精品解析：江苏省苏州市吴江高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次教学质量月检测 高一数学答题卷 命题人：高一数学备课组 审阅人：高一数学备课组 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ，则． 故选：B． 2. 如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【详解】设，由，得，即， 所以 故选：D 3. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 4. 已知函数，则函数的图象的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，即函数为奇函数，排除BD选项， 当时，，则，排除C选项. 故选：A. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数、对数的性质和运算法则，利用换底公式化简，再利用指数函数的单调性确定的取值范围，进而比较的大小． 【详解】，， ， ， ，故B正确． 故选：B． 6. 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（ ）（参考数据：，） A. 2.9 B. 3.4 C. 3.9 D. 4.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意中的关系式可得、，利用指、对数互化求出m的值即可. 【详解】由，有， 又，有，即， 则，解得， 故选：B. 7. 已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，则（ ） A. 9 B. 6 C. 18 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】与图象的交点两两关于点对称，所以，故． 8. 已知定义域为的函数满足对任意，，都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形给定不等式并构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，进而求解不等式. 【详解】对任意， 恒成立，令， 则对任意，，因此函数在上单调递增， 由，得，不等式 ，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 B. 若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角弧度时，这个扇形的面积最大 C. 点P从位置出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为 D. 的值是正数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据终边相同角及象限角可判断A；由扇形的面积公式结合二次函数最值可判断B；根据任意角的三角函数的定义可判断C；根据各象限角的三角函数符号可判断D. 【详解】对于A，∵与120°角的终边关于x轴对称，∴则与的终边在同一条直线，∴是第二或第四象限角，故A正确； 对于B，设扇形的半径为弧长为，由题意知， 所以， 所以当时，取得最大值，此时，.故B不正确； 对于C，设，依题意可知，且Q在第一象限.所以，故C正确； 对于D，是第二象限角，，故D不正确. 故选：AC. 10. 已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合图像即可判断各选项. 【详解】由方程和可化为和， 即直线与两函数和的交点横坐标分别为、， 由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称， 如图所示，点、关于点对称，，且， 所以，故A正确； 因为，所以， 又，所以，故B正确； 由和它们的图像关于直线对称，所以，， 所以，故C正确； 对于D，由，则，即，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，若方程有三个不同的零点，，，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. 函数在单调递增 C. 的取值范围为 D. 函数有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出的图象，根据图象可判断AB；根据图象确定出的范围，根据对数运算求解出的值，即的取值范围可知，则C可判断；采用换元法令，确定出的值，结合的图象求解出的零点个数. 【详解】作出的图象，如下图所示： 对于A：由图象可知，实数的取值范围为，故A正确； 对于B：由图象可知，函数在上单调递增，在单调递减，故B正确； 对于C：由图象可知，的取值范围为， 由，即，解得， 所以的取值范围为，故C错误； 选项D，由，令，则，解得或， 由图象可知时，方程有个解，时，方程有个解， 所以函数有4个零点，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：求解函数零点的个数问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 三、填空题 12. 已知则_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式化目标式为，即可求值. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性和对数函数定义域，求的取值范围. 【详解】当时，在上是增函数； 当时，由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递增且大于0恒成立， 有解得. 综上，的取值范围是. 故答案为： 14. 对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数是定义在上的“局部奇函数”，只需方程有解．可设，从而得出方程在时有解，从而设，由二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知： 若函数是定义在上的“局部奇函数”， 则方程有解，即有解； 变形可得， 即有解即可. 设，则，当且仅当时，等号成立. 则方程等价为在时有解. 设，若方程的两根分别为、，则， 所以，， 解可得：，即的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题 15. 设集合U=R，； （1）求：，； （2）设集合，若，求a的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）首先解指数不等式和对数不等式得集合A，B，然后由集合运算法则计算； （2）求出，由是的子集，按是否为空集分类讨论． 【详解】（1）， ， ，，， （2）， （i） 时，； （ii）时， ，解得. 综上：． 【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系．掌握集合的运算法则是解题关键，在解决集合包含关系时，要注意空集是任何集合的子集，因此可能要分类讨论． 16. 已知，若角的终边过点. （1）求的取值. （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简，化简，由三角函数定计算出可得结论． （2）由平方关系化待求式为关于的齐次式，然后弦化切，代入（1）的结论计算． 【小问1详解】 角的终边过点， . 【小问2详解】 17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由； （2）求出（1）中所选函数模型的函数解析式； （3）根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】（1），理由如下： 若选，则当时，该函数无意义，不合题意． 若选，显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意． 故选择． （2） （3）当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为 【解析】 【分析】（1）由表格数据判断合适的函数关系， （2）代入数据列方程组求解， （3）分别表示在国道与高速路上的耗电量，由单调性求其取最小值时的速度. 【小问1详解】 选择，理由略； 【小问2详解】 选择，由表中数据得， 解得，所以当时，． 【小问3详解】 由题可知该汽车在国道路段所用时间为， 所耗电量， 所以当时，． 该汽车在高速路段所用时间为， 所耗电量， 易知在上单调递增，所以． 故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求的零点； （2）当为偶函数时， ①求的值； ②设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）当时，分析函数在上的单调性，结合可得出函数的零点； （2）①根据偶函数的定义结合对数的运算性质可求得实数的值； ②由可得，令，分析可知关于的方程只有个正数解，对实数的取值进行分类讨论，在时直接验证即可，在或时，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时， 因为函数在上单调递增，且， 外层函数为上的增函数，故函数在上单调递增， 又因为函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 因为，所以，函数的零点为. 【小问2详解】 解：当为偶函数时，， ①， 因为，即， 所以，对恒成立，则，解得； ②因为函数与的图象有且只有一个公共点， 所以，只有一解，即只有一解， 所以，只有一解， 令， 则关于的方程只有个正数解， （Ⅰ）当时，，不合题意； （Ⅱ）当时，，设方程两根为、， 则，所以，方程有一正一负根，负根舍去，符合题意； （Ⅲ）当时，因为当时，， 故只需，解得. 综上：实数的取值范围为或. 19. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若函数在上的值域为，求正实数a的值； （3）证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点． 【答案】（1）， （2） （3） 由（1）知，所以 与曲线总存在公共点， 即在有实数根，令， 当时，易知为函数的零点， 当时，易知函数在单调递减， 又因为，，由零点存在性定理可知: ,使得成立. 当时，， 又因为，，所以. 由零点存在性定理可知:,使得成立. 故对任意实数函数在有零点. 即对任意实数曲线与曲线总存在公共点. 【解析】 【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式. （2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值. （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明. 【小问1详解】 ，分别为定义在上的奇函数和偶函数 所以，又因为①， 所以②， 有①②可知， ，. 【小问2详解】 令，由（1）知，， 又因为，令，所以 所以， 函数在上的值域为， 所以，故, 当时，得，又因为，所以 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次教学质量月检测 高一数学答题卷 命题人：高一数学备课组 审阅人：高一数学备课组 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则函数的图象的可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（ ）（参考数据：，） A. 2.9 B. 3.4 C. 3.9 D. 4.4 7. 已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，则（ ） A. 9 B. 6 C. 18 D. 12 8. 已知定义域为的函数满足对任意，，都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 B. 若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角弧度时，这个扇形的面积最大 C. 点P从位置出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为 D. 的值是正数 10. 已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若方程有三个不同的零点，，，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. 函数在单调递增 C. 的取值范围为 D. 函数有4个零点 三、填空题 12. 已知则_____. 13. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是__________. 14. 对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围为______． 四、解答题 15. 设集合U=R，； （1）求：，； （2）设集合，若，求a的取值范围． 16. 已知，若角的终边过点. （1）求的取值. （2）求的值. 17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由； （2）求出（1）中所选函数模型的函数解析式； （3）根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 18. 已知函数，其中． （1）当时，求的零点； （2）当为偶函数时， ①求的值； ②设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 19. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若函数在上的值域为，求正实数a的值； （3）证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $