第六章 习题课1 计数原理的综合应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习（人教A版）

[必备知识·基础巩固]

1．已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同值的个数为(　　)

A．2　　　　　　　　 B．4

C．8    D．15

解析　完成xy这件事分两步，

第一步：从集合{1，2，3，4}选一个数，共有4种选法；

第二步：从集合{5，6，7，8}选一个数，共有4种选法：

共有4×4＝16种选法．其中3×8＝4×6，所以xy可表示的不同值的个数为15.

答案　D

2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)

A．144    B．120

C．72    D．24

解析　剩余的3个座位共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择．根据分步计数原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.故选D.

答案　D

3．一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有(　　)

A．6种    B．8种

C．36种    D．48种

解析　如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．

答案　D

4．(多选题)现有3名老师，8名男学生和5名女学生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是(　　)

A．只需1人参加，有16种不同选法

B．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同选法

C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法

D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法

解析　选项A，分三类：取老师有3种选法，取男学生有8种选法，取女学生有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种选法，故A正确；

选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男学生，第三步选女学生，故共有3×8×5＝120种选法，故B正确；

选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男学生，第二类选女学生，故共有3×(8＋5)＝39种选法，故C正确；

选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误．

故选ABC.

答案　ABC

5．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数，共有________个．

解析　根据题意个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).

答案　36

6．某中学高二(1)班一学生由教学楼五层走到一层去做课间操，每层均有两个楼梯，则他的走法有______种．

解析　利用分步乘法计数原理即可求出结果．

共分4步：五层到四层2种，四层到三层2种，三层到二层2种，二层到一层2种，

一共24＝16种．

答案　16

7．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有______个．

解析　分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4, 共4种情况，分别求得满足题意的“好数”的个数，根据分类加法计数原理，即可得答案．

当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况．

当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种结

果，

当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种结果，

根据分类加法计数原理可知，共有12种结果．

答案　12

8．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．

(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？

(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？

解析　(1)分三类：

第一类，选出的是医生，有3种选法；

第二类，选出的是护士，有5种选法；

第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．

根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10种选法．

(2)分三步：

第一步，选1名医生，有3种选法；

第二步，选1名护士，有5种选法；

第三步，选1名麻醉师，有2种选法．

根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30种选法．

[关键能力·综合提升]

9．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)

A．14　　 B．13  

C．12　　 D．10

解析　由已知得ab≤1.

若a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；

若a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；

若a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；

若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．

∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.

答案　B

10．某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是(　　)