《第16章整式的乘法》期末复习提升训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《第16章整式的乘法》 期末复习知识点分类解答题专题提升训练（附答案） 一、幂的运算 1．求下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)若，求的值； 2．若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 3．若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 4．阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 二、整式的乘法 5．计算： (1) (2) (3) 6．化简 (1) (2) 7．先化简，再求值：，其中． 8．计算： 9．如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．工作人员计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． (1)根据图中标注的数据，请用含m、n的代数式表示观景台的面积（结果化为最简）； (2)已知修建观景台每平方米的费用为100元．若，，求修建观景台的费用为多少元？ 10．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法． (1)填空： _____________； _____________； _____________． (2)猜想：_____________． (3)请你利用上面的结论计算：． 11．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 三、乘法公式 12．利用乘法公式计算： (1) (2) 13．计算： (1)； (2)； (3) 14．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 15．（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 16．乘法公式的探究及应用． 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②． （1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________； 结论运用： （4）运用所得的公式计算：__________，__________； 拓展运用： （5）计算：． 17．阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 18．如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 19．【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ， ． 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点，是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和S． 20．以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 如由图可以得到，由图可以得到． 现有四个长与宽分别为、的小长方形，按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题， (1)观察图，用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式：_________； (2)利用图，图，图的等式解决下列问题． ①已知，，则________； ②已知，，则________； ③已知，则________； (3)如图4，在正方形中，，，其中四边形、、均为正方形，四边形、是两个完全一样的长方形．若图中阴影部分的面积之和为30，求长方形的面积． 参考答案 1．（1）解：原式， ， ； （2）解：原式, , ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ， ， ； （5）解：， ， ， ， ， ， ， 解得． 2．（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 3．（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 4．（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 5．（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．（1）解： ； （2）解： ． 7．解：原式， ， ． 当时， 原式， ． 8．解：设，， 则， 原式 ． 9．（1）解：观景台的面积． 答：观景台的面积为平方米． （2）解：当，时， 修建观景台的费用为：（元）． 答：修建观景台的费用为32600元． 10．（1）解：； ； ； （2）； （3）． 11．解：（1）， ∵关于x的代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， （2）∵ ， ， ∴， ∵的值与x无关， ∴， 解得：； （3）设，由图可知，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴取值与x无关， ∴， ∴． 12．（1）解： ； （2）解： ． 13．（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 14．（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 15．解：（1）由图可知：； 故答案为； （2）①， ， ， ； ② ． 16．解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为， 故答案为：； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为， 故答案为：； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：， 故答案为：； （4） ， ， 故答案为：，； （5） ． 17．解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，所以， 所以这个图形可以验证公式：， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：； （3） ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得， ，， ， ， ， ， ． 18．（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片8张，2号卡片3张，3号卡片10张， 即，，， ∴． （3）解：∵拼成的图形是正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张纸片的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：，，， ∵由图形可得：， ∴最大正方形的边长为， 画图如下： （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ∴， ，即2号卡片的边长为． 19．（1）解：设，， 则， ． 即， 故答案为：15． （2）设，， 则， ， ， ； ； ； （3）由题意得：，， 设，， 则， 长方形的面积为300， ， ， 图中阴影部分的面积和 ． 答：图中阴影部分的面积和为． 20．（1）解：∵阴影部分面积可表示为，阴影部分面积大正方形面积个小长方形面积，即， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，，， ∴， （3）故答案为：； ②∵，，， ∴， 故答案为：． ③设，，则，， ∵， ∴， 故答案为：； 解：设正方形的边长为，则，， ∴， 令，， ∴，， ∵， ∴， ∴长方形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $