2026年四川省成都市中考一诊复习 几何综合运用练习

几何综合运用 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F, 以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG,如图所示. M G 图1 图2 图3 (1)若∠ABC=90°，如图1所示，证明平行四边形ECFG是正方形： (2)若∠ABC=120°，连接BG、CG、DG,如图2所示，求证：△DGC≌aBGE; (3)若∠ABC=90°，AB=6,AD=8,M是EF的中点，如图3所示，求DM的长. 1 2.在△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，连接AE,CD交于点O,且 ∠ADC=∠AEC, A D D O B B E E (I)求证：BD·AB=BE·BC: (2)当D为边AB的中点时，且CE=4, ①若2AO=3OE,求AB; ②若△AEC为等腰直角三角形，且∠EAC=90°，求四边形BDOE的面积. 3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4,点E、F分别在边AC、边BC上 (点E不与点A重合，点F不与点B重合)，连接EF,将△CEF沿着直线EF翻折后， 点C恰好落在边AB上的点D处，过点D作DM⊥AB,交射线AC于点M.设 CF AD =x'CE =y. C(M) C 0 B 图1 图2 (备用图) MD ()如图1，当点M与点C重合时，求ED的值： (2)如图2，当点M在线段AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域： CM1 (③)当CE=2时，求AD的长. 3 4.如图，在菱形ABCD中，H为边AB延长线上一点，连接DH分别交AC和BC于M和 G两点. D M G B H (I)求证：∠CDM=∠CBM: (2)求证：DM2=MG·MH: (3)已知MG=1,GH=2.求当该菱形ABCD改变为正方形，其余条件不变时正方形的边 长 5.如图1，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB=6,BC=8,过点O做 OE⊥BC,将 OCE E 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α，O对应，E对应. BE AF 连接 D E 图1 备用图1 图2 备用图2 AF= (1)问题发现：当a=90°时，BE,= AF= BE AF (2)拓展探究：当0°≤a<360°时，BE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明： ③)问题解决：当△0CE旋转至B,B,F三点共线时，请计算线段4的长. 5 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm,AC=4cm,将△ABC绕点A逆时针旋 转得到△ADE 90° P=AO . 点P,Q分别是1B,AD上的动点，且 PO CP ，连接， EQ,CD. A E A E O P D B B C 图1 图2 EQ⊥AD (1)当 时（如图1），求BP的长： PQ∥CD (2)当 时（如图2），求BP的长： PCDO .4cm2 BP (3)是否存在点P,Q,使四边形的面积为 ？若存在，请求出的长：若不存 在，请说明理由. 7.已知△1BC 分别以1B、1C为直角边作RiABP和Rt-iCO,且∠BP=∠CA0 和 ,且 ☑ B 图1 R图2 图3 AB 4 (①)如图1，若BP3,AC=8,求线段A0的长度： AP AB 5 PB (2)如图2，点Q关于AC的对称点是点R'若R在射线pB上，且ABBC4,求BR: AB3 (3)如图3，连接PC、BQ,若APBC的面积比△QBC的面积大10，且AC-2,求。ABP的 面积. 7 8.如图1，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=3,BC=5.点P是线段AC上的一动点，将 △ABP沿着BP折叠，点A落在A处. A 图3 备用图 图1 图2 (I)求点A到直线BC的距离； 2如图2，点Q是线段1C上的一动点，将 沿者吧折叠，使得边BC折叠后与BA △CBO BO 重合.若PAIBO,求证：4P·QC=PO (3)如图3，连接A'C,过A作AC的平行线，与直线BC交于点M.当∠BAC=90°时，求 AM的长。 9.如图，△ABC△ADE具有共同顶点A,且△ABC∽△ADE. D 图1 图2 图3 (I)如图1，连接BD、CE,求证：△ABD∽△ACE: ∠BAC=90°，AC=3,BC= 5.连接C0,CE,若CD-2,求CE的最大值： CE (2)如图2，已知 ∠AED=90°，∠ADE=30 (3)如图3，已知 ,点C在DE上.若1E=2,连接BD,求BD的 最小值 9 I0.如图I,已知∠BAC=∠DAE=x,点D在BC上，且AB=AC,AD=AE,AC与DE 相交于点F,连接CE. B D B D 图1 图2 (I)求∠DCE的度数（用含的代数式表示）； (2)求证：AE·DC=AC·DF; BD CF 1 (3)如图2，若DCAF2,判断△4DF的形状，并说明理由.几何综合运用 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F, 以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG,如图所示. 图1 图2 图3 (1)若∠ABC=90°，如图1所示，证明平行四边形ECFG是正方形： (2)若∠ABC=120°，连接BG、CG、DG,如图2所示，求证：△DGC≌aBGE: (3)若∠ABC=90°，AB=6,AD=8,M是EF的中点，如图3所示，求DM的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 g5v5 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和 SAS综合(SAS)、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AD∥BC,AB∥CD,再根据平行线的性质证 明∠CEF=∠CFE,根据等角对等边可得CE=CF,在由条件四边形ECFG是平行四边形， 可得四边形ECFG是正方形，即可解决。 (2)先判断出∠BEG=∠DCG=120°，再判断出AB=BE,进而得出BE=CD,即可判断 出△DGC≌*BGE(SAS) (3)首先由(I)可知四边形ECFG是正方形，再证明△BME≌△DMC可得MB=MD, ∠DMC=∠BME,再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=9O°，可得△BMD 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论 【详解】(I)解：AF平分∠BAD, .∠BAF=∠DAF, :四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， .AD∥BC,AB∥CD,∠BCD=∠ABC=90°， ∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE, ∴.∠CEF=∠CFE, .CE=CF, 又，四边形ECFG是平行四边形， ∴.四边形ECFG是菱形， ,CF是DC的延长线， ∴.∠ECF=∠BCD=90°， .平行四边形ECFG是正方形. (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AB∥CD,AB=CD, .∠ABC=120°， .∠BCD=60°，∠BCF=120°， 由(1)知，四边形ECFG是菱形， ·CE=EG ∠BCG=∠BCF=60, ∴△CEG是等边三角形， ∴.CG=GE=CE,∠DCG=120°， :EG∥DF, ∴.∠BEG=∠BCF=120°=∠DCG, :AE是∠BAD的平分线 .∠DAE=∠BAE, :AD∥BC, .∠DAE=∠AEB, ∴.∠BAE=∠AEB, .AB=BE, ∴.BE=CD :△DGC≌△BGE(SAS (3)解：如图，连接BM,MC, 2 G 图3 :∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， 又由(1)可知四边形ECFG是正方形，则∠ECF=90°， :∠BAE=∠DAE=∠AEB, ∴.BE=AB=DC, :M为EF中点， ∴.∠CEM=∠ECM=45°，EM=CM, ∴.∠BEM=∠DCM=135°， 在△BME和△DMC中， BE=CD ∠BEM=∠DCM EM CM :ABME≌DMC(SAS) ∴.MB=MD,∠DMC=∠BME, ∴.∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ∴.△BMD是等腰直角三角形， AB=6,AD=8, :BD=√AB2+AD2=10 :0M=2n=55 2 【点晴】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判 定与性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，应用时要认真领会它们之间的联系 与区别，灵活选择方法、 2.在△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，连接AE,CD交于点O,且 3 ∠ADC=∠AEC, D D E E (I)求证：BDAB=BEBC: (2)当D为边AB的中点时，且CE=4, ①若2AO=3OE,求AB; ②若△AEC为等腰直角三角形，且∠EAC=9O°，求四边形BDOE的面积. 【答案】(I)见解析 153 2)①26；②3 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形的外角的定义及性质 【分析】(I)根据三角形的外角定理可得∠BCD=∠BAE,∠B,证得△ABE∽△CBD, 根据相似三角形的性质即可得出结论： 1 (2)①过点D做DF∥AE,设oE=4秋'则A0=6k,根据中位线的性质得DF= 得出相似比，求得各边，再根据(1)的结论，列方程求解即可； ②过点A做AG⊥BC,垂足为点G,由等腰直角三角形的性质得 ∠ACE=∠AEC=∠ADC=45°且∠DAC=∠CAB,推出△BAC∽△CAD,根据相似三角形 对应边成比例和中点的性质，求得各边，再根据达0e=S。c一S。0c代入求解即可。 【详解】(I)证明：'∠ADC=∠B+∠BCD,∠AEC-∠B+∠BAE, 又∠ADC=∠AEC, ∴∠BCD=∠BAE且∠B=∠B, :.∴△ABE∽ACBD(AA) BD BE .BC AB' 即：BD·AB=BE·BC: 4 (2)解：①过点D做DF∥AE, D B E 设OE=4k,则AO=6k, 又：D为AB中点且DF∥AE, DF-T4E-5k OECE 4 .DF CF 5 .CF=5, ∴，EF=BF=1,BC=6, 又BD·AB=BE·BC, .7AB.B=2.6 解得：AB=2V6: ②过点A做AG⊥BC,垂足为点G, 0 为等腰直角三角形， B G ·△AEC ∴∠ACE=∠AEC=∠ADC=45°且∠DAC=∠CAB, .△BAC∽△CAD. AC AD :BA AC, 又：AB=2AD, .AB=√2AC=4 在Rt△ABG中， AB=2AG=4. 5 .∠ABG=30°， :BG=2V3 8o8x}c4G-5+1, ∠ABG=∠ACO=30°， 40.AC=4 3, Samoc =Sc-S co=443 3, S边形BDOE=SABc-SAFOC=(N3+)- 443) 3 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，中线、中点的性 质，正确作出辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键. 3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4,点E、F分别在边AC、边BC上 (点E不与点A重合，点F不与点B重合)，连接EF,将△CEF沿着直线EF翻折后，点 C恰好落在边AB上的点D处，过点D作DM L AB,交射线AC于点M.设AD=x, CF CE=y. C(0 C E B 图1 图2 (备用图) MD ()如图1，当点M与点C重合时，求ED的值： (2)如图2，当点M在线段AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域： CM 1 (③)当CE-2时，求AD的长. 【答案】)5 6 43-5x4-25<x≤到 3x 11-√21 (3)3-V5或5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、含30度角的直角 三角形、折叠问题 ∠A=60°，BC=2W3,AC=2 【分析】(1)根据直角三角形的性质求出 由垂直的定义求出 MD 由题盒可得：CE=ED=C1=1,即可求解. 2 CF DF (2)根据题意得出CEDE=y,根据直角三角形的性质证明。FDB∽EDM'根据相似 三角形的性质即可求解。 (3)分两种情况讨论：①当点M在线段AC上时，②当点M在AC的延长线上时，利用勾 股定理和相似三角形的性质即可求解。 【详解】(1)解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4, ∴2A=60,4C=4B=2. BC=AB2-AC2=2 DM L AB, ∴.∠ADM=90°， .∠A=60°， .∠ACD=30°， 1 .AD=5AC=1, 2 .DM=3 DM,EF CK=DK,EF⊥DM 如图，设 交于点K,则 7 C(M) E D .EF∥AB, CE MK :AEDK =1, 点E为AC的中点， CE=ED-CA=1, MD :.ED =5: CE=DE,CF=DF,∠EDF=∠C=90° (2)解：根据题意得： CF DF ∴.CEDE =y, ∠MDF+∠FDB=90°，∠EDM+∠MDF=90° ∴.∠FDB=∠EDM, 在Rt△ADM中，∠ADM=90°，∠A=60°，AD=x, :∠AMD=30,DM=V5x .∠B=∠AMD, ∴.△FDB△EDM, DF DB DE-DM AD=x,AB=4 .DB=4-x, 4W5-5x4-2W5<x≤ 3x (3)解：①当点M在线段AC上时， 8 CM 1 CE -2, EMEM 1 CEDE2 由(2)得：△FDB∽aEDM FB FD FB EM 1 ·EMED,即FDED2' FB 1 FC2’ ..BC=2V3 CF=DF= v ,BF=25 3 3, 过点F作FH⊥AB于点H, M, D B BH=1.FH= 3, 在Rt△DFH中，DH2=DF2-FH2, :D=3-V5 ②当点M在AC的延长线上时， CE DE 2 ME-ME-3' 根据题意得：∠M=∠B,∠EDM=∠FDB, ∴.△FDBP△EDM FB FD FB EM 3 EM=ED,即FDED2' 9 FB 3 FC2’ .BC=2V3 .CF-DF= BF=6V3 5, 过点F作FG⊥AB于点G, M □ B D G ..BG=9 -3V5 √21 G=- DG= 5 5, :D=- 5: 11-√21 综上所述，AD的长为3-5或5一. 【点晴】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的 关键是作出辅助线，注意进行分类讨论 4.如图，在菱形ABCD中，H为边AB延长线上一点，连接DH分别交AC和BC于M和 G两点. D M G A B H (I)求证：∠CDM=∠CBM: (2)求证：DM=MG·MH: (3)已知MG=1,GH=2.求当该菱形ABCD改变为正方形，其余条件不变时正方形的边 长 10