培优点19：极值点偏移【知识梳理+题型突破】讲义-2026届高三数学二轮复习专题

该高中数学讲义聚焦高考导数综合题核心压轴题型极值点偏移，系统整合定义本质、题设特征及对数均值不等式等辅助工具，按对称化构造和比值换元两大题型分类梳理。通过考点定位、方法归纳（如四步解题模板）、真题精讲（含2021新高考Ⅰ卷等）及分层练习环节，帮助学生构建双变量问题转化框架，突破难点。 资料创新采用对称化构造四步走与比值换元参数转化策略，如通过构造差函数分析单调性证明加法型偏移，结合对数均值不等式放缩解决指数对数型问题，培养学生数学思维与模型构建能力。设置小试牛刀与课后真题训练，精准对接高考难度，助力教师把控复习节奏，提升学生应考实战能力。

2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点19：极值点偏移】 【高考定位】 极值点偏移问题是导数综合题的核心压轴题型之一，本质是函数在极值点两侧增减速率不对称导致零点（或极值相关点）偏离中点的现象.此类问题常以不等式证明形式出现，考查函数单调性分析、构造思想与转化能力，是二轮复习需重点突破的难点. 【知识拓展】 1.极值点偏移的定义与本质 设函数在处取得极值，若方程有两个不等实根（即函数有两个零点），满足： 无偏移：若函数图象关于直线对称（如二次函数），则； 左偏移：若函数在左侧增减速率快于右侧（左陡右缓），则； 右偏移：若函数在右侧增减速率快于左侧（右陡左缓），则. 本质：函数的凹凸性决定增减速率，进而导致极值点偏移.可通过二阶导数符号辅助判断凹凸性 2.常见题设特征与核心目标 （1）题设条件：①函数有唯一极值点；②存在两个不等实根满足（或). （2）核心目标：证明与两根相关的不等式，如、、等. 3.必备辅助工具 （1）对数均值不等式：对任意正数，有，取等条件为.常用于比值换元后的不等式放缩，是解决指数、对数型极值点偏移问题的核心工具. （2）导数单调性判定：通过一阶导数判断原函数单调性，通过二阶导数判断一阶导数单调性（即原函数凹凸性），为构造函数的单调性分析提供依据. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：对称化构造（差函数构造）】 【核心归纳】 【方法核心】利用函数在极值点两侧的对称性，构造与极值点相关的差函数，通过分析差函数的单调性，将双变量问题转化为单变量问题，进而证明不等式.此方法适配性强，尤其适合解决类加法型偏移问题 1.解题模板（四步走） 1.Step1：求导分析原函数单调性，确定极值点 对求导得，解方程得极值点，明确在和上的单调性（如左减右增或左增右减）. 2.Step2：构造对称差函数 核心构造形式：（或）. 原理：通过对称变换，将转化为，利用差函数符号判断与的大小关系. 3.Step3：分析差函数的单调性与符号 对求导得，判断在目标区间（如）的符号，得出的单调性，进而确定与的大小关系（如时）. 4.Step4：结合原函数单调性证明结论 不妨设，由得，即.结合，得，再由原函数单调性（如单调递减）得，整理得. 2.典型例题（融合网络名师精讲题型） 例：已知函数（），若有两个零点，证明：. 【解析】 （1）求导分析：，令得极值点.在单调递减，在单调递增. （2）构造差函数：设（），则. （3）分析差函数：，故在单调递减，，即. （4）证明结论：不妨设，则，由及，得，故.又，在单调递减，故，即. 【易错提示】 构造函数形式错误：需紧扣极值点，加法型偏移优先构造，避免构造方向偏差. 忽略变量范围：差函数的定义域需与原函数单调区间匹配（如上述例题中），否则单调性分析无效. 未结合原函数单调性“脱”：最后一步需通过原函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系，这是对称化构造的关键收尾步骤. （2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点，.经典例题例题 (1)求a的取值范围； (2)证明：. （2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点、．证明：．小试牛刀1 （2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中a为常数．若函数有两个不相等的零点，证明：．（）小试牛刀2 （2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中.当时，设的两个零点为，，求证：.小试牛刀3 【热点题型2：比（差）值换元】 【核心归纳】 【方法核心】当对称化构造适配性不足（如含指数、对数的乘积型偏移问题）时，通过引入比值或差值参数，将双变量转化为单变量，再构造关于的函数证明不等式.此方法是《高中数学各个击破》重点讲解的进阶方法，能有效解决复杂双变量问题. 1.分类与解题模板 （1）比值换元（最常用） 适用场景：含指数、对数的乘积型或商型偏移问题（如、）. 1.Step1：设定比值参数 不妨设，令（），则. 2.Step2：结合题设条件消参化简 由列出等式，代入，消去参数（或其他参数），建立与的关系（如通过对数变形分离）. 3.Step3：构造关于的函数 将目标不等式转化为关于的不等式，构造函数，通过求导分析的单调性与最值，证明不等式成立. （2）差值换元 适用场景：变量差值易表示的问题（如，）. 1.Step1：设定差值参数 令（），则. 2.Step2：消参转化 由建立关于和的等式，消去（或保留作为辅助变量），转化为单变量的问题. 3.Step3：构造函数证明 同比值换元，构造，通过导数分析证明结论. 2.典型例题（结合对数均值不等式应用） 例：已知函数（）有两个零点，证明：. 【解析】 （1）比值换元：由，，两式相除得，取对数得.令（），则，代入得，解得，. （2）转化目标不等式：等价于，即. （3）构造函数证明：设（），求导得.令，则，当时，，故，在单调递增.又，故，即，原不等式得证. 【易错提示】 参数范围界定：比值换元后（或），差值换元后，需明确参数范围以确保单调性分析准确. 对数均值不等式的灵活运用：当出现形式时，可直接利用对数均值不等式放缩，简化证明过程（如上述例题可通过快速推导）. 代数变形技巧：换元后需通过对数、指数变形将双变量等式转化为单变量表达式，避免出现复杂分式或根式，降低求导难度. （24-25高二下·福建莆田·月考）已知函数.经典例题例题 (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【规律方法总结】 问题类型 优先方法 适用场景 加法型偏移（） 对称化构造 不含复杂指数、对数，或函数对称性易分析 乘积/商型偏移（、） 比值换元 含指数、对数，双变量乘积/商易通过换元转化 变量差值明确的问题 差值换元 易表示，或差值与参数关联紧密 （2025高三·全国·专题练习）已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）已知，是函数的两个零点，且，求证：小试牛刀2 (1)； (2)． （2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.小试牛刀3 (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 课后针对训练 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 3．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 4．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 5．（2022·山东·模拟预测）已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 6．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 7．（2024·四川眉山·三模）已知函数. (1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围； (2)若有两个不同极值点. ①求的取值范围； ②当时，证明：. 8．（2024·天津·一模）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 9．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 10．（2022·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点19：极值点偏移】 【高考定位】 极值点偏移问题是导数综合题的核心压轴题型之一，本质是函数在极值点两侧增减速率不对称导致零点（或极值相关点）偏离中点的现象.此类问题常以不等式证明形式出现，考查函数单调性分析、构造思想与转化能力，是二轮复习需重点突破的难点. 【知识拓展】 1.极值点偏移的定义与本质 设函数在处取得极值，若方程有两个不等实根（即函数有两个零点），满足： 无偏移：若函数图象关于直线对称（如二次函数），则； 左偏移：若函数在左侧增减速率快于右侧（左陡右缓），则； 右偏移：若函数在右侧增减速率快于左侧（右陡左缓），则. 本质：函数的凹凸性决定增减速率，进而导致极值点偏移.可通过二阶导数符号辅助判断凹凸性 2.常见题设特征与核心目标 （1）题设条件：①函数有唯一极值点；②存在两个不等实根满足（或). （2）核心目标：证明与两根相关的不等式，如、、等. 3.必备辅助工具 （1）对数均值不等式：对任意正数，有，取等条件为.常用于比值换元后的不等式放缩，是解决指数、对数型极值点偏移问题的核心工具. （2）导数单调性判定：通过一阶导数判断原函数单调性，通过二阶导数判断一阶导数单调性（即原函数凹凸性），为构造函数的单调性分析提供依据. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：对称化构造（差函数构造）】 【核心归纳】 【方法核心】利用函数在极值点两侧的对称性，构造与极值点相关的差函数，通过分析差函数的单调性，将双变量问题转化为单变量问题，进而证明不等式.此方法适配性强，尤其适合解决类加法型偏移问题 1.解题模板（四步走） 1.Step1：求导分析原函数单调性，确定极值点 对求导得，解方程得极值点，明确在和上的单调性（如左减右增或左增右减）. 2.Step2：构造对称差函数 核心构造形式：（或）. 原理：通过对称变换，将转化为，利用差函数符号判断与的大小关系. 3.Step3：分析差函数的单调性与符号 对求导得，判断在目标区间（如）的符号，得出的单调性，进而确定与的大小关系（如时）. 4.Step4：结合原函数单调性证明结论 不妨设，由得，即.结合，得，再由原函数单调性（如单调递减）得，整理得. 2.典型例题（融合网络名师精讲题型） 例：已知函数（），若有两个零点，证明：. 【解析】 （1）求导分析：，令得极值点.在单调递减，在单调递增. （2）构造差函数：设（），则. （3）分析差函数：，故在单调递减，，即. （4）证明结论：不妨设，则，由及，得，故.又，在单调递减，故，即. 【易错提示】 构造函数形式错误：需紧扣极值点，加法型偏移优先构造，避免构造方向偏差. 忽略变量范围：差函数的定义域需与原函数单调区间匹配（如上述例题中），否则单调性分析无效. 未结合原函数单调性“脱”：最后一步需通过原函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系，这是对称化构造的关键收尾步骤. （2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点，.经典例题例题 (1)求a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导函数的符号来确定函数单调性（要根据导函数零点来分类），即可求解； （2）借助（1）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，利用导数判断其单调性，即可证明． 【详解】（1）由，得． 若，则，只有一个零点． 若，则当时，；当时，． 所以在单调递减，在上单调递增． 当时，，故，又， 所以在上必存在一个零点； 当时，，则在上必存在一个零点； 故时，存在两个零点． 若，由得或． 若，则，故当时，， 因此在单调递增．在内至多有一个零点； 又当时，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，． 因此在单调递减，在和上均单调递增． 而，则，此时在内无零点， 而当时，，故上有一个零点； 又当时，，所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （2）不妨设，由（1）知，， 在单调递减，所以等价于，即． 由于，而， 所以． 设，则． 所以当时，，此时在上单调递减， 而，故当时，． 从而，故． （2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点、．证明：．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】构造新函数，通过其单调性，转化为函数的零点问题，分析函数的单调性，设，可得出，构造新函数，通过其单调性，确定其正负，对进行放缩，从而证明. 【详解】令，得，则， 即， 令函数，则， 因为在上单调递增，所以，即 令函数，则， 令，得，，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 由题意可知，函数有两个零点、，不妨设，则， 令函数，则， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，；当时，． 所以，， 即，， 所以由有两个不相等的正根、，且 得，则， ，则，即， 所以， 因为，所以． （2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中a为常数．若函数有两个不相等的零点，证明：．（）小试牛刀2 【答案】证明见解析 【分析】先得到的单调性和极值情况，确定，不妨令，分析得到只需证，构造差函数，进行证明即可. 【详解】定义域为， 故， 因为，所以，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， ， 又趋向于0或时，趋向于， 由零点存在性定理可得，只需成立， 即，故， 此时存在两个不相等的零点，不妨令， 要证，即证，而，， 由于在上单调递增，只需证， 令，， 则 ， 显然，当时，， 所以在上单调递增， 故，故，即， 又，故，得证. （2025高二·全国·专题练习）已知函数，其中.当时，设的两个零点为，，求证：.小试牛刀3 【答案】证明见解析 【分析】对求导，可得在上单调递增，在上单调递减，不妨设，可得，，要证，只需证，只需证，令求导可得，得证. 【详解】由，因为，所以定义域为， 则， 令，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，又，故，. 要证，只需证，而， 又在上单调递减，只需证即可. 又， 令，则，所以在上单调递增， 故，即，则， 所以. 【热点题型2：比（差）值换元】 【核心归纳】 【方法核心】当对称化构造适配性不足（如含指数、对数的乘积型偏移问题）时，通过引入比值或差值参数，将双变量转化为单变量，再构造关于的函数证明不等式.此方法是《高中数学各个击破》重点讲解的进阶方法，能有效解决复杂双变量问题. 1.分类与解题模板 （1）比值换元（最常用） 适用场景：含指数、对数的乘积型或商型偏移问题（如、）. 1.Step1：设定比值参数 不妨设，令（），则. 2.Step2：结合题设条件消参化简 由列出等式，代入，消去参数（或其他参数），建立与的关系（如通过对数变形分离）. 3.Step3：构造关于的函数 将目标不等式转化为关于的不等式，构造函数，通过求导分析的单调性与最值，证明不等式成立. （2）差值换元 适用场景：变量差值易表示的问题（如，）. 1.Step1：设定差值参数 令（），则. 2.Step2：消参转化 由建立关于和的等式，消去（或保留作为辅助变量），转化为单变量的问题. 3.Step3：构造函数证明 同比值换元，构造，通过导数分析证明结论. 2.典型例题（结合对数均值不等式应用） 例：已知函数（）有两个零点，证明：. 【解析】 （1）比值换元：由，，两式相除得，取对数得.令（），则，代入得，解得，. （2）转化目标不等式：等价于，即. （3）构造函数证明：设（），求导得.令，则，当时，，故，在单调递增.又，故，即，原不等式得证. 【易错提示】 参数范围界定：比值换元后（或），差值换元后，需明确参数范围以确保单调性分析准确. 对数均值不等式的灵活运用：当出现形式时，可直接利用对数均值不等式放缩，简化证明过程（如上述例题可通过快速推导）. 代数变形技巧：换元后需通过对数、指数变形将双变量等式转化为单变量表达式，避免出现复杂分式或根式，降低求导难度. （24-25高二下·福建莆田·月考）已知函数.经典例题例题 (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合参变分离得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数在不同取值下，函数的零点个数； （2）由题意可得得，要证明，只需证明，设，则，即证即可，令，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且，由可得， 令，其中，则， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，的极小值为， 且当时，；当时，. 如下图所示： 当 时，即当时，直线与函数只有一个公共点， 当时，即当时，直线与函数有两个公共点， 当时，即当时，直线与函数无交点. 综上所述，当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. （2）由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以. 【规律方法总结】 问题类型 优先方法 适用场景 加法型偏移（） 对称化构造 不含复杂指数、对数，或函数对称性易分析 乘积/商型偏移（、） 比值换元 含指数、对数，双变量乘积/商易通过换元转化 变量差值明确的问题 差值换元 易表示，或差值与参数关联紧密 （2025高三·全国·专题练习）已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】求函数导数，由函数存在极值点得到，，代入需要证明的不等式中并分离常数得到不等式，再由得到的代数式，从而建立不等式，通过换元后构造函数，并求导数，从而得到函数的单调性，从而知道的最值，然后证明不等式成立. 【详解】． 因为有两个不同的极值点，所以，. 欲证，即证，又， 所以原式等价于①． 由， 得②． 由①②知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即. （2025高三·全国·专题练习）已知，是函数的两个零点，且，求证：小试牛刀2 (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）转化为，曲线与直线有两个交点，求导得到的单调性，进而得到，且，转化为要证，即证．令，则，构造函数进行证明； （2）在（1）基础上，得到要证，即证，等价于证．令，则等价于证，构造函数进行证明. 【详解】（1）显然当时，，故0不是的零点， ，问题可以转化为曲线与直线有两个交点． ，当时，，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且时，，当时，，当时，， 故， 且得，则有 故要证，即证，即证， 即证． 令，则，即， 设， 则，令， 则， 从而单调递增，， 所以单调递增，．故原不等式得证． （2）由（1）可知，相乘得， 要证，即证，等价于证， 即证，等价于证． 令，则等价于证， 即证，等价于证． 令，则， 再令，则， 在上单调递减，， 从而，在上单调递减，，所以原不等式成立． （2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.小试牛刀3 (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知， ， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，， ， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证 ， 因为，所以 ， 而 ，得证. 课后针对训练 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性. (2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论. 【详解】(1)的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， (2)[方法一]：等价转化 由得，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， ①令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． [方法二]【最优解】：变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设． 由（1）知，先证． 要证： ． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． [方法三]：比值代换 证明同证法2．以下证明． 不妨设，则， 由得，， 要证，只需证，两边取对数得， 即， 即证． 记，则. 记，则， 所以，在区间内单调递减．，则， 所以在区间内单调递减． 由得，所以， 即． [方法四]：构造函数法 由已知得，令， 不妨设，所以． 由（Ⅰ）知，，只需证． 证明同证法2． 再证明．令． 令，则． 所以，在区间内单调递增． 因为，所以，即 又因为，所以， 即． 因为，所以，即． 综上，有结论得证． 【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能. 方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略. 方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 【详解】（1）由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. （2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②由（1）知，当时，，令， 求导得 ， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 3．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增． (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，由导数符号即可求解； （2）（i）由题意知，问题转换成有两根，通过取对数，同构，构造函数，通过其单调性即可求解；（ii）构造函数，通过求导，确定单调性，确定最值，即可求解； 【详解】（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 4．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 5．（2022·山东·模拟预测）已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，分和研究函数的单调性，根据零点个数数形结合求解参数范围即可； （2）令，将证明问题转化为，令，即证，构造函数，利用导数法研究单调性，即可得证. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，，在上无零点，与题意不符， 当时，由，得，令， 所以若有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 易得，令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减，所以， 又，当时，，所以函数的大致图象如图所示， 由图可知，当，即时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （2）由，得， 令，则，易得， 所以函数在上单调递增， 令，则关于的方程有两个实数根，且， 要证，即证，即证，即证， 由已知得，所以，所以， 不妨设，即证， 即证，令，即证，其中， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增，所以，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围. 6．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的极小值点为，代入函数求解； （2）首先求出的范围，再通过构造对称函数证明，根据的范围即可证明。 【详解】（1），当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值， 由，解得或（舍去）. 故的值为。 （2）由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根. 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 验证可知，， 由得，所以. 当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根. 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，则. 令， 则， 所以在上单调递增，则当时，， 所以 又，函数在上单调递减， 所以，则， 因为，故. 【点睛】方法点睛：本题属于极值点偏移问题：解决此类问题的方法主要有：利用对数平均不等式，构造对称函数，换元法构造函数等。 关键点点睛：本题采用的构造对称函数，解题的关键有两点： 1：参数的取值范围； 2：构造， 7．（2024·四川眉山·三模）已知函数. (1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围； (2)若有两个不同极值点. ①求的取值范围； ②当时，证明：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，探讨函数有两个零点的的值范围. （2）①由有两个零点，结合零点的意义分离参数，求出直线与函数图象有两个公共点的的值范围；②由方程根的意义可得，分析所证不等式，换元并证明即可. 【详解】（1）依题意，， 设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率， 切线方程为，而点在切线上， 则，即有， 由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根， 令，则函数有2个零点， 求导得， ①若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值， 又， 当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ②若，恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； ③若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又， 显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ④若，显然，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 要函数有2个零点，必有，得， 当时，， 而函数在上的值域为，因此在上的值域为， 当时，令，求导得，函数在上单调递减， 则，， 而函数在上单调递减，值域为， 因此函数在上的值域为， 于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是. （2）①由（1）知，， 由函数有两个极值点，得，即有两个实数根， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，上单调递减，， 且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根 所以函数有两个极点时，的取值范围是. ②由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 则在时单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 8．（2024·天津·一模）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)（i）单调增区间为，，单调减区间为 （ii）证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间； （ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证. 【详解】（1）， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）（i）， ， ∵时，取得极值，∴，解得， ∴， 令，得或；令，得， ∴的单调增区间为，，单调减区间为； （ii）， ∵存在两个极值点， ∴方程，即在上有两个不等实根. ∵，解得， 则 ∴所证不等式等价于， 即， 不妨设，即证， 令，， 则， ∴在上递增，∴， ∴成立， ∴. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 9．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减， (2)见解析 【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对求导，得到的单调性和最值可证得，即可证明. 10．（2022·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【答案】(1)无最小值，最大值为 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解. （2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明. 【详解】（1）由题意得，则. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为. （2），则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①. 由，得，则②. 由①②可知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即. 【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系； 通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数， 利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $