精品解析：重庆市育才中学校2025-2026学年高二上学期12月诊断性考试数学试题

高2027届高二（上）12月诊断性考试 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知直线过点，且与直线平行，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆：的一个焦点，是短轴的一个端点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，圆：，则（ ） A. B. 过点、的直线方程为 C. 若直线与圆相切，则 D. 若圆与圆：恰有三条公切线，则 10. 已知数列满足，记为其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递减的等差数列 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最小正整数的值为23 11. 双曲线：的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，若，则______. 13. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则______. 14. 已知是平面直角坐标系中的点集，直线：，则中的点到直线距离的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，， （1）求的外接圆的方程； （2）若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的直角三角形，四边形是等腰梯形，，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. （1）求抛物线的标准方程； （2）若的面积为20，求直线的方程； （3）若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 19. 已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离之比是常数. （1）求曲线的方程； （2）点，是曲线上的两点，且位于轴上方，点为轴上一点，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高二（上）12月诊断性考试 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆的焦点坐标进行求解即可. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为， 所以该椭圆的焦点在纵轴上， 因此有，且， 故选：C 2. 已知直线过点，且与直线平行，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入直线求出，再由两条直线平行列方程求，从而可求的值. 【详解】因为直线过点， 所以，解得. 因为直线与直线平行， 所以，即，解得， 所以. 故选：B. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列递推公式，依次计算数列的项，判断数列的周期，进而求出结果. 【详解】由题意可得，，， 所以数列是周期为3的周期数列，即， 则. 故选：D. 4. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形法则即可求解. 【详解】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 5. 在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 6. 已知是椭圆：的一个焦点，是短轴的一个端点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据转化为向量，结合焦点和短轴端点的坐标，求出交点的坐标，然后将Q的坐标代入椭圆标准方程，最后化简就行. 【详解】设椭圆的右焦点为，上顶点为，设。 由，可得向量关系：, ，， 解 椭圆方程为，将代入， ，即 化简得 所以 故选：C 7. 已知为等比数列，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于坐标原点的两点，若，过的中点作的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合基本不等式可求的最小值. 【详解】如图： 分别过点作直线的垂线，垂足分别为，连接. 设，，则，. 因为为梯形的中位线，所以. 又，所以. 所以. 又. 所以，当且仅当时取等号. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，圆：，则（ ） A. B. 过点、的直线方程为 C. 若直线与圆相切，则 D. 若圆与圆：恰有三条公切线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程、圆的一般式方程的性质，结合圆的切线性质、圆与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】A：因为方程表示圆， 所以，因此本选项说法正确； B：因为点，， 所以点、的直线方程为，因此本选项说法正确； C：， 所以圆心坐标为，半径为， 若直线与圆相切， 则有，所以本选项说法不正确； D：圆：的圆心坐标为，半径为， 若圆与圆：恰有三条公切线， 则圆与圆相外切， 所以有，因此本选项说法正确， 故选：ABD 10. 已知数列满足，记为其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递减的等差数列 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最小正整数的值为23 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出首项和公差，并结合题意得到，进而判断A，利用等差数列的求和公式并结合等差数列的定义判断B，利用等差数列的性质判断C，结合题意建立不等式，进而得到且，从而判断D即可. 【详解】因为，所以是等差数列， 因为，所以， 设首项为，公差为，则，解得， 对于A，可得，故A正确， 对于B，由等差数列性质得， 则，， 可得， 而，则为递减的等差数列，故B正确， 对于C，因为，，所以， 因为，，所以为递减的等差数列， 则的前11项均为正，从第12项起为负， 则当时，取得最大值，故C错误， 对于D，令，则， 而，可得，且，解得， 则使得成立的最小正整数的值为23，故D正确. 故选：ABD 11. 双曲线：的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，根据双曲线和圆的对称性可知四边形为平行四边形，根据和互补得解；选项C，设，由在渐近线上得到，由利用两点间的距离公式得到，从中解出的值得到的坐标，利用两点间的距离公式求出，，在中，利用余弦定理及通过整理得到，从而求出的值；选项B，由得到，从而得到和的值即可得解； 选项D，由、、解得和的值，利用及三角形的面积公式即可得解. 【详解】 选项A，根据双曲线和圆的对称性可知，四边形为平行四边形， ，，故选项A正确； 选项C，设，在渐近线上，， ，，，， ，， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍）， ，，，，故选项C正确； 选项B，，， ，， ，， ，故选项B错误； 选项D，，，， ，， ， ，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为0，空间向量坐标运算得到，，由模长公式得到答案. 【详解】， 又，所以， 即， 解得， 故，. 故答案为： 13. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式得到，，从而得到公差，进而得到. 【详解】由题意得，又，故，解得， 又，，所以，解得， 所以的公差为，所以. 故答案为： 14. 已知是平面直角坐标系中的点集，直线：，则中的点到直线距离的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由方程可得表示的曲线关于轴对称，当时，方程可化为，根据对称性作出图形，设与直线：平行，且与相切的直线为，根据直线与圆的位置关系求出，中的点到直线距离的最大值为直线：与直线的距离，由平行线间的距离公式即可求解. 【详解】对于方程， 将替换为，则， 化简得，方程不变， 故方程表示的曲线关于轴对称， 同理可得方程表示的曲线关于轴对称. 当时，方程可化为， 即,表示以为圆心，半径为的圆在第一象限及轴正半轴的部分. 根据对称性可作出方程表示的曲线的图形，如图所示： 设, 到直线：的距离为， 所以直线：与相交. 设与直线：平行，且与相切的直线为， 则，解得或， 由图可得不符合题意，故， 故. 由图可得中的点到直线距离的最大值为直线：与直线的距离，即为. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，， （1）求的外接圆的方程； （2）若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将点，，代入求解； （2）根据，得到圆心到直线的距离为求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为点，，在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为，即； 【小问2详解】 由（1）知圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆心到直线的距离为， 直线方程，即为， 则圆心到直线的距离为， 所以，即， 解得或. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明： 已知， 当时，， 由，上述两式相减得： 即 即，由得： ， 故数列是公差为2的等差数列； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）当时，，由，可得：， 即可得证； （2）假设存在正整数满足题意，先利用（1）求出，得到，，， 利用等比中项的定义得到关于的方程，解出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 假设存在正整数满足题意， 由（1）知是公差的等差数列，且，则： ， 故， 故， 又，， 若，，成等比数列，则，代入得： ，因为为正整数，解得， 验证：当时，，等式成立. 故存在正整数，使，，成等比数列. 17. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的直角三角形，四边形是等腰梯形，，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 证明：若为的中点，连接，又为的中点，则且， 又且，易知，， 所以四边形为平行四边形，则， 由平面，平面，则平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）若为的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，从而有，再应用线面平行的判定证明结论； （2）若是上靠近的四分之一的等分点，根据已知证明两两垂直，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若是上靠近的四分之一的等分点，则，连接， 由四边形是等腰梯形，，，易知为梯形的高， 所以，而，则， 由是以为斜边的直角三角形，，，则， 所以，故，则， 所以，且，而， 所以，则， 综上，两两垂直， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 所以， 所以，，， 令是平面的一个法向量，则， 若，则， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. （1）求抛物线的标准方程； （2）若的面积为20，求直线的方程； （3）若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 【答案】（1）； （2）或； （3） 由在抛物线上，代入得， 又，故，即， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， ，，由（2）知，， 直线的斜率为：， 故直线的方程为：， 令，得，即，又 故，，由，得 故，即， 同理，直线交轴于，得， 故 代入，，得 故，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，求出，从而得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，联立，由韦达定理，得，， 的面积，结合， 解得，从而求出直线的方程； （3）由在抛物线上，求出，得到直线的方程为：，即得， 由得，同理得，结合韦达定理得，，可解得，为定值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即：，解得，故抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）得焦点，又，则， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， 联立，消去，整理得： ，设， 由，得， 由韦达定理，，， 故的面积，代入得： ,得， 又，故： ，解得 满足，因此直线的方程为或； 【小问3详解】 略 19. 已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离之比是常数. （1）求曲线的方程； （2）点，是曲线上的两点，且位于轴上方，点为轴上一点，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）由动点到定点与定直线距离之比为常数的定义，判断轨迹为椭圆，据此建立方程化简即得曲线； （2）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，计算表达式和的中点的坐标，从而得到，则，再计算的表达式，最后代入韦达定理式，则有，再结合得到，最后得到，从而得到其范围. 【小问1详解】 根据题意，动点满足：， 平方并化简：， 展开整理得：， 故曲线的方程为. 【小问2详解】 存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 由题意知，直线的斜率存在，设，直线的方程为， 联立，得， 由，得， 则， ， 故且，故， 当时，且，则，此时，满足题意； 当时，的中点为，又， 故，则． ， 则， 则， 即， 结合，则， 则，故，故， 综上所述，存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $