20.1勾股定理及其应用寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

20.1勾股定理及其应用寒假预习讲义（人教版） ☛ 预习内容概览 1. 课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 2. 核心考点◆精讲精练 4.强化巩固◆综合测试 ☘ 课前预习◆目标 ◆掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ◆理解勾股定理的3种证名方法，重点掌握赵爽弦图法（中国古代，最常考）； ◆能识别直角三角形的直角边、斜边，分清定理适用条件； ◆初步会用勾股定理解决实际问题，如梯子、旗杆、距离、最短路径等； ◆体会数形结合思想，用图形理解公式，激发数学学习兴趣。 💦 重点知识◆梳理归纳 【知识点1勾股定理】 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么． （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）掌握勾股定理的一些变式： ，， ． 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 【重点提示】使用勾股定理时切记前提条件是在直角三角形中； 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，若，；  【知识点2勾股定理的证明】（本质都是面积法） 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． ，所以． 【知识点3勾股数】 1. 定义 勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形． 2. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41． 3. 如果（）是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形． 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： (1)．较小的直角边为连续奇数； (2)．较长的直角边与对应斜边相差1． (3)．假设三个数分别为，且，那么存在成立．（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 【知识点4勾股定理的常见应用】 （1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边（直接套公式）； （2）求高、面积、周长：根据公式S=ab=ch,可求斜边上的高h; (3)关于梯子靠墙问题：利用墙、地面、梯子构成直角三角形，梯子长=斜边，墙高、梯脚到墙距离=直角边； （4）折叠问题：标出相等线段、相等角，设未知数+勾股定理列方程； （5）网格中求线段长：以线段为斜边构造直角三角形，数格子得直角边，再利用勾股定理； （6）最短路径问题：立体图形展开成平面，连接两点，构造直角三角形计算。 【知识点5易错点提醒】 1看清直角边，斜边，不要搞混三边长度； 2计算时先平方再加减，不能先加减再平方； 3. 非直角三角形不能直接用勾股定理。 ✏ 核心考点◆精讲精练 题型1用勾股定理解三角形 例1．如图，在中，∠B=90°，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵∠B=90°，，， ， 故选：B． 变式1．若直角三角形的两直角边均扩大到原来的5倍，则斜边扩大到原来的 倍． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形三边同时扩大相同倍数时，斜边也扩大相同倍数是解题的关键． 根据勾股定理，计算新斜边的长度与原斜边的关系． 【详解】解：设原直角三角形的两直角边分别为和，斜边为， 则；两直角边均扩大到原来的5倍后，新直角边为和， 新斜边满足， 因此，即斜边扩大到原来的倍． 故答案为：． 变式2．已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义以及平行线的性质等： （1）根据等角的余角相等可得，从而得到，即可求证； （2）连接，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，点为的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型2已知两点坐标求两点距离 例2．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 变式1．平面内四个点、、、将他们顺次联结，则折线的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点坐标与轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键﹒作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，根据轴对称的性质可得，，则，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得﹒ 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，    ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴折线的最小值为10﹒ 故答案为：10﹒ 变式2．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作和，使得它们关于y轴对称； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换，利用勾股定理求两点间的距离，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别确定在坐标系中对应的点，并确定关于轴对称的对称点，再顺次连接； （2）利用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】（1）解：如图，和即为所求； （2）解：根据关于轴对称得，， 由勾股定理得，． 题型3勾股树（数）问题 例3．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．3，3，5 C．5，8，12 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是均为正整数，二是较小两数的平方和等于最大数的平方． 根据勾股数的定义逐一验证选项即可． 【详解】解：A选项：，不是勾股数； B选项：，不是勾股数； C选项：，不是勾股数； D选项：，即，且6、8、10均为正整数，是勾股数； 故选：D． 变式1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 变式2．判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义（可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．）及勾股定理的逆定理计算判断即可． （1）分别计算三边的平方，即可完成判断； （2）分别计算三边的平方，即可完成判断； （3）根据勾股数不能为分数完成判断． 【详解】（1）解：因为， 所以3，4，7不是勾股数； （2）解：因为， 所以5，12，13是勾股数； （3）解：因为勾股数不能为分数， 所以不是勾股数． 题型4以直角三角形三边为边长的图形面积 例4．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 变式1．如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理及正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得阴影部分的面积为． 故答案为：13． 变式2．如图，四边形和四边形都是正方形，请在图中再画出一个正方形，使它的面积等于已知的两个正方形的面积之和． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理可得，以为边长作正方形，此时，四边形即为所求作的正方形． 【详解】解：如图所示，连接，以为边长作正方形，则四边形即为所求作的正方形． 题型5勾股定理与网格问题 例5．如图，在的正方形网格中，每个小方格的边长为1，连接任意两个格点所得的线段中，长度不可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵在的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1， ∴任意两个格点间的距离可能是，，，，，，，，， ∴任意两个格点间的距离不可能是， 故选：B． 变式1．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段上的点之间的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用网格求三角形的面积，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． 作，作于点，于点，根据勾股定理得出，最后根据等面积和垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，作，作于点，于点， 根据勾股定理得， 根据等面积可得， ∴， 根据垂线段最短可得，点A与线段上的点之间的最小值为， 故答案为：． 变式2．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出线段的长度即可； （2）根据等腰三角形的三线合一，作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：， 即线段的长度为5． （2）解：取的中点D，连接，则即为的角平分线． 根据图形可得：， ∴， ∵， ∴平分． 题型6勾股定理与折叠问题 例6．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 变式1．如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 变式2．如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理可得的值，再根据翻折的性质，可得，设，，利用勾股定理列出方程求解x的值即可得到答案． 【详解】解：∵∠B=90°，，， ∴在中，由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． ∴的长为． 题型7利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例7．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 变式1．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 变式2．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型8利用勾股定理证明线段平方关系 例8．如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用， 将绕点B顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的性质得，进而说明，可得，接下来得出，可得答案． 【详解】如图所示．将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 可知， ∴， 即． 故选：C． 变式1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 变式2．已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要运用勾股定理求解三角形的边长以及通过勾股定理和线段关系证明等式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，过点作，交于点，在直角三角形中利用勾股定理求出两条直角边，进而得到的长； （2）连接，过点作，交于点．根据等腰三角形三线合一可证明，根据勾股定理可证、，两式相减可得到，根据线段的和差关系结合平方差公式即可证明． 【详解】（1）解：如图①，在中，过点作，交于点． 在中，． 在中，， ． （2）证明：如图②，连接，过点作，交于点． ，， ， 在中，． 同理，， ． 又，， ， ． 【点睛】 题型9勾股定理的证明方法 例9．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意； 故选：D． 变式1．将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 即， 整理得：． 故答案为：． 变式2．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据列出关系式，进而得出结论． 【详解】证明：如图．， ， ， ． 题型10以弦图为背景的计算题 例10．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图的面积关系与完全平方公式的应用，解题的关键是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的面积，推导出ab的值，再代入完全平方公式计算． 由大正方形面积与小正方形面积可求得；再根据完全平方公式，代入数值即可算出结果． 【详解】解：∵ 大正方形面积为13， ∴ ①，， ∵ 小正方形面积为， ∴ ②， 将②代入①，得， 解得， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 变式1．如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查赵爽弦图的性质，勾股定理，结合弦图结构推导边长是解题关键． 设，利用是中点的条件求出和，再根据勾股定理求出，进而求出大正方形面积和小正方形面积，最终算出面积比． 【详解】解：设， ∵点为的中点， ∴， 是直角三角形， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积与正方形的面积之比为． 故答案为：． 变式2．（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】（1）44；（2）2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解二元一次方程组． （1）设直角三角形的两直角边为，斜边为．根据题意以及勾股定理可得，根据小正方形的面积是4，得出，即可求解． （2）根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：（1）如图，设直角三角形的两直角边为，斜边为． ∵图1中大正方形的面积是24， ． ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积为． （2）把代入得 ， ，得． 题型11用勾股定理构造图形解决问题 例11．明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设的长为尺， 尺，尺， 尺， 在中，尺，尺，尺，则由勾股定理得， 解得， 秋千绳索或的长度为尺， 故选：B． 变式1．明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 设尺，用表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设尺， 尺，尺， 尺，尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得，， 解得：， 答：秋千绳索的长度是尺． 故答案为：． 变式2．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 【答案】能通过该隧道 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，取的中点，作于点，连接．设，则．结合勾股定理求出，即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，取的中点，作于点，连接． 设，则． 由题意可知：， 在中，由勾股定理，得． ． ． 这辆卡车能通过该隧道． 题型12勾股定理与无理数 例12．如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点M的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点M表示的实数是． 故选：C． 变式1．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与数轴上实数的对应关系，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再结合点的位置确定其符号． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长度分别为2和1， 根据勾股定理，斜边的长度为； ∵点在原点的左侧，且原点到点的距离等于该斜边的长度， ∴点表示的实数是． 故答案为：． 变式2．请在数轴上用尺规找到表示的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查利用勾股定理尺规作图，掌握尺规作图的方法以及勾股定理是关键． 利用数轴上的整点，以及勾股定理得出斜边的长，再画弧与数轴的交点即为表示的点． 【详解】解：如图，点A即为所求． 作法：如图，过表示数的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径与数轴相交于点，则点就是表示的点． 题型13求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 例13．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 变式1．如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 即梯子底端将向外移， 故答案为：． 变式2．在综合实践活动课上，估测教室高度．现有足够长的竹竿和皮尺，两位同学方法如下： 如图1，圆圆先测出竹竿长度为4米，将竹竿顶端与墙角顶端（教室顶部）重合，再测出竹竿底部与墙角底部的距离为1米，再计算教室高度． 如图2，①方方先将竹竿顶端与墙角顶端重合，测竹竿底部到墙角底部的距离为1米；②在墙根处取与距离1米的点（即）；③将竹竿顶部滑到处，底部位于，此时即为教室高度． (1)请根据圆圆测量的数据，求出教室的高度． (2)方方直接通过测量就得到教室的高度（），请证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）直接应用勾股定理求解直角三角形的未知边． （2）通过寻找全等三角形的条件，证明两个直角三角形全等，从而得到对应边相等． 【详解】（1）在图1中，是直角三角形，其中： 斜边 米（竹竿长度），直角边米（竹竿底部到墙角的距离），直角边为教室高度 根据勾股定理： 所以，教室的高度为米 （2）证明：在 和 中： ∴． 题型14求旗杆高度（勾股定理的应用） 例14．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，旗杆折断部分的高度． 故选：C． 变式1．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为：． 变式2．为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)测量长度有误差（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）设旗杆的高度为，根据勾股定理进行求解即可； （2）根据可能产生误差的原因，作答即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为， 由勾股定理，得：， 解得； 答：旗杆的高度为12米； （2） 解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）． 题型15求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 例15．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 变式1．如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 设大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故答案为： 变式2．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可． 【详解】解：过B作于D， ∴，， ∴（）， 在中，， ∴（）， 答：至少需要的彩旗带． 题型16求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 例16．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（    ）       A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺， 由勾股定理得： ， 解得 ， 即折断处离地面的高度是尺． 故选：D． 变式1．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．根据题干信息结合图形表示出，，，再结合勾股定理即可得解． 【详解】解：根据题意得，，，， 根据勾股定理得． 变式2．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 题型17解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 例17．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并能求出箭在投壶内部的最大长度是解题的关键．先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度． 【详解】解：如图， ∵投壶内部底面直径，内壁高， ∴箭在投壶内部的最大长度 ∵箭总长为， ∴箭在投壶外面部分的最小长度为：， 箭在投壶外面部分的最大长度为：， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能为． 故选：． 变式1．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 尺． 【答案】4 【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为h尺，则： ， 解得：， 所以，水池的深度是4尺． 故答案为：4． 变式2．张老师家在装修新房，准备把一幅边长为的正方形大理石背景板搬进客厅．已知客厅的门框是一个高、宽的长方形双开门．请你判断这个背景板能否搬进客厅，并说明理由． 【答案】这个背景板能搬进客厅，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出长方形门框的对角线长，再与正方形大理石的边长进行比较即可得到结论． 【详解】解：这个背景板能搬进客厅，理由如下： 由题意得，长方形门框的对角线长为， ∵， ∴这个背景板能搬进客厅． 题型18解决航海问题（勾股定理的应用） 例18．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理的应用； 根据题意，海岛B位于海岛A南偏东30°方向30海里处，轮船C和D均在海岛B的正北方向．轮船D与海岛B相距40海里，因此位置唯一确定；轮船C与海岛A相距20海里，且在B的正北方向，求出，可知满足条件的点有两个，因此位置不能唯一确定． 【详解】解：如图，海岛A为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向．海岛B在南偏东30°方向30海里处， ∴B点坐标：，． ∵轮船D在海岛B正北方向且距B40海里， ∴D点坐标唯一：． ∵轮船C在海岛B正北方向且距A20海里，设C点坐标为，则， ∴ ∴C点有两个可能的位置，位置不能唯一确定， 故选：C． 变式1．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是 m． 【答案】1200 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理在直角三角形中的应用是解题的关键． 设航行时间为秒，用表示与的长度，在中用勾股定理列方程求，再计算乙航行的距离． 【详解】解：∵甲、乙两客轮同时从港口出发，航行时间相同，设为秒 ∴甲客轮航行的距离米，乙客轮航行的距离米 ∵，且两地的直线距离米 ∴在中，根据勾股定理，有 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴秒。 ∴乙客轮航行的距离是 故答案为： 1200． 变式2．如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． 题型19求河宽（勾股定理的应用） 例19．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 根据勾股定理可以直接求解． 【详解】解：由题可知，米，米，， 米． 故选：C 变式1．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 变式2．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），且中间有一条宽为的绿化带（两条车道各占用．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能否通过该隧道？说明理由． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．利用勾股定理求得，利用车宽求此时隧道壁离地面的高度，与车高比较即可． 【详解】解：如图，根据题意得：，，， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴能通过． 题型20求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 例20．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 变式1．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 变式2．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 题型21判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 例21．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 变式1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 变式2．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 题型22判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 例22．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    变式1．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间． 【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响． 则有， 在中，， ， 则该校受影响的时间为：． 该学校受影响的时间为24秒． 故答案为：24 变式2．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案； （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴着火点C受洒水影响； （2）解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 题型23选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 例23．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 变式1．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 变式2．如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． (1)请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求中转站O离C地的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作的垂直平分线与交于点O，即； （2）设，则，在中，，在中，，可得，即可求解. 【详解】（1）解：如图；作的垂直平分线与交于点O，即； （2）解：由题可知：， ， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴中转站O离C地的距离为. 题型24求最短路径（勾股定理的应用） 例24．如图，在一个长为，宽为，高为的长方体方块的左下角点处有一只蚂蚁，它要沿着长方体的表面爬行至右上角的点，那么这个蚂蚁所走的最短路线长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理−最短路径问题． 分三种情况根据勾股定理求出路径，比较即可． 【详解】解：路线经过前面—右面时，由勾股定理得爬行路径为； 路线经过前面—上面时，由勾股定理得爬行路径为； 路线经过左面—上面时，由勾股定理得爬行路径为； ∵， ∴最短路径的长为． 故选：B． 变式1．如图，某古建筑中有一根高的柱子，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达点正上方的点处．若柱子的底面周长为，则雕刻在柱子上的巨龙的长最短为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为，柱身高为， 有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， ，， ， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为， 故答案为：5． 变式2．你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， 即这根木条的长至少． ✍ 强化巩固◆综合测试 一、单选题 1．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么，即． 利用勾股定理直接计算斜边的长度即可． 【详解】解：如图， ∵∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形，和为直角边，为斜边， ∴． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点的距离为5 的格点共有（     ）个 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与距离公式，通过枚举法求解，注意不要漏解；设格点坐标为，其中均为整数，根据距离公式有，枚举所有整数解即可． 【详解】解：设格点到原点距离为5， ∴ ∵横坐标和纵坐标都是整数，即为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时， ∴据此可画出图形，如图： 共有个格点． 故选D． 3．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 4．如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理； 由勾股定理结合正方形的面积可知，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 5．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则， 则 ， ， ， ，即， 则， ， 则，即， ， 故选：A． 6．如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，由勾股定理分别计算，，，的长度，即可获得答案． 【详解】解：由勾股定理可得，，，，． 故选：D． 7．如图，长方形沿直线折叠，使点C落在同一平面内的点C′处，与交于点E．，则（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠得到，，平行线的性质，等角对等边，推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故选D． 8．下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（   ） A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对 C．两人都错 D．两人都对 【答案】D 【分析】本题考查了实数比较大小，勾股定理，三角形三边关系，根据两个正数比较大小，平方数越大，则这个正数就越大，则小明的思路进行判断，再根据勾股定理和三角形的三边关系对小亮的思路进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，， ∵， ∴，故小明思路正确； 设直角三角形的两直角边为，， ∴斜边为， ∴根据三角形的三边关系得，，故小亮思路正确； 综上可得：两人都对， 故选：． 二、填空题 9．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股数，解题的关键是熟知勾股定理的运用．设第三个数为x，根据勾股数得出①，②，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得：（负值舍去）， ②， 解得：（不是整数，不合题意，舍去)， 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，点，点在轴上，且为等腰三角形（为坐标原点），则点的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查等腰三角形的基本性质以及勾股定理，能够对题目进行分类讨论是解题关键； 分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别利用两点间距离公式和勾股定理求解． 【详解】解：∵点，点在轴上， ∴，设点坐标为， ∴，， ①当时，则，解得或，故点B坐标为或； ②当时，则，解得或， 当时，两点重合，不构成三角形，故舍去，故点B坐标为； ③当时，则，解得，故点B坐标为； ∴综上，点的坐标可为或或或， 故答案为：或或或． 11．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 12．如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，得到，再利用等面积法求即可． 【详解】解：，，， ，， 于点， ， ． 故答案为：． 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解，，，是关键，根据题意，，则，结合题意得到，由此即可求解． 【详解】解：在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，如图所示， ∴，，，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9 ． 14．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 根据题意，，根据和进行格点探寻即可． 【详解】解：根据题意，，根据和进行格点探寻，结果如下： 所以符合题意的点C有7个， 故答案为：7． 15．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点，，．则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故答案为：5． 三、解答题 16．一架方梯长，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点离墙． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端距地面 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理列式运算即可； （2）求出的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， 在中，， ∴这个梯子的顶端距地面； （2）根据题意，得，， ∴， 在中，， 所以， 即梯子的底端在水平方向滑动了． 17．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)他应该往回收线米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出垂直高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， （负值已舍去）， （米）． 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， （米）． 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）． 他应该往回收线米． 18．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得， 解得，即． 19．如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 20．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： ， ， 由于线段长度为正数，得： ． 故A、B两点之间的距离是． 21．如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理，阅读题目信息可得两名跑酷运动员所经过的距离相等是指，设，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设水泥墙的高度为x米，则米, 由题意，知， 所以, 因为两名运动员所经过的路程长度相等， 所以，即， 所以米, 在中，由勾股定理得，即， 解得，即米, 答：水泥墙的高度为米． 22．如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，过作于点，轴于点，连接，证明出是等腰直角三角形，求出海里， 海里，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于点，轴于点，连接． 由题意得（海里），（海里），， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴（海里）， （海里），（海里）， （海里）， 在中，海里． 23．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 24．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【答案】千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】设，则， ，，， ， ， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用寒假预习讲义（人教版） ☛ 预习内容概览 1. 课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 2. 核心考点◆精讲精练 4.强化巩固◆综合测试 ☘ 课前预习◆目标 ◆掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ◆理解勾股定理的3种证名方法，重点掌握赵爽弦图法（中国古代，最常考）； ◆能识别直角三角形的直角边、斜边，分清定理适用条件； ◆初步会用勾股定理解决实际问题，如梯子、旗杆、距离、最短路径等； ◆体会数形结合思想，用图形理解公式，激发数学学习兴趣。 💦 重点知识◆梳理归纳 【知识点1勾股定理】 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么． （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）掌握勾股定理的一些变式： ，， ． 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 【重点提示】使用勾股定理时切记前提条件是在直角三角形中； 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，若，；  【知识点2勾股定理的证明】（本质都是面积法） 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． ，所以． 【知识点3勾股数】 1. 定义 勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形． 2. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41． 3. 如果（）是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形． 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： (1)．较小的直角边为连续奇数； (2)．较长的直角边与对应斜边相差1． (3)．假设三个数分别为，且，那么存在成立．（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 【知识点4勾股定理的常见应用】 （1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边（直接套公式）； （2）求高、面积、周长：根据公式S=ab=ch,可求斜边上的高h; (3)关于梯子靠墙问题：利用墙、地面、梯子构成直角三角形，梯子长=斜边，墙高、梯脚到墙距离=直角边； （4）折叠问题：标出相等线段、相等角，设未知数+勾股定理列方程； （5）网格中求线段长：以线段为斜边构造直角三角形，数格子得直角边，再利用勾股定理； （6）最短路径问题：立体图形展开成平面，连接两点，构造直角三角形计算。 ✏ 核心考点◆精讲精练 题型1用勾股定理解三角形 例1．如图，在中，∠B=90°，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 变式1．若直角三角形的两直角边均扩大到原来的5倍，则斜边扩大到原来的 倍． 变式2．已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， (1)求证：； (2)求的长． 题型2已知两点坐标求两点距离 例2．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 变式1．平面内四个点、、、将他们顺次联结，则折线的最小值为 ． 变式2．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作和，使得它们关于y轴对称； (2)求线段的长度． 题型3勾股树（数）问题 例3．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．3，3，5 C．5，8，12 D．6，8，10 变式1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ． 变式2．判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； 题型4以直角三角形三边为边长的图形面积 例4．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 变式1．如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为 ． 变式2．如图，四边形和四边形都是正方形，请在图中再画出一个正方形，使它的面积等于已知的两个正方形的面积之和． 题型5勾股定理与网格问题 例5．如图，在的正方形网格中，每个小方格的边长为1，连接任意两个格点所得的线段中，长度不可能等于（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段上的点之间的最小值为 ． 变式2．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 题型6勾股定理与折叠问题 例6．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 变式1．如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 变式2．如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 题型7利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例7．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 变式2．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 题型8利用勾股定理证明线段平方关系 例8．如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A．B． C． D． 变式1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    变式2．已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 题型9勾股定理的证明方法 例9．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 变式1．将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 变式2．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 题型10以弦图为背景的计算题 例10．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 变式1．如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为 ． 变式2．（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 题型11用勾股定理构造图形解决问题 例11．明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 变式1．明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为 ． 变式2．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 题型12勾股定理与无理数 例12．如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 变式1．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 变式2．请在数轴上用尺规找到表示的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 题型13求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 例13．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移 ． 变式2．在综合实践活动课上，估测教室高度．现有足够长的竹竿和皮尺，两位同学方法如下： 如图1，圆圆先测出竹竿长度为4米，将竹竿顶端与墙角顶端（教室顶部）重合，再测出竹竿底部与墙角底部的距离为1米，再计算教室高度． 如图2，①方方先将竹竿顶端与墙角顶端重合，测竹竿底部到墙角底部的距离为1米；②在墙根处取与距离1米的点（即）；③将竹竿顶部滑到处，底部位于，此时即为教室高度． (1)请根据圆圆测量的数据，求出教室的高度． (2)方方直接通过测量就得到教室的高度（），请证明． 题型14求旗杆高度（勾股定理的应用） 例14．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（    ） A． B． C． D． 变式1．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为 m． 变式2．为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 题型15求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 例15．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 变式1．如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行 米． 变式2．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 题型16求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 例16．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（    ）       A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 变式1．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为 ． 变式2．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 题型17解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 例17．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 变式1．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 尺． 变式2．张老师家在装修新房，准备把一幅边长为的正方形大理石背景板搬进客厅．已知客厅的门框是一个高、宽的长方形双开门．请你判断这个背景板能否搬进客厅，并说明理由． 题型18解决航海问题（勾股定理的应用） 例18．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 变式1．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是 m． 变式2．如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 题型19求河宽（勾股定理的应用） 例19．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米 A．100 B．80 C．60 D．120 变式1．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 变式2．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），且中间有一条宽为的绿化带（两条车道各占用．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能否通过该隧道？说明理由． 题型20求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 例20．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 变式1．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 变式2．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 题型21判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 例21．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    变式1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 变式2．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 题型22判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 例22．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 变式1．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 变式2．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 题型23选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 例23．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 变式1．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 变式2．如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． (1)请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求中转站O离C地的距离． 题型24求最短路径（勾股定理的应用） 例24．如图，在一个长为，宽为，高为的长方体方块的左下角点处有一只蚂蚁，它要沿着长方体的表面爬行至右上角的点，那么这个蚂蚁所走的最短路线长度为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，某古建筑中有一根高的柱子，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达点正上方的点处．若柱子的底面周长为，则雕刻在柱子上的巨龙的长最短为 ． 变式2．你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ ✍ 强化巩固◆综合测试 一、单选题 1．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点的距离为5 的格点共有（     ）个 A．4 B．6 C．8 D．12 3．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A． B． C． D． 7．如图，长方形沿直线折叠，使点C落在同一平面内的点C′处，与交于点E．，则（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 8．下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（   ） A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对 C．两人都错 D．两人都对 二、填空题 9．有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 10．在平面直角坐标系中，点，点在轴上，且为等腰三角形（为坐标原点），则点的坐标为 ． 11．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 12．如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ． 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若．则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有 个． 15．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点，，．则的长为 ． 三、解答题 16．一架方梯长，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点离墙． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 17．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 18．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 19．如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 20．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 21．如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 22．如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 23．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 24．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $