专题03 相似三角形中的母子型模型 培优训练 讲义2025-2026学年苏科版2012数学九年级下册

该初中数学讲义以相似三角形母子型模型为核心，通过知识框架图系统梳理模型定义、性质及判定方法，将“母子型相似的构造条件、比例线段转化、面积关系应用”等重难点按逻辑层次呈现，清晰揭示知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与模型思想渗透，基础题强化比例线段计算（如求CD长度），中档题培养推理意识（如证明三角形相似），压轴题提升创新意识（如完美分割线探究）。通过典型例题解析构建“模型识别-条件转化-结论应用”思维路径，助力学生自主复习时精准突破，也为教师提供分层教学的有效载体。

专题03 相似三角形中的母子型模型 培优训练 一、选择题 1.如图，在中，D是上的点，，，，则与的面积比为（    ）    A． B． C． D． 2.如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 3.如图，在△ABC中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下个结论：①，②，③，④,其中正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4.在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则 ．      5.如图，在中，，，，，，则CD的长为______． 6.如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________． 三、解答题 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 8.如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 9.【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 10.如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 11.如图：中，，以为直径作交于点，交于点，点在的延长线上，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 12.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 13.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数． 14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 15.定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形． (1)[初步理解]如图，四边形中，对角线平分，，求证：和为邻似三角形； (2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图，若，，，求四边形的周长； (3)[拓展应用]如图，四边形中，和为邻似三角形，对角线平分，且．若，，，求的面积． 16.（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长； ②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形中的母子型模型 培优训练 一、选择题 1.如图，在中，D是上的点，，，，则与的面积比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：，，， ，设，则， ，与的面积比为，故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 2.如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求证，，，相应得出相关线段的数量关系；由勾股定理，可得中，，中，，于是，从而可得出结论． 【详解】解：∵，，∴∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∵，，∴ 又∴∴∴，故B正确，不符合题意； 中，，中，， ∴，故D正确，不符合题意． ∵，∴∴ ∵，故C错误，符合题意；故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的关键． 3.如图，在△ABC中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下个结论：①，②，③，④,其中正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数可判定①正确；进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，即可判定②正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定③错误；过点作于，于，根据角平分线的性质得出，利用三角形面积公式可判定④正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：，为的角平分线， ∴，故①正确， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵， ∴，故③错误， 如图，过点作于，于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴（负值舍去），即，故④正确， 综上所述：正确的结论为①②④，共个， 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 二、填空题 4.在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则 ．      【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，，根据等腰三角形的性质可得，根据相似三角形的判定和性质可求得，即可求得，即可求解． 【详解】解：∵将折叠，使点与点重合，折痕为， 即，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵，， 即， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5.如图，在中，，，，，，则CD的长为______． 【答案】5 【详解】解：在CD上取点F，使， ，， 由， ， ，， 且， ， ， ∽， ， ， ， 又， ， ∽， ， 又， ， 或舍去， 经检验：符合题意， ． 故答案为：5． 6.如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________． 【答案】． 【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，． 【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作， ∵，， ∴，，为等腰． 由题意可得E为CD的中点，且， ∴， 在等腰中，， ， 又∵， 在， ∴（AAS） ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键． 三、解答题 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长． 【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC，∴，即， ∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长． 8.如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2． 【详解】（1），， 在和中，，，，； （2） ， （3） 是等腰直角三角形， （4） ， 由（1）可知，， ， 点E是AC的中点， ， ， 在和中，， ， ， 又， ， ； （3）设， 是等腰直角三角形， ， 点分别是的中点， ， 在中，， ， 由（1）知，， ，即，解得， 在中，， ， 在和中，，， ，即，解得， 又，，解得， ， 则的面积为． 9.【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 10.如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题关键． （1）等边对等角结合平角的定义，得到，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 11.如图：中，，以为直径作交于点，交于点，点在的延长线上，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接AD，根据直角所对圆周角是直角可得∠BAD与ABD的和是90°，再根据等腰三角形的性质可得∠BAD是∠BAC的一半，结合已知条件即可得到结论； （2）连接BE，设AC=m，在Rt△ABF中由勾股定理即可得到AB和AC的长，再证，得到AE的长，即可得到CE的长； 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∵， ∴，解得， ∴，， 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定，相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似，由勾股定理得出方程是解题的关键． 12.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 13.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由等角对等边可得为等腰三角形，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据“完美分割线的定义”可得，得，即，求得，再根据相似三角形的性质可得，即可求解； （3）根据是的完美分割线，且为等腰三角形进行分类讨论：或，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴不是等腰三角形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴CD是的完美分割线； （2）解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴． ∵是的完美分割线， ∴． ∴， ∴， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵是的完美分割线，且为等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质与判定、解一元二次方程及新定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和似三角形的性质与判定，理解“完美分割线”是解题的关键． 14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴， ∴，∴∽，∴，∴； （2）解：∵，∴设，则（）， ∵，，同（1）得：，∴， 在中，，过作于，如图2所示： 则，在中，， ∵，，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∵，∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵，∴设，则（），∴， ∵，，∴，∴ 又∵，∴∽，∴，， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴；故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 15.定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形． (1)[初步理解]如图，四边形中，对角线平分，，求证：和为邻似三角形； (2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图，若，，，求四边形的周长； (3)[拓展应用]如图，四边形中，和为邻似三角形，对角线平分，且．若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)23 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，理解邻似三角形的概念和性质是解题的关键． （1）根据，结合条件，可得，再由可得，即可求证； （2）由条件可推出，，再根据相似三角形的性质求出的长度即可求解； （3）过点作，过点作，先求的面积，根据相似三角形的性质求的长，再求和面积，最后根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴和为邻似三角形． （2）解：∵， ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∵和为邻似三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴ 四边形的周长为： （3）过点作，过点作，垂足分别为，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∵和为邻似三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 16.（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长； ②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2） 【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可； ②由，可得，由①同理可得，计算； （2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）①∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ②∵， ∴． 由①可得， ∴． ∴． ∴是定值，定值为1． （2）∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 设，则． ∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图，过点D作于H． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $