEF； （2）求二面角B−CD−C1的余弦值； （3）证明：直线FG与平面BCD相交． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $