专题01二次根式寒假预习闯关必备讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题01二次根式寒假预习闯关必备讲义 1.理解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件，能准确判断一个式子是否为二次根式。 2.牢记二次根式的基本性质，能熟练运用性质进行简单的化简与计算。 3.了解最简二次根式的概念，能区分最简二次根式与非最简二次根式，初步掌握化简为最简二次根式的方法。 4.通过预习，培养自主探究能力，为课堂深度学习奠定基础。 预习必备 知识点梳理 1.二次根式的定义 2.二次根式的性质 3.最简二次根式 4.同类二次根式 5.二次根式的运算 6.易错点 常考题型 精讲精炼 1.二次根式的求值 2.二次根式中参数的求解 3.二次根式有意义的条件分析 4.利用二次根式性质化简 5.二次根式的乘法运算 6.二次根式的除法运算 7.二次根式的乘除混合运算 8.最简二次根式的判定 9.化为最简二次根式的方法 10.同类二次根式的识别 11.二次根式的加减运算 12.二次根式的混合运算 13.二次根式的分母有有理化 14.二次根式的化简求值. 15.二次根式的大小比较 16.二次根式的实际应用 分层强化 题型通关 单选题(10题) 填空题(8题) 解答题(10题) 【知识点01.二次根式的概念】 1.定义 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式。 关键词： 1 根指数为2（通常省略不写）； 2 被开方数a必须是非负数。 举例：、（x≥−1）是二次根式；、不是二次根式。 2.有意义的条件 二次根式有意义的前提被开方数a≥0。 若式子含分母，还需满足分母不为 0。 举例：有意义的条件是x−2>0，即x>2。 【知识点02.二次根式的性质】 1.性质 1 ()2=a（a≥0） 文字表述：非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 举例：()2=3，()2=2x（x≥0）。 2.性质 2 =∣a∣=​ 文字表述：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 举例：=∣−5∣=5，=∣m−1∣。 3.补充性质 =⋅（a≥0，b≥0） =（a≥0，b>0） 作用：用于二次根式的化简和乘法、除法运算。 【知识点03.最简二次根式】 1.定义 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 举例：、（x≥0）是最简二次根式；、不是。 2.化简方法 被开方数含分母：利用分数基本性质，将分母凑成平方数，再开方。 例：==​ 被开方数含开得尽方的因数：分解因数，把平方数开出来。 例：==2 【知识点04.同类二次根式】 1.定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 举例：、3、−是同类二次根式；和不是。 2.注意 判断是否为同类二次根式，必须先化为最简二次根式，再看被开方数是否相同 【知识点05.二次根式的运算】 1. 乘法运算 法则：⋅=（a≥0，b≥0） 步骤：先按法则计算，再化为最简二次根式。 举例：×==3。 2. 除法运算 法则：=（a≥0，b>0） 步骤：先按法则计算，再化为最简二次根式。 举例：===2。 3. 加减运算 法则：二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式合并。 步骤： (1)化简：把每个二次根式化成最简二次根式； (2)找同类：找出其中的同类二次根式； (3)合并：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变）。 4. 混合运算 运算顺序与有理数混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的。 举例：(+2)(−2)=()2−22=3−4=−1（利用平方差公式） 【知识点06.易错点】 一.概念类 1. 漏看二次根式有意义条件：二次根式需被开方数是非负数，含分母时额外保证分母不为0。 2. 同类二次根式判断不化简：需先化为最简，再看被开方数是否相同。 二、性质类 1. 混淆非负数算术平方根的平方与一个数平方的算术平方根：前者需被开方数是非负数，结果等于被开方数本身；后者结果恒等于这个数的绝对值。 2. 最简二次根式判定不达标：需同时满足“无分母、无开尽方因数/因式”，化简要彻底。 三、运算类 1. 加减运算合并非同类项：先化简，仅同类二次根式可合并系数。 2. 乘除忽略适用条件：乘法需两个被开方数均为非负数，除法需被开方数为非负数、分母被开方数为正数。 3. 混合运算混乱：遵循“先乘方、再乘除、最后加减”，套用公式注意符号。 【题型1.二次根式的求值】 【典例】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 【跟踪专练1】当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【跟踪专练2】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 【题型2.二次根式中参数的求解】 【典例】当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 【跟踪专练1】已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 【跟踪专练2】若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 【题型3.二次根式有意义的条件分析】 【典例】若在实数范围内有意义，则可以为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需使被开方数非负，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ 选项中只有满足条件． 故选：A． 【跟踪专练1】已知，则的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及算术平方根的计算，解题的关键是根据二次根式的被开方数非负求出的值． 先根据二次根式有意义的条件（被开方数）列出关于的不等式组，求出的值，再代入求出的值，进而计算的算术平方根． 【详解】解：要使二次根式和有意义，需满足： 解得：， 将代入，得：， ， 4的算术平方根是， 的算术平方根为2． 故答案为：2． 【跟踪专练2】若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，根据代数式有意义，则，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故选：． 【题型4.利用二次根式性质化简】 【典例】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质化简是解题的关键．根据（，），化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，掌握二次根式的性质和绝对值的化简规则是解题关键． 先由数轴判断出，再结合及绝对值的化简规则进行求解． 【详解】解：， 由数轴可知，，则， ∴． 故选：． 【跟踪专练2】已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简代数式：的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键．先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图可知，且， ， ， 故答案为：． 【题型5.二次根式的乘法运算】 【典例】计算的结果是（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键；根据二次根式的乘法计算即可得解． 【详解】解：， 故选：． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练2】对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【题型6.二次根式的除法运算】 【典例】 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的除法计算，直接根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】.下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质， 根据二次根式的乘除运算，二次根式的性质求解即可． 【详解】A．，正确； B．，正确； C．，故选项错误； D．，正确． 故选：C． 【跟踪专练2】如果成立，那么的取值范围是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【题型7.二次根式的乘除混合运算】 【典例】估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算以及无理数的估算，先化简，再对二次根式进行估算即可． 【详解】解：； 且， ， ； 故选：A． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练2.】已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的混合运算；根据，可以得到，即可得到 ，再根据利用平方差公式求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 【题型8.最简二次根式的判定】 【典例】请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为． 【题型9.化为最简二次根式的方法】 【典例】化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案． 【详解】解：，，，，， 是最简二次根式的是，只有1个． 故选：A． 【题型10.同类二次根式的识别】 【典例】已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 【跟踪专练1】下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 【跟踪专练2】如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式，得到被开方数为，再令，完成求解． 【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：． 故答案为：． 【题型11.二次根式的加减运算】 【典例】能与相加得0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的加减，逐项计算判断即可． 【详解】解：A． ，不符合题意； B． ，不符合题意； C． ，符合题意； D． ，不符合题意； 故选C． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式= ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若m为实数，在的“□”中添上一种运算符号（在“+”“”“×”或“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的定义，根据二次根式的运算法则并结合无理数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，为有理数，故A可能为有理数，不符合题意； B、，，，，其结果均为无理数，故B不可能，符合题意； C、，为有理数，故C可能为有理数，不符合题意； D、，为有理数，故D可能为有理数，不符合题意； 故选：B． 【题型12.二次根式的混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的计算以及平方差公式，直接利用平方差公式对原式进行变形计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，积的乘方运算，涉及了平方差公式；通过观察 和 ，其乘积为 ；利用这一特点，将原式拆分为 计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练2】如果，，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，通过已知条件求出，利用完全平方公式将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，利用完全平方公式正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型13.二次根式的分母有理化】 【典例】下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定． 对于形如的表达式，其有理化因式通常为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，为有理数， ∴的有理化因式是， 故选：D． 【跟踪专练1】已知，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化， 先对x和y进行分母有理化，得到 ，然后分别计算和的值，最后求和即可． 【详解】解：； ， ， ， ， ． 故答案为：15． 【跟踪专练2】对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 【题型14.二次根式的化简求值】 【典例】已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．熟练掌握二次根式的化简求值，平方差公式是解题的关键．根据，然后代值，利用平方差公式计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代数恒等式将表达式转化为已知量进行计算． 【详解】解：已知，， ∴，， ∵， ∴， ∴代入，原式， 故选：B． 【跟踪专练2】．若，，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ． ∴ ， 故答案为：11． 【题型15.二次根式的大小比较】 【典例】数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴代数式从小到大顺序为④②③①， 故选：． 【跟踪专练1】比较大小： （填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小比较，通过比较两个数的平方值来判断大小． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在算式的□中填入一个运算符号，使其结果最大，则这个运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则． 先利用二次根式的加减乘除运算法则进行求解，然后再比较结果的大小即可． 【详解】解：A. ； B. ； C. ； D. ； ∵，，且，， ， ， ∴最大的数为， 故选：A． 【题型16.二次根式的实际应用】 【典例】南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积 7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，先将，，代入求出三角形的面积，再进行比较即可． 【详解】解：将，，代入得出 ， 因为， 所以的面积7.5， 故答案为：． 【跟踪专练1】把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 先设小长方形卡片的长为，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为， 根据题意得：， ， 则图②中两块阴影部分周长和是： ， 图②中两块阴影部分的周长和是 故选：A 【跟踪专练2】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ∵， ∴的值为， 故答案为：． 一.单选题 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 2．最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ．   ∴． 故选：A． 3．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．运用二次根式的计算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，原式错误，故本选项不符合题意； C、，原式正确，故本选项符合题意； D、，原式错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．估计  的值应在  （    ） A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算以及无理数的估算．解题的关键在于熟练运用二次根式的乘法法则进行计算．先根据乘法分配律计算的结果，再对结果中的无理数部分进行估算，从而确定其所在的取值范围． 【详解】∵ 且 ，， 介于和之间， ∴ ∴ ∴ ∵ ，， ∴ ∴ ∴ ∴ 值在和之间， 故选 C． 6．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子进行化简，再对无理数估值即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8．估计的值应在（        ）之间 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算．先根据二次根式的混合运算进行计算，然后通过平方数估计无理数的范围，从而确定整体值的区间． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， ∴． 因此，的值在10和11之间， 故选：D． 9．若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，． 由 得 ， 由 得 ，即 ， ∴ ． 代入原式：， ， ∴ ， 两边平方得 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 10．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 二.填空题 11．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 12．估计的值应在（   ） A．0到1 B．1到2 C．2到3 D．3到4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，无理数的估算，熟练掌握相关方法是解题的关键． 利用二次根式性质将原式变形，然后对和的进行估算，结合分子分母都是整数且分子小于分母，得到结果在到之间． 【详解】解：∵ ∵，， 即，， ∴ ∴ ∴ 的值在到之间， 故选：A． 13．若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 15．已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 16．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据已知条件可证明a、b都小于0，则可先化简二次根式得到，进一步通分得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴a、b同号， ∵， ∴a、b都小于0， ∴ ， ∵，， ∴原式， 故选：B． 17．若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，由已知条件得出x满足方程，然后利用该方程简化表达式并求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴原式 ． 故选：D． 18．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式四则混合运算，利用二次根式的性质化简，比较二次根式的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过简化每个表达式，得到a、b、c的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 设， ， 根号内： ∴， ∴，，， ∴， 故选：C． 三.解答题 19．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 20．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 21．判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 不是最简二次根式，化简为． 22．化简 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算、整式的混合运算． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式、积的乘方，再计算单项式的乘法，最后合并同类项即可； （3）先计算算术平方根、乘方、立方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （4）先化简二次根式并计算完全平方公式，再计算除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 23．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)13 【分析】本题考查的是实数的混合运算，涉及二次根式的化简与计算、乘方、零指数幂、负整数指数幂等，掌握相关运算法则与运算顺序是解本题的关键． （1）先将原式变形为，再计算除法，最后计算加法即可； （2）先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法，平方差公式，再化简二次根式，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 26．先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查的是分母有理化，能够利用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键． 先对原式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 27．阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 28．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1)3 (2)中最长边的长度为的面积为 【分析】（1）依据题意，由时，先求出p，再代入公式计算可以得解； （2）①依据题意，由，则，从而可以判断得解； ②依据题意，由，则，从而，可得，且x为整数，故当时，三边为，1，4，再分类讨论计算可以得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ， ， ， 三角形的面积为3； （2）解：①由题意，， ， 中最长边的长度为3； ②， ， ， ，且x为整数， 当时，此时三边为，1，4， ， 不合题意舍去， 当时，三边为2，2，3， ， ， ， 的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式寒假预习闯关必备讲义 1.理解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件，能准确判断一个式子是否为二次根式。 2.牢记二次根式的基本性质，能熟练运用性质进行简单的化简与计算。 3.了解最简二次根式的概念，能区分最简二次根式与非最简二次根式，初步掌握化简为最简二次根式的方法。 4.通过预习，培养自主探究能力，为课堂深度学习奠定基础。 预习必备 知识点梳理 1.二次根式的定义 2.二次根式的性质 3.最简二次根式 4.同类二次根式 5.二次根式的运算 6.易错点 常考题型 精讲精炼 1.二次根式的求值 2.二次根式中参数的求解 3.二次根式有意义的条件分析 4.利用二次根式性质化简 5.二次根式的乘法运算 6.二次根式的除法运算 7.二次根式的乘除混合运算 8.最简二次根式的判定 9.化为最简二次根式的方法 10.同类二次根式的识别 11.二次根式的加减运算 12.二次根式的混合运算 13.二次根式的分母有有理化 14.二次根式的化简求值. 15.二次根式的大小比较 16.二次根式的实际应用 分层强化 题型通关 单选题(10题) 填空题(8题) 解答题(10题) 【知识点01.二次根式的概念】 1.定义 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式。 关键词： 1 根指数为2（通常省略不写）； 2 被开方数a必须是非负数。 举例：、（x≥−1）是二次根式；、不是二次根式。 2.有意义的条件 二次根式有意义的前提被开方数a≥0。 若式子含分母，还需满足分母不为 0。 举例：有意义的条件是x−2>0，即x>2。 【知识点02.二次根式的性质】 1.性质 1 ()2=a（a≥0） 文字表述：非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 举例：()2=3，()2=2x（x≥0）。 2.性质 2 =∣a∣=​ 文字表述：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 举例：=∣−5∣=5，=∣m−1∣。 3.补充性质 =⋅（a≥0，b≥0） =（a≥0，b>0） 作用：用于二次根式的化简和乘法、除法运算。 【知识点03.最简二次根式】 1.定义 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 举例：、（x≥0）是最简二次根式；、不是。 2.化简方法 被开方数含分母：利用分数基本性质，将分母凑成平方数，再开方。 例：==​ 被开方数含开得尽方的因数：分解因数，把平方数开出来。 例：==2 【知识点04.同类二次根式】 1.定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 举例：、3、−是同类二次根式；和不是。 2.注意 判断是否为同类二次根式，必须先化为最简二次根式，再看被开方数是否相同 【知识点05.二次根式的运算】 1. 乘法运算 法则：⋅=（a≥0，b≥0） 步骤：先按法则计算，再化为最简二次根式。 举例：×==3。 2. 除法运算 法则：=（a≥0，b>0） 步骤：先按法则计算，再化为最简二次根式。 举例：===2。 3. 加减运算 法则：二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式合并。 步骤： (1)化简：把每个二次根式化成最简二次根式； (2)找同类：找出其中的同类二次根式； (3)合并：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变）。 4. 混合运算 运算顺序与有理数混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的。 举例：(+2)(−2)=()2−22=3−4=−1（利用平方差公式） 【知识点06.易错点】 一.概念类 1. 漏看二次根式有意义条件：二次根式需被开方数是非负数，含分母时额外保证分母不为0。 2. 同类二次根式判断不化简：需先化为最简，再看被开方数是否相同。 二、性质类 1. 混淆非负数算术平方根的平方与一个数平方的算术平方根：前者需被开方数是非负数，结果等于被开方数本身；后者结果恒等于这个数的绝对值。 2. 最简二次根式判定不达标：需同时满足“无分母、无开尽方因数/因式”，化简要彻底。 三、运算类 1. 加减运算合并非同类项：先化简，仅同类二次根式可合并系数。 2. 乘除忽略适用条件：乘法需两个被开方数均为非负数，除法需被开方数为非负数、分母被开方数为正数。 3. 混合运算混乱：遵循“先乘方、再乘除、最后加减”，套用公式注意符号。 【题型1.二次根式的求值】 【典例】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【跟踪专练2】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2.二次根式中参数的求解】 【典例】当 时，二次根式的值为0． 【跟踪专练1】已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【跟踪专练2】若是整数，则正整数的最小值是 ． 【题型3.二次根式有意义的条件分析】 【典例】若在实数范围内有意义，则可以为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【跟踪专练1】已知，则的算术平方根为 ． 【跟踪专练2】若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【题型4.利用二次根式性质化简】 【典例】化简： ． 【跟踪专练1】实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简代数式：的值为 ． 【题型5.二次根式的乘法运算】 【典例】计算的结果是（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型6.二次根式的除法运算】 【典例】 ． 【跟踪专练1】.下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果成立，那么的取值范围是： ． 【题型7.二次根式的乘除混合运算】 【典例】估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2.】已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【题型8.最简二次根式的判定】 【典例】请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 【跟踪专练1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 【题型9.化为最简二次根式的方法】 【典例】化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【跟踪专练1】已知，化简 ． 【跟踪专练2】在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型10.同类二次根式的识别】 【典例】已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【跟踪专练1】下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【题型11.二次根式的加减运算】 【典例】能与相加得0的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】若m为实数，在的“□”中添上一种运算符号（在“+”“”“×”或“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型12.二次根式的混合运算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果，，那么 ． 【题型13.二次根式的分母有理化】 【典例】下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，，则代数式 ． 【跟踪专练2】对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【题型14.二次根式的化简求值】 【典例】已知，则代数式的值为 ． 【跟踪专练1】若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【跟踪专练2】．若，，则代数式的值为 ． 【题型15.二次根式的大小比较】 【典例】数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 【跟踪专练1】比较大小： （填“>”“=”或“<”）． 【跟踪专练2】在算式的□中填入一个运算符号，使其结果最大，则这个运算符号是（   ） A． B． C． D． 【题型16.二次根式的实际应用】 【典例】南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积 7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【跟踪专练1】把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 一.单选题 1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（    ） A．2 B．7 C． D． 3．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．估计  的值应在  （    ） A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间 6．设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．计算：等于（   ） A． B． C． D． 8．估计的值应在（        ）之间 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 9．若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 10．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 二.填空题 11．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 12．估计的值应在（   ） A．0到1 B．1到2 C．2到3 D．3到4 13．若，则化简为（  ） A． B． C． D． 14．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 15．已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 16．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 17．若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 18．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 三.解答题 19．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 20．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 21．判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 22．化简 (1) (2) (3) (4) 23．计算下列各式： (1)； (2)． 24．计算： (1) (2) 25．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 26．先化简，再求值：已知，求的值． 27．阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 28．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $