培优重难点专题6-2 排列与组合的综合应用（2知识点+20题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

重难点培优专题：排列与组合的综合应用 排列的意义和理解 排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 组合意义的理解 1.组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数定义及公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，即组合数，用符号C表示，其中C＝＝. 3．组合的性质： 性质1：C＝； 性质2：C＝. 4. 排列与组合的概念 名称 定义 区别 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 排列有序，组合无序 组合 合成一组 【方法技巧】关于排列组合常用的方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 题型一：全排列问题 【例题1】．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用间接法即可得解. 【详解】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种， 若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种， 因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种. 故选：C. 【变式1-1】．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 【答案】216 【难度】0.4 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】甲，乙出卡片的种数均有种，不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，先求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，分三种情况：甲、乙每轮所出数字大小有一张、有两张、有三张卡片数字相同讨论，进而求出甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种，则，得解. 【详解】甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种. 不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况， 则乙每轮所出数字有以下三种情况： ①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同， 不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同， 有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况； ②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同， 不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同， 有1，2，4，3一种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况； ③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同， 则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况. 故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有种， 所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故答案为：216. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，得到甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况. 【变式1-2】．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题 【分析】按照甲拿没拿乙或丙的包分两类，分别计算都拿错的种数，再由古典概型计算即可. 【详解】第一种情况，甲拿了乙或者丙的旅行包，有种情况； 第二种情况，甲没有拿乙和丙的旅行包，有种情况. 故所求的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用分类分步计数原理求得甲、乙、丙三人都拿错旅行包的可能情况，从而得解 题型二：捆绑法模型 【解题技巧】在排列组合相关题型解题时，若遇到相关元素必须放在一起的，可以绑定在一起，当成一个元素来计算， 【例题1】．（24-25高二上·河南·阶段练习）在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】2个特殊的文物利用捆绑法，再与其他文物全排列即可. 【详解】先把2件特殊的文物放一起，看做一个整体与其余3个全排列， 共有种不同的排法， 故选：B 【变式2-1】．（24-25高二上·河南·期中）甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全排列问题 【分析】将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可，利用排列数公式可得结果. 【详解】先将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可， 所以，恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为. 故选：D. 【变式2-2】．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】用列举法写出符合题意的填写方法，然后根据概率公式计算． 【详解】符合题意的填写方法有如下8种： 而9个数填入9个格子有种方法 所以所求概率为， 故选：A． 【变式2-3】．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 【变式2-4】．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 【变式2-5】．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】(1)16 (2)384 (3)96 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）利用分步计数原理即可； （2）利用插空法来排列即可； （3）利用捆绑法来排列即可. 【详解】（1）先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 【变式2-6】．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）从A，B，C等7人中选5人排成一排． ①若A必须在内，有多少种排法？ ②若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ （2）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有多少种？ 【答案】（1）①1800，②144；（2）52 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、分组分配问题 【分析】（1）根据相邻问题捆绑不相邻问题插空计算即可； （2）根据甲乙参加A活动或不参加A活动分类得出分组计算. 【详解】（1）①根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有种排法. ②根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法， 将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法， 排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况， 所以共有种不同的排法． （2）甲或乙参加A活动的情况有种， 甲和乙都不参加A活动的情况有种， 则他们参加活动的不同方案有种 题型三：插空法模型 【解题技巧】一般情况下，插空法适用于不能排在一起的元素，遇到此类问题，可以先排没有顺序限制的，然后把剩下的元素排在两两之间的空里。 【例题1】．（24-25高三上·重庆·阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（    ） A．432 B．864 C．1728 D．2592 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先计算甲队的排列总数，分别要用上捆绑法和除序法；然后再利用插空法计算乙队的排列总数，最后利用计数原理计算总的排列方法数即可. 【详解】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共为种； 乙队，利用插空法得种； 按照计数原理可知，一共种. 故选：C 【变式3-1】．（2024高三·全国·专题练习）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题 【分析】用排除法，5本书的全排列减去语文书和数学书中只有一种是两本相邻的排列数，再减去语文书相邻数学书也相邻的排列数即可得． 【详解】 故选：B． 【变式3-2】．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得. 【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 【变式3-3】．（24-25高二上·福建宁德·期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】利用捆绑法求出A选项中结果，利用特殊优先求出B选项结果，利用插空法求出C选项结果，由排列组合求出D选项结果. 【详解】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确； B.B，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确； C，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误； D，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故D正确． 故选：ABD 【变式3-4】．（24-25高二上·山东东营·期末）将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】对于A：可知头尾为女生，剩下5人全排列，结合排列数分析判断；对于B：利用间接法，先求男生不在头尾且相邻的不同排法，结合选项A分析判断；对于C：高度要求已经固定，现只需选人即可，结合组合数分析判断；对于D：分类讨论甲是否在头尾，结合排列数分析判断. 【详解】对于A：男生不在头尾，则头尾为女生，剩下5人全排列， 所以不同排法有种，故A正确； 对于B：若男生不在头尾且相邻的不同排法有种， 所以男生不在头尾且不相邻的不同排法有种，故B错误； 对于C：因为高度要求已经固定，现只需选人即可， 则左边从剩余6人选择3人即可，所以不同的排法有种，故C正确； 对于D：若甲在头尾，不同排法有种； 若甲不在头尾，不同排法有种； 所以2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有种，故D错误； 故选：AC. 【变式3-5】．（24-25高二上·北京·阶段练习）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 【答案】(1)240 (2)432 (3)144 (4)72 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）先排唱歌节目，再排其他节目，由乘法原理可得答案； （2）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【详解】（1）先排唱歌节目，有2种排法， 再将剩下的5个节目全排列，有种方法， 故共有种排法； （2）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. 【变式3-6】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【答案】(1)120 (2)144 (3)540 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、分组分配问题 【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数. 【详解】（1）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 题型四：隔板法模型 【解题技巧】数数需要分几个部分，然后把板子插进去进行排列 【例题1】．（23-24高二下·河南开封·期末）学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，2个集体节目分别安排在第1个和最后1个，还有3个音乐节目、2个舞蹈节目、1个小品节目，要求同类节目不能连续安排，则共有 种不同的排法（填写数字）． 【答案】240 【难度】0.4 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先分步，第一步：先排2个集体节目，第二步：排剩余6个节目，在这里又要分类，利用计数原理即可求解. 【详解】第一步：2个集体节目共有种排法； 第二步：设先后顺序为第1，2，3，4，5，6，7，8场， 第一类：将3个音乐节目排在第2，4，6场，再排剩下的节目共有种排法； 第二类：将3个音乐节目排在第2，4，7场，再排剩下的节目共有种排法； 第三类：将3个音乐节目排在第2，5，7场，再排剩下的节目共有种排法； 第四类：将3个音乐节目排在第3，5，7场，再排剩下的节目共有种排法； 综上所述，满足题意的排法共有种. 故答案为：240. 【点睛】关键点点睛：对需要完成的事情进行适当的分步、分类，分步时做到条理清晰，分类时做到不重不漏，由此即可顺利得解. 【变式4-1】．（23-24高二下·湖北武汉·期中）学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（   ）种． A．480 B．360 C．570 D．540 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得，结合分类加法原理计算． 【详解】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得． 因此所求方法数为， 故选：C． 题型五：定序倍缩法 【解题技巧】在n个元素里有m个元素确定顺序，有种方法 【例题1】．（23-24高二下·河北张家口·期末）小明同学设置手机密码的六位数字，准备将e（）的前6位数字（1，2，2，7，8，8，）按照一定的顺序进行设置． (1)记事件：相同的数字排在一起，求事件发生的概率； (2)记事件：只有一组相同的数字排在一起，求事件发生的概率； (3)记事件：相同数字不相邻且相同数字之间只有一个数字，求事件发生的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、相邻问题的排列问题、排列组合综合 【分析】（1）借助捆绑法处理元素问题，结合概率公式计算即可得； （2）相同元素问题使用倍缩法处理后，结合概率公式计算即可得； （3）分两个2之间是否为8进行讨论，结合概率公式计算即可得. 【详解】（1）将相同的数字排在一起，只需将两个2、两个8分别看成同一元素， 与另外两个元素全排列即可，此时共有种不同排法， 任意排列时共有种不同排法， 故； （2）只有一组相同的数字排在一起，共有种不同排法， 则； （3）若两个2之间不是8，两个8之间不是2，则有种不同排法， 若两个2之间是8，则必有或的排序， 此时共有种不同排法，故共有种不同排法， 则. 【变式5-1】．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者. （i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ （ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ （2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示） （3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示） 【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60 【难度】0.65 【知识点】其他组合计数模型、分组分配问题 【分析】 （1）（i）利用隔板法求解即可； （ii）把，视为一人，再把人按和分组，再分配即可； （2）把4名干部按和分成两组，再分配到两个街道列式计算作答； （3）根据给定条件，利用倍缩法列式计算作答. 【详解】 （1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙， 插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可， 所以不同的发放方法种； （ii）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆， 分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 所以不同的安排方法有种方法； （2）把4名干部按分成两组，有种分组方法， 按分成两组，有种分组方法， 所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）； （3）依题意，6串香蕉任意收取有种方法， 其中中间一列按从下往上有1种，占， 最右一列按从下往上只有1种，占， 所以不同取法数是（种）. 题型六：分组法 【解题技巧】平均分多少组，就除以多少的全排列 重难点1：平均分组 【例题1】．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】分类考虑前往每个景区的人数，求出每种情况的方案数，即可得答案. 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案的种数为（种）， 故选：D 【变式6-1】．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 【变式6-2】．（24-25高三上·天津和平·期末）在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字作答） 【答案】540 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】本题为先分组再分配问题，第一步先分组，第二步再分配. 【详解】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人， 则分组方式为或或； 第一步先分组，分组方式共有种； 第二步再分配，三个组三个任务，由排列的定义可知为全排列种分配方案； 第三步根据分步乘法原理总计种安排方案. 故答案为：540. 【变式6-3】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【答案】(1)120 (2)144 (3)540 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、分组分配问题 【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数. 【详解】（1）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 【变式6-4】．（23-24高二上·辽宁丹东·阶段练习）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有 种． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用 【详解】设2名教师为A，B，利用分步乘法计数原理即可求得不同的安排方案种数． 【解答】设2名教师为A，B， 第一步，先分组，与A同组的2名学生共有种方案，另两名学生与B同组有种方案， 第二步，再安排到甲、乙两地参加社会实践活动，有种方案， 由分步乘法计数原理可得，共有种. 故答案为：12． 重难点2：不平均分组 【例题2】．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】将5个小球首先分成四组，再分别放入四个不同的盒子中去，保证小球不放入甲盒即可. 【详解】首先，将包含球的5个不同的小球分成四组，共有种组合； 然后，将含有球的一组小球放到除去甲盒之外的三个盒子中，共有种； 剩余三组小球再分别放入3个不同的盒子中，共种； 因此不同安排方案的种数是. 故选：A 【变式6-5】．（24-25高二上·河南驻马店·期末）3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，则分配方法共有（   ） A．18种 B．36种 C．54种 D．72种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】首先利用分步计数原理，然后利用分类加法原理求解即可. 【详解】当学校甲分配一名医生和2名护士时，学校乙分配2名医生和2名护士， 共有种分配方法； 当学校甲分配2名医生和2名护士时，学校乙分配1名医生和2名护士， 共有种分配方法； 分类相加，所以共有36种. 故选：B 【变式6-6】．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余6个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可． 【详解】若小王在甲号路口，小李在乙号路口，则剩余6个人分到两个路口， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 此时共有种方案； 同理若小王在甲号路口，小李在乙号路口，也共有种方案． 所以一共有种不同的安排方案种数． 故选：C． 【变式6-7】．（24-25高二上·黑龙江·期末）2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办.现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 . 【答案】14 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】先将4名学生分为2组，然后再分配到2种不同体育运动进行宣讲，根据分步乘法计数原理可求结果. 【详解】第步：根据分类加法计数原理求名学生志愿者分组的种数， 4名学生志愿者分为2组，共有两种情况： ①一组3人，另一组1人，共有种；②一组2人，另一组2人，共有种， 所以共有种分法， 第2步：根据分步乘法计数原理计算所求， 由上可知，不同的分配方案种数为种． 故答案为：. 【变式6-8】．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（   ） A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数，相减得符合的方法数. 【详解】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法， 若甲、乙安排在同一个学校，则有种不同安排方法， 甲、乙不安排在同一所学校的方法数有种． 故选：C． 【变式6-9】．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案. 【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C. 重难点3：部分平均分组 【例题3】．（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、全排列问题、分组分配问题 【分析】先进行分组，有和两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案. 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 【变式6-10】．（24-25高二上·江西抚州·期末）在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】五名同学分三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有种， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种， 故选：B. 【变式6-11】．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案的种数，相加即得答案. 【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 【变式6-12】．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 题型七：排队问题 重难点1：单排问题 【例题1】．（2024高三·全国·专题练习）三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】利用条件概率结合计数原理求解. 【详解】从三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，共有 种不同排法， 女生甲不在两端，同时有且只有两个女生相邻分两类 女生甲单独站，则有 ； 女生甲和另一个女生站一起，则有 , 所以，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是 ． 故选：D. 【变式7-1】．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：C． 【变式7-2】．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】分两种情况讨论：只有两个女生相邻、三个女生都相邻，利用捆绑法与插空法可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论： 若只有两个女生相邻，将三个女生分为两组，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种； 若三个女生都相邻，将这三个女生视为一个整体，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种. 综上所述，至少有两个女生相邻的站法种数为种. 故答案为：. 重难点2：多排问题 【例题2】．（23-24高三上·江苏·阶段练习）第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答） 【答案】336 【难度】0.4 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】考虑到前排是有两种不同名称的吉祥物，还是有三种不同名称的吉祥物，分类求出排法数，根据分类加法计数原理即可得答案. 【详解】由题意可分两种情形： ①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种， 其中一种取两个，另一种选一个，有种排法； 其次，后排有种排法，故共有种不同的排法； ②前排含有三种不同名称的吉祥物，有种排法； 后排有种排法，此时共有种排法； 因此，共有种排法， 故答案为：336 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是分类考虑，即考虑到前排是有两种不同名称的吉祥物，还是有三种不同名称的吉祥物，分类求解即可. 重难点3：环排问题 【例题3】．（24-25高三上·湖北·阶段练习）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题 【分析】依题意环排问题转换为线排问题，再根据插空法求解. 【详解】环排问题线排策略，增加一个凳子． 九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种． 甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 故选：B. 重难点4：错排问题 【例题4】．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（    ） A．180 B．240 C．288 D．300 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】将6人进行编号，先选择一对双胞胎令其相邻，且两人可内部排列，故有种，再就这对双胞胎分别站的位置进行分类求解，结合分类加法计数原理进行求解. 【详解】将6人进行编号，分别为，其中为双胞胎，为双胞胎，为双胞胎， 从左到右站位，分别为， 先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有种选择， 再依次进行求解，若这对双胞胎分别站在位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择， 那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，号位置将固定排剩余2人， 此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置将固定排剩余2人，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置可将剩余2人进行全排列，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在或，可利用同种方法得到共有种选择， 综上，共有种排法. 故选：C 题型八：特殊元素法 【例题1】．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（    ） A．260种 B．220种 C．160种 D．130种 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】根据题意，分甲只安排一项任务与甲只安排两项任务讨论，结合排列数与组合数代入计算，即可得到结果. 【详解】若甲只安排一项任务，则有种； 若甲只安排两项任务，则有种； 故分配给甲的任务不超过两项的安排方法共有130种． 故选：D 【变式8-1】．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 【变式8-2】．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请、、、、五位党的二十大代表分别到一中、五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中、因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有 种. 【答案】126 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】先考虑人员分配到学校的不同组合情况，再针对每种情况计算其具体的选派方法数，最后相加即可. 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （1）从、、三人中选1人去蒙中，有种选法，剩下4人安排到其余三所学校， 即4人分成2,1,1三组，有种分法，然后将这三组全排列安排这三所学校有种排法， 根据分步原理，这种情况的选派方案有种； （2）从、、三人中选2人去蒙中，有种选法，剩下3人安排到其余三所学校， 有种排法，根据分步原理，这种情况的选派方案有种； 综上可得，共有种不同的选法. 故答案为：126. 题型九：特殊位置法 【例题1】．（24-25高二上·全国·课后作业）用蓝色和红色给一排10个方格染色，则至多两个蓝色相邻的方法种数为（    ） A．504 B．505 C．506 D．507 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分类讨论，第一，全部红色，第二，9红1蓝，第三8红2蓝，第四，7红3蓝，第五6红4蓝，第六，5红5蓝，第七，4红6蓝，第八，3红7蓝，再把各类相加即可. 【详解】第一类，10红0蓝，有种，小计1种 第二类，9红1蓝，有种，小计10种， 第三类，8红2蓝，有种，小计45种， 第四类，7红3蓝，可分为3蓝分开，有种，2蓝在一起，有，小计112种 第五类，6红4蓝，可分为4蓝分开，有种，两蓝，两蓝在一起，有种， 2蓝1蓝1蓝，有，小计161种 第六类，5红5蓝，可分5蓝分开，有种，2蓝1蓝1蓝1蓝，有， 2蓝2蓝1蓝，有，小计126种 第七类，4红6蓝，可分2蓝1蓝1蓝1蓝1蓝，有种， 2蓝2蓝1蓝1蓝，有种，2蓝2蓝2蓝，有种，小计45种 第八类，3红7蓝，有种，小计4种 合计504种. 故选：A 【变式9-1】．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（   ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排，两道程序，再排剩余的3道程序，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后， 则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法； 再排剩余的3道程序，共有种安排方法， 所以一共有种不同的顺序安排方法. 故选：B. 【变式9-2】．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 【变式9-3】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】以“宫”的顺序将音阶排序分为四类，再考虑“商”“角”顺序，运用排列组合知识可得答案. 【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶， 排成的音序有种； ④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶， 排成的音序有种. 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：A. 【变式9-4】．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．与相邻，共有240种排法 B．相隔一天介绍的方法种数为96 C．若与不相邻，共有480种排法 D．若在的前面，共有360种排法 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、其他排列模型 【分析】相邻捆绑法可判断A，特殊情况优先考虑，先安排，再排列，可判断，不相邻插空法可判断，定序问题用除法可判断. 【详解】对于A，与相邻，用捆绑法，共有种排法，故A正确； 对于，相隔一天介绍的方法种数为，故错误； 对于，若与不相邻，用插空法，共有种排法，故正确； 对于，若在的前面，属于定序问题，共有种排法，故正确； 故选： 题型十：间接法 【例题1】．（2023高二·江苏·专题练习）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)256(种) (2)24(种) (3)144(种) (4)12(种) 【难度】0.65 【知识点】其他组合计数模型、全排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可； （2）根据排列的定义求解即可； （3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解； （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解. 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法. （2）这是全排列问题，共有(种)放法. （3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个 盒子，有种投放方法，故共有(种)放法. （方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法， 所以共有(种)放法. （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球， 余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有(种)放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有(种)放法. 【变式10-1】．（24-25高二下·全国·课后作业）结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？ (2)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (3)将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (4)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 【答案】(1) (2)1800 (3)10 (4)8 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可求解； （2）根据题意，先选后排，结合分步乘法计数原理，代入计算，即可求解； （3）根据题意，由隔板法代入计算，即可求解； （4）根据题意，结合分步乘法计数原理与分类加法计数原理，代入计算，即可求解. 【详解】（1）以信的角度去看第一封信有7个选择，第二封信有7个选择，…，所以共有种放法； （2）先选后排，必然有一个信箱放两封信，则从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法．故共有种放法； （3）相同元素隔板法，6封信排成一列，中间有5个空位，选取其中2个插入隔板，故有种放法； （4）若组的序号相同，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择， 同理可知其它序号相同时各有种选择，故共有种放法． 题型十一：涂色问题 【例题1】．（2025·湖南永州·模拟预测）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有 种. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、涂色问题、全排列问题 【分析】以不同顶点作为底面顶点作旋转确定不同朝向情况，再应用排列数求不同上色情况数，即可确定上色模式数. 【详解】假设一个正四面体四个顶点为、、、，则作底面顶点时，通过旋转，除底面外三个面的朝向有三种，如图所示： 同理，，作底面顶点时也分别有3种，一共有12种， 即一个正四面体可以通过旋转得到12种朝向. 因为四种颜色的排列数有种， 所以一共有种不同的上色模式. 故答案为：2 【变式11-1】．（22-23高二下·山西忻州·阶段练习）如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】其他组合计数模型、其他排列模型 【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数. 【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为； 若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为； 则不同的信号总数为. 故选：A． 【变式11-2】．（22-23高二下·广东惠州·阶段练习）用红､黄､蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、其他组合计数模型 【分析】根据题意，可以将该问题分成两类解决：一类是第3个圆与第1个圆的颜色相同，另一类是第3个圆与第1个圆的颜色不相同，最后根据分类加法计数原理，即可得到结果. 【详解】设六个圆的序号依次为1，2，3，4，5，6， 可知1，2共有种涂色方法，则有： 若3与1的颜色相同，则5必须与2的颜色相同，此时只有1种涂色方法； 若3与1的颜色不相同，即3的颜色与1，2均不相同，则4，5，6的颜色均不相同，共有种涂色方法； 故不同的涂色方案的种数是. 故选：C. 【变式11-3】．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、涂色问题 【分析】设图中的六个区域分别为，按照是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】如图，设图中的六个区域分别为， 按照是否同色，分两类： ①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况， 不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法； 用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种， 或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法， 所以不同色的涂法有：， ②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种， 所以同色的涂法有：， 综上，不同的涂色方法有：种. 故选：B. 【变式11-4】．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（   ）    A．156 B．144 C．96 D．78 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、涂色问题 【分析】依题意对、、、区域所选颜色分三种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】除B区域外，其他区域的种法分三类： 第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A区域选红色，有种不同的种法; 第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种， C，F同色或D，E同色，A区域有2种选法，有种不同的种法; 第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种， C，F同色且D，E同色，A区域有3种选法，有种不同的种法． 综上可得，共有（种）不同的种法． 故选：A 【变式11-5】．（23-24高二下·重庆·期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有 种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有 种. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】按同色区域用黄色和不用黄色分类，再结合分步乘法计数原理列式计算即得；按用色多少分成3类，再在每一类中采用先取后排的方法列式计算即得. 【详解】根据题意，要求四个区域中有且只有一组相邻区域同色，而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为同色， ①若同时染黄色，则另外两个区域共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色， 所以这两个区域共有，因此这种情况共有种染色方法， 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种； 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选，分3种情况讨论： ①若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； ②若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一共有种染色方法； ③若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所以共有种染色方法， 综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：染色问题，可以按用色多少分类，再在每一类中找同色方案，并结合排列组合综合问题求解. 题型十二：多面手问题 【例题1】．（24-25高三上·四川巴中·期末）为了加强家校联系，某班举行一次座谈会，会上邀请了6位学生及他们的父母总共18人参加，并从中选出6位代表发言，如果这6人由其中一个家庭的3人与其他三个家庭中的各1人组成，那么不同的选人方案有（    ） A．720种 B．1240种 C．1440种 D．1620种 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】先选出一个家庭，该家庭的所有成员都被选中，再从剩余家庭中选出3个，每个家庭再选一人即可，按照分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】根据题意可知从6个家庭中任意选出一个，这个家庭的3人都被选中，共有种选择； 再从剩余的5个家庭里面选出3个家庭，共有种选择； 最后从3组家庭中各选一人，即有种； 因此不同的选人方案共有种. 故选：D 【变式12-1】．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成 个平行四边形． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、几何组合计数问题 【分析】结合题意由组合数计算即可； 【详解】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形， 所以共有个， 故答案为：1260. 【变式12-2】．（23-24高二下·广西贵港·期末）至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有 个． 【答案】42 【难度】0.65 【知识点】几何组合计数问题 【分析】运用确定平面的定理，结合组合可解. 【详解】如图，在正五棱台中，仅经过5个顶点的平面有2个． 因为，所以仅经过这8个顶点中的4个顶点的平面有4个， 类似于的平行线还有4组，则仅经过4个顶点的平面有个． 故所求的平面共有个． 故答案为：42． 【变式12-3】．（23-24高二下·上海·期中）平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 直线 【答案】26 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、几何组合计数问题 【分析】由分类加法和分步乘法结合组合数的性质计算可得. 【详解】先分类，再分步. 当取3个共线的点中的两个时，可确定1条； 当取不共线的5个点中的两个时，可确定条； 当取不共线的5个点中的一个与共线三个点点中的一个时，可确定条； 所以一共26条. 故答案为：26 题型十三：分解与合成模型 【例题1】．（23-24高二下·河南郑州·期中）现有包含甲在内的5名实习教师全部分配到我校高二年级的2501班、2502班、2503班3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中实习生甲不去2501班，则不同的分配方案有 种.（用数字作答） 【答案】60 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合排列、组合知识列式计算即得. 【详解】依题意，去2501班实习的教师可以是1人或2人， 有1人去2501班时，由甲不去2501班，则从另外4人中选1人去2501甲班，有种选法， 再选2人去2502班，有种选法，剩下2人去2503班，有种方法， 这是分3步完成的，因此有种方案； 有2人去2501班时，由甲不去2501班，则从另外4人中选2人去2501班，有种选法， 再将剩余3人分配到2个班的分法有种方法， 因此这类办法有种， 所以不同的分配方案有:. 故答案为：60. 【变式13-1】．（2024·福建莆田·三模）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有 种. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意，分甲或乙参加A活动和甲和乙都不参加A活动，两种情况讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】甲或乙参加A活动的情况有种， 甲和乙都不参加A活动的情况有种， 则他们参加活动的不同方案有种. 故答案为：. 题型十四：最短路径问题 【例题1】．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有120种 B．甲从必须经过到达处的方法有36种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求ABC，再根据分类加法计数原理，即可求解D. 【详解】A项，甲从到达处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从到达处的方法有种，A项错误. B项，甲经过到达处，可分为两步：第一步，甲从经过需要走3步，其中2步向右走，1步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到处需要走3步，其中2步向上走，1步向右走，方法数为种, 故甲经过到达处的方法数为种，B项错误. C项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种， 所以甲、乙两人在处相遇的方法数为种， 故甲、乙两人在处相遇的概率为，C项正确. D项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在，，，处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处， 则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种； 若甲、乙两人在处相遇，由C项可知走法种数为81种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到处， 前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处， 则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种. 故甲、乙两人相遇的概率为，D项错误. 故选：C. 【变式14-1】．（24-25高三上·辽宁锦州·期末）如图，左边是编号为、、、的型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的型钢板，现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起，则型钢板均不相邻的放法共 种，乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法共 种．（用数字作答） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】若型钢板均不相邻，先将型钢板任意排列，然后将型钢板插入型钢板形成的个空位中的个空位，结合插空法可求得放法种数；先考虑乙号钢板上方的型钢板的放法，然后再将甲、丙号钢板分相邻和不相邻两种情况讨论，结合分步和分类计数原理可得结果. 【详解】若型钢板均不相邻，先将型钢板任意排列，然后将型钢板插入型钢板形成的个空位中的个空位， 由插空法可知，型钢板均不相邻的放法种数为种； 若乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等， 则乙号钢板上方的型钢板为、号或、号，此时不同的放法种数为， 然后再放置甲、丙号钢板，分两种情况讨论， 若甲、丙号钢板相邻，则将甲、丙号钢板捆绑，插入其余块钢板形成的个空位中的个空位， 此时，不同的放法种数为种； 若甲、丙号钢板不相邻，则将甲、丙号钢板插入其余块钢板形成的个空位中的个空位中， 此时，不同的放法种数为种. 综上所述，乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法种数为种. 故答案为：；. 【变式14-2】．（24-25高三上·浙江·期末）在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”. (1)如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线; (2)如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线;若不能，请说明理由初始方格任意选择 (3)在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择 【答案】(1)作图见解析 (2)不能，理由见解析 (3)5 【难度】0.4 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列的意义理解 【分析】（1）根据移动的规则即可作图求解， （2）作出具体路线即可求解第一个图，根据25个格子中偶数格有13个，奇数格有12个，结合|偶数格-奇数格以及图中涂黑的格子即可求解图2. （3）先证明时不成立，根据为偶数，要想胜利需要必须挖去3个奇数格，3格偶数格，这与3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾，举例说明成立即可求解. 【详解】（1） （2）参考走法不唯一 对于第二个方格，则不能达成“胜利”， 理由如下： 设表示中的值，例如： 则在方格中，共有25个 将是偶数的称为偶数格，奇数的称为奇数格， 易知，偶数格有13个，奇数格有12个， 按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格， 若要达成“胜利”，|偶数格-奇数格 而中，涂黑了即两个奇数格，一格偶数格，此时剩下12个偶数格，10个奇数格， 无论如何移动都不能达成“胜利”. （3）首先判断 然后证明：时不成立.证明如下： 将挖去的6格记为 其中与均为的一种排列， 为偶数， 由（2）可知，若要在方格中挖去6格达成“胜利”， 必须挖去3个奇数格，3格偶数格. 而3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾. 不可能挖去6格. 最后证明：时，能成立，如图： 挖法和走法均不唯一. 综上所述， n最大值为 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息  —  对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息  —  细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化  —  如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论  —  结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 题型十五：构造法模型 【例题1】．（24-25高三上·河北·阶段练习）某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有名学生报名参加（且）.活动中有种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每种项目都需要若干名学生参与. (1)若，且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？ (2)若对于任意的名学生，每个项目至少有名学生参与的分配方案有种，求关于的表达式（用组合数表示），并证明当时，是的单调递增函数. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】（1）将个人分为三组每组至少一人，先计算出分组的总数，然后可计算出分配方案数； （2）先计算出将名学生随机分配到三个项目的方法数，然后减去有一个项目没人去、有两个项目没人去的方法数，由此可得结果；再通过作商法比较与的大小关系即可证明出单调性. 【详解】（1）将个人分为三组每组至少一人，每组的人数可以是， 每组人数是时，分组方法有种，每组人数是时，分组方法有种， 每组人数是时，分组方法有种，每组人数是时，分组人数有种， 所以将个人分为三组的方法数共有种， 所以不同的分配方案有种. （2）将名学生随机分配到三个项目，不考虑每个项目的人数，则有分配方法种， 将名学生随机分配到三个项目，有一个项目没人去，则有分配方法种， （注：先选两个项目有种选法，将个人分配到两个项目有种分法，减去个人在同一项目的情况） 将名学生随机分配到三个项目，有两个项目没人去，则有分配方法种， 由上可知，； 证明：设且， 所以， 由的实际意义可知，且时显然成立， 所以，所以，所以， 所以时，是的单调递增函数. 【变式15-1】．（23-24高二下·江苏扬州·期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】；； 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、相邻问题的排列问题、分组分配问题 【分析】（1）利用捆绑法计算即可； （2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可； （3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可. 【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法； （2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况， 若是3,1,1,1分组，则有种， 若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法； （3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出， 有种派法； 若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生， 有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生， 此时派法有种， ②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种， 合计288种方法； 综上共有种派法. 【变式15-2】．（23-24高二下·安徽·阶段练习）近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 【答案】(1) (2)576 (3)10 【难度】0.4 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型 【分析】（1）（2）根据排列组合，结合分步乘法计数原理即可求解， （3）根据题意可得，，即可根据递推关系求解. 【详解】（1）先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有种不同的搜索方法， 再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有种搜索方法， 再排余下4个的搜索位置，有种搜索方法. 所以共有种不同的搜索方法. （2）第5次搜索恰为最后一个“魔法师”， 则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现， 所以共有种不同的搜索方法. （3）由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花. 这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙. 同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中. 因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况. 设为经过次传花后花在甲手上的线路数，其中. 则为经过次传花后花在甲手上的线路数，即经过次传花后花不在甲手上的线路数， 所以为经过次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针）， 则，. 所以，，，， 综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种. 题型十六：递推模型 【例题1】．（江西省景德镇市2025届高三上学期第二次质检数学试题）小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色（有一种颜色是黑色）的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】本题主要考查了排列组合，考查数学运算的核心素养，首先根据题意选择分以下三类：仅小崔选了黑色；仅小汪选了黑色；两人都没有选择黑色，然后根据分步乘法计数原理解决问题. 【详解】若仅小崔选了黑色，则有种选法；若仅小汪选了黑色，同理也有种选法； 若两人都没有选择黑色，则有种选法．故共有种选法． 故答案为：1890 【变式16-1】．（24-25高三上·河北邢台·期末）某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有 种．（用数字作答） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】先求出从门课程中至多选门至少选门课程的所有选法，再求出所选课程都是科技类课程的选法，前者减去后者可得结论. 【详解】学生从这门课中最多选修门且至少选修门课程的选法有， 学生从这门课中最多选修门至少选门，且所选课程都为科技类课程的选法选法有， 所以满足条件的选法有（种）. 故答案为：. 【变式16-2】．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在整数中任取三个不同的数，并构造三条线段的长度恰好为这三个数. (1)当时，求这三条线段能构成的不同三角形个数； (2)当时，求这三条线段能构成最大边长为的三角形的概率. 【答案】(1)7个 (2) 【难度】0.65 【知识点】几何组合计数问题、写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）列出满足条件的所有选法即可； （2）列出满足条件的选法，再利用组合数求出所有选法，利用古典概型概率公式可得结论. 【小题1】当时，一共有种可能， 其中能够构成三角形有：， 一共个. 【小题2】设，为满足题意的三角形的边长，不妨设，则. 当时，若，不能构成三角形， 若， 若， … 若， 所以一共有个， 又因为在整数1，2，…，20中任取三个不同的数的总的方法数为. 故所求的概率为. 【变式16-3】．（2025高三·全国·专题练习）记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取4条，要求至少得到2对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？ 【答案】207 【难度】0.65 【知识点】几何组合计数问题 【分析】根据题意，分2对“平行棱”， 3对“平行棱”以及4对“平行棱”讨论，结合组合数的计算，即可得到结果. 【详解】正方体中一共有3组，每组4条分别平行的直线，则： 若4条棱中恰有2对“平行棱”，则2对分别来自不同2组，每组2条，不同的取法有种； 若4条棱中恰有3对“平行棱”，则3对分别来自不同2组，一组1条，一组3条，则不同的取法有种； 若4条棱中恰有6对“平行棱”，则6对均来自同一组，一组4条，则不同的取法有种. 故从所有棱中任取4条，且至少得到2对“平行棱”一共有种不同的取法. 【变式16-4】．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 【答案】216 【难度】0.4 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】甲，乙出卡片的种数均有种，不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，先求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，分三种情况：甲、乙每轮所出数字大小有一张、有两张、有三张卡片数字相同讨论，进而求出甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种，则，得解. 【详解】甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种. 不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况， 则乙每轮所出数字有以下三种情况： ①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同， 不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同， 有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况； ②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同， 不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同， 有1，2，4，3一种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况； ③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同， 则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况. 故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有种， 所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故答案为：216. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，得到甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况. 题型十七：定序问题先选后排与重排问题 【例题1】．（23-24高二下·重庆·阶段练习）2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)男、女相间的站法有多少种? (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种? 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、其他排列模型 【分析】（1）特殊元素优先排列即可得； （2）不相邻问题用插空法排列即可得， （3）定序问题用倍缩法排列即可得. 【详解】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可排除种， 故共有种； （2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种， 故共有种； （3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种. 【变式17-1】．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【答案】(1)300 (2)240 (3)2160 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】（1）因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. （2）完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. （3）完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 【变式17-2】．（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【详解】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 【变式17-3】．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课． (1)如果数学和语文必须排在一起，则有多少种不同的排法？ (2)语文必须排第一课，物理和数学不能排一起，则不同的排法有多少种？ (3)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？ (4)如果数学必须比语文先上，语文比英语先上（三课不一定连续上），则共有多少种不同的排法？ (5)原定的6节课已经排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，那么共有多少种不同的排法？ （答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算） 【答案】(1)240； (2)72； (3)504； (4)120； (5)504. 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型、不相邻排列问题、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）利用捆绑法可解； （2）利用插空法可解； （3）对数学是否排在第一节分类讨论即可； （4）定序问题利用除法可得； （5）分步将3科插入空位可解. 【详解】（1）第一步，先将数学和语文排在一起，有种排法； 第二步，将数学和语文看成一个整体，与历史、物理、体育、英语一起全排，有种排法， 所以，数学和语文必须排在一起共有种排法. （2）第一步，先排语文，有1种排法； 第二步，将历史、体育、英语排成一排，有种排法； 第三步，在第二步产生的4个空位中插入物理和数学，有种排法. 所以，总的排法有种排法. （3）第一类，第一节排数学，其余五节任意排，有种排法； 第二类，第1步，从历史、语文、物理、英语中选一科排在第一节，有4种排法， 第2步，再从剩下的4个学科（不包括数学）中选一科排在最后一节，有4种排法， 第3步，中间4节任意排，有种排法， 所以，总的排法有. 综上，满足条件的排法有种. （4）数学、语文、英语的上课顺序共有种，满足条件的顺序只有1种， 故满足条件的排法有种. （5）第一步，先在7个空位中选择一个空位排生物，有7种； 第二步，在排入生物之后产生的8个空位选择一个空位排化学，有8种； 第三步，在排入化学之后产生的9个空位选择一个空位排地理，有9种. 所以，总的排法有种. 题型十八：数字问题 【例题1】．（2024·湖北黄冈·模拟预测）一个三位数的百位､十位､个位上的数字依次记为，当中有两个数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从这五个数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】分类讨论，求出满足“有缘数”的数字个数，结合排列组合公式计算可得. 【详解】从这五个数字中任取三个不同的数，其中“有缘数”的个数为24； 从这五个数字中任取两个不同的数，其中“有缘数”的个数为， 所以全部“有缘数”的个数为． 故选：C． 【变式18-1】．（24-25高二上·江西·阶段练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为 ．（用数字作答） 【答案】14 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据给定条件按三位数中是否有0分类，再利用排列组合应用问题列式计算得解. 【详解】将这些“凸数”分为两类：①含数字0，则0一定在个位上，有种； ②不含数字0，则有种， 所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为. 故答案为：14 【变式18-2】．（24-25高二上·北京西城·期末）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数字排列问题 【分析】分别讨论和为6的情况，再结合排列组合概念即可求解； 【详解】三个数字和为6的情况有：222,114,123， 对于3个2的排列只有1个； 对于1，1，4的排列由个， 对于1，2，3的排列有个， 所以这样的三位数有10个， 故选：C 【变式18-3】．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 【变式18-4】．（24-25高二上·甘肃武威·期中）从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、数字排列问题 【分析】先分类讨论从0，2，4中任取2个数时，其中含数字0时，和不含数字0时，结合排列组合即可得解． 【详解】从1，3，5中任取两个数，从0，2，4中任取2个数，组成没有重复数字的四位数，分两种情况： ①当从0，2，4中任取2个数，其中含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为; ②当从0，2，4中任取2个数，其中不含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为. 综合①②得：组成没有重复数字的四位数的个数为. 故答案为：． 【变式18-5】．（23-24高二下·江苏淮安·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 【答案】(1)60 (2)51 (3)36 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）将所有的偶数分为首位即最高位和末尾数均为偶数的数以及首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数两类，先依次排首位和末尾，再排剩下中间三位数即可得解 （2）1或2排在首位的数较小，所以先求1或2排在首位的数的个数，再找出3在首位的接下来的三个数即可得解. （3）先将数字2和3捆绑在一起作为一个整体，相当于现有4个数字在排列，根据最高位不为0，其余任意排即可求解. 【详解】（1）由题在组成的五位数中，所有的偶数有两类： 第一类是首位即最高位和末尾数均为偶数的数共有个， 第二类是首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数共有个， 所以在组成的五位数中，所有偶数的个数有. （2）1或2排在首位的数共有个， 则接下来按从小到大排列的数是， 所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第51个. （3）将数字2和3捆绑在一起作为一个整体， 根据最高位不为0可得在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有个. 题型十九：x+y+z=n模型 【例题1】．（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、实际问题中的组合计数问题 【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解. 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为， 所以， 从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球， 一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 【变式19-1】．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）已知集合，则A中的元素的个数为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】问题等价于将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法计算即可. 【详解】 ， 可转化为将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人， 每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为， 所以中的元素的个数为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：问题等价于将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法计算即可. 【变式19-2】．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】代数中的组合计数问题、x+y+z=n的整数解的个数、求离散型随机变量的均值 【分析】利用组合的知识与隔板法，分类讨论求得与对应的概率，从而利用数学期望的计算公式即可求解. 【详解】设这三个正整数分别为，则题意可得， 所以随机变量可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，； 当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以时，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用隔板法求得事件总情况为种，再分类讨论与对应的概率，从而得解. 【变式19-3】．（23-24高二下·全国·课堂例题）四元一次方程的正整数解有 组，非负整数解有 组． 【答案】 84 286 【难度】0.65 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【详解】将问题转化为有10个小球排成一排，利用隔板法可求正整数解、非负整数解的组数. 的正整数解的组数相当于在10个小球之间的9个空隙中插入3个隔板， 把球分为4组的方法数，即一共有种， 故第1空答案为84； 非负整数解的组数相当于的正整数解的组数，即的正整数解组数， 同样的方法看成14个小球排成一排，在13个空隙中插入3个隔板分成4组的方法数， 则共有：种. 故答案为：84；286. 【变式19-4】．（23-24高二下·江苏苏州·期末）随机取中的一个元素，则，，，的概率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、x+y+z=n的整数解的个数 【分析】根据给定条件，利用隔板法求出的自然数解的个数，再求出满足的整数个数，然后计算古典概率即得. 【详解】依题意，的一个元素，即方程的一个自然数解， 由，得， 设，则， 方程的自然数解的个数即为方程的正整数解的个数， 可视为24个小球排成一排，用3块隔板插入23个间隙分24个小球的分法数，有种， ，令， 因此满足的整数解的个数，即为方程的正整数解个数，有种， 所以所求概率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求出方程的正整数解的个数，关键是转化为排成一排的24个小球，用3块隔板分成4部分的不同分法数. 题型二十：正难则反 【例题1】．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分组分配问题、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，利用分组分配求出试验的基本事件总数，再求出甲乙安排在同一路口的事件含有的基本事件数，然后用对立事件概率公式计算即得. 【详解】6名特警分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，不同安排方法数为， 甲乙安排在同一路口，视甲乙为一个人，5个人安排到4个路口的安排数为， 因此甲和乙安排在同一个路口执勤的概率是， 所以甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是. 故答案为： 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、全排列问题 【分析】根据题意棋子在点处，可得三次骰子点数之和为或，再利用列举法以及古典概型的概率公式计算可得． 【详解】举出在点数中能够使得三次数字和为或的有： ，，共有7种组合， 前2种组合每种情况可以排列出种结果，共有种结果； 后5种组合各有3种结果，共有种结果， 由分类加法计数原理知，共有种结果； 拋次骰子共有种结果， 故拋掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出三次骰子点数之和为或，列出所有可能得组合，在分析相应的排列数，最后由古典概型的概率公式计算. 2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、全排列问题、分组分配问题 【分析】先进行分组，有和两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案. 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 3．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用间接法即可得解. 【详解】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种， 若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种， 因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种. 故选：C. 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】2个特殊的文物利用捆绑法，再与其他文物全排列即可. 【详解】先把2件特殊的文物放一起，看做一个整体与其余3个全排列， 共有种不同的排法， 故选：B 5．（24-25高二上·河南·期中）甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全排列问题 【分析】将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可，利用排列数公式可得结果. 【详解】先将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从个讲座中选取个讲座分配给这三个元素即可， 所以，恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为. 故选：D. 6．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】用列举法写出符合题意的填写方法，然后根据概率公式计算． 【详解】符合题意的填写方法有如下8种： 而9个数填入9个格子有种方法 所以所求概率为， 故选：A． 7．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 8．（24-25高二上·全国·课后作业）用蓝色和红色给一排10个方格染色，则至多两个蓝色相邻的方法种数为（    ） A．504 B．505 C．506 D．507 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分类讨论，第一，全部红色，第二，9红1蓝，第三8红2蓝，第四，7红3蓝，第五6红4蓝，第六，5红5蓝，第七，4红6蓝，第八，3红7蓝，再把各类相加即可. 【详解】第一类，10红0蓝，有种，小计1种 第二类，9红1蓝，有种，小计10种， 第三类，8红2蓝，有种，小计45种， 第四类，7红3蓝，可分为3蓝分开，有种，2蓝在一起，有，小计112种 第五类，6红4蓝，可分为4蓝分开，有种，两蓝，两蓝在一起，有种， 2蓝1蓝1蓝，有，小计161种 第六类，5红5蓝，可分5蓝分开，有种，2蓝1蓝1蓝1蓝，有， 2蓝2蓝1蓝，有，小计126种 第七类，4红6蓝，可分2蓝1蓝1蓝1蓝1蓝，有种， 2蓝2蓝1蓝1蓝，有种，2蓝2蓝2蓝，有种，小计45种 第八类，3红7蓝，有种，小计4种 合计504种. 故选：A 9．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（   ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排，两道程序，再排剩余的3道程序，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后， 则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法； 再排剩余的3道程序，共有种安排方法， 所以一共有种不同的顺序安排方法. 故选：B. 二、多选题 10．（24-25高二上·福建宁德·期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】利用捆绑法求出A选项中结果，利用特殊优先求出B选项结果，利用插空法求出C选项结果，由排列组合求出D选项结果. 【详解】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确； B.B，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确； C，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误； D，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故D正确． 故选：ABD 11．（24-25高二上·山东东营·期末）将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】对于A：可知头尾为女生，剩下5人全排列，结合排列数分析判断；对于B：利用间接法，先求男生不在头尾且相邻的不同排法，结合选项A分析判断；对于C：高度要求已经固定，现只需选人即可，结合组合数分析判断；对于D：分类讨论甲是否在头尾，结合排列数分析判断. 【详解】对于A：男生不在头尾，则头尾为女生，剩下5人全排列， 所以不同排法有种，故A正确； 对于B：若男生不在头尾且相邻的不同排法有种， 所以男生不在头尾且不相邻的不同排法有种，故B错误； 对于C：因为高度要求已经固定，现只需选人即可， 则左边从剩余6人选择3人即可，所以不同的排法有种，故C正确； 对于D：若甲在头尾，不同排法有种； 若甲不在头尾，不同排法有种； 所以2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有种，故D错误； 故选：AC. 12．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式． C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可. 【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，故A正确； B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的3个棋子进行全排列， 故共有种情况，故B错误； C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空， 再将两个“将”插空，故共有种情况，故C错误； D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空， 再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，故D正确. 故选：AD. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（    ） A．两份汤相邻的摆法共有种 B．每道素菜不相邻的摆法共有种 C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D．两汤不摆在首尾的摆法共有种 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、其他排列模型 【分析】利用捆绑判断A，利用插空法判断B，利用定序倍缩法判断C，利用特殊位置法判断D，从而得解. 【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，再与其余十道菜品排列在一起， 共有种摆法，故A错误； 对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，再将4道素菜插空， 共有种摆法，故B正确； 对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法，其中十二道菜品的顺序固定， 所以有（种）不同摆法，故C正确； 对于D，将12道菜看成10个空，去掉首尾后还有10个空， 在其中任选两个空将两个汤品放进去， 再将十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种摆法，故D正确. 故选：BCD. 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．与相邻，共有240种排法 B．相隔一天介绍的方法种数为96 C．若与不相邻，共有480种排法 D．若在的前面，共有360种排法 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、其他排列模型 【分析】相邻捆绑法可判断A，特殊情况优先考虑，先安排，再排列，可判断，不相邻插空法可判断，定序问题用除法可判断. 【详解】对于A，与相邻，用捆绑法，共有种排法，故A正确； 对于，相隔一天介绍的方法种数为，故错误； 对于，若与不相邻，用插空法，共有种排法，故正确； 对于，若在的前面，属于定序问题，共有种排法，故正确； 故选： 三、填空题 15．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 【答案】216 【难度】0.4 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】甲，乙出卡片的种数均有种，不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，先求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，分三种情况：甲、乙每轮所出数字大小有一张、有两张、有三张卡片数字相同讨论，进而求出甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种，则，得解. 【详解】甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种. 不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况， 则乙每轮所出数字有以下三种情况： ①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同， 不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同， 有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况； ②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同， 不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同， 有1，2，4，3一种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况； ③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同， 则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况. 故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有种， 所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故答案为：216. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，得到甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况. 16．（24-25高三上·浙江·阶段练习）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】全排列问题、有放回与无放回问题的概率 【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12； 总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法； 其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况； 当甲抽取的数字为；；；时， 乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为时， 若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种； 所以符合题意的排列总数为种， 可得所求概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论. 17．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题 【分析】按照甲拿没拿乙或丙的包分两类，分别计算都拿错的种数，再由古典概型计算即可. 【详解】第一种情况，甲拿了乙或者丙的旅行包，有种情况； 第二种情况，甲没有拿乙和丙的旅行包，有种情况. 故所求的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用分类分步计数原理求得甲、乙、丙三人都拿错旅行包的可能情况，从而得解 18．（2025·湖南永州·模拟预测）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有 种. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、涂色问题、全排列问题 【分析】以不同顶点作为底面顶点作旋转确定不同朝向情况，再应用排列数求不同上色情况数，即可确定上色模式数. 【详解】假设一个正四面体四个顶点为、、、，则作底面顶点时，通过旋转，除底面外三个面的朝向有三种，如图所示： 同理，，作底面顶点时也分别有3种，一共有12种， 即一个正四面体可以通过旋转得到12种朝向. 因为四种颜色的排列数有种， 所以一共有种不同的上色模式. 故答案为：2 四、解答题 19．（24-25高二上·北京·阶段练习）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 【答案】(1)240 (2)432 (3)144 (4)72 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）先排唱歌节目，再排其他节目，由乘法原理可得答案； （2）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【详解】（1）先排唱歌节目，有2种排法， 再将剩下的5个节目全排列，有种方法， 故共有种排法； （2）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； （3）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. （4）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. 20．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】(1)16 (2)384 (3)96 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）利用分步计数原理即可； （2）利用插空法来排列即可； （3）利用捆绑法来排列即可. 【详解】（1）先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 21．（24-25高二上·甘肃定西·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）利用插空法结合分步乘法计数原理求解； （2）将满足条件的站法分为两类，乙站在排头或排尾，甲、乙都不站排头或排尾，结合捆绑法及分类加法计数原理求解. 【详解】（1）先排丙、丁、戊，有种站法． 再插空排甲、乙．有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． （2）满足条件的站法可分为两类， 第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法． 第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法． 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种． 22．（24-25高二上·辽宁·期末）从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 【答案】(1)4200 (2)1200 (3)240 (4)4440 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）先从余下的6人中选出3人与、的全排列，再消去、两人间的排序即可求得所有排列数； （3）先从余下5人中选2人有种不同结果，由于、必须相邻，与、都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决； （4）分所选的5人无、；有、无；无、有；有、，四种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法. （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 23．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【答案】(1)120 (2)144 (3)540 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、分组分配问题 【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数. 【详解】（1）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 10 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优专题：排列与组合的综合应用 排列的意义和理解 排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 组合意义的理解 1.组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数定义及公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，即组合数，用符号C表示，其中C＝＝. 3．组合的性质： 性质1：C＝； 性质2：C＝. 4. 排列与组合的概念 名称 定义 区别 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 排列有序，组合无序 组合 合成一组 【方法技巧】关于排列组合常用的方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 题型一：全排列问题 【例题1】．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式1-1】．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 【变式1-2】．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为 . 题型二：捆绑法模型 【解题技巧】在排列组合相关题型解题时，若遇到相关元素必须放在一起的，可以绑定在一起，当成一个元素来计算， 【例题1】．（24-25高二上·河南·阶段练习）在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 【变式2-1】．（24-25高二上·河南·期中）甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【变式2-5】．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【变式2-6】．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）从A，B，C等7人中选5人排成一排． ①若A必须在内，有多少种排法？ ②若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ （2）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有多少种？ 题型三：插空法模型 【解题技巧】一般情况下，插空法适用于不能排在一起的元素，遇到此类问题，可以先排没有顺序限制的，然后把剩下的元素排在两两之间的空里。 【例题1】．（24-25高三上·重庆·阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（    ） A．432 B．864 C．1728 D．2592 【变式3-1】．（2024高三·全国·专题练习）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 【变式3-2】．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【变式3-3】．（24-25高二上·福建宁德·期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 【变式3-4】．（24-25高二上·山东东营·期末）将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 【变式3-5】．（24-25高二上·北京·阶段练习）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 【变式3-6】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 题型四：隔板法模型 【解题技巧】数数需要分几个部分，然后把板子插进去进行排列 【例题1】．（23-24高二下·河南开封·期末）学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，2个集体节目分别安排在第1个和最后1个，还有3个音乐节目、2个舞蹈节目、1个小品节目，要求同类节目不能连续安排，则共有 种不同的排法（填写数字）． 【变式4-1】．（23-24高二下·湖北武汉·期中）学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（   ）种． A．480 B．360 C．570 D．540 题型五：定序倍缩法 【解题技巧】在n个元素里有m个元素确定顺序，有种方法 【例题1】．（23-24高二下·河北张家口·期末）小明同学设置手机密码的六位数字，准备将e（）的前6位数字（1，2，2，7，8，8，）按照一定的顺序进行设置． (1)记事件：相同的数字排在一起，求事件发生的概率； (2)记事件：只有一组相同的数字排在一起，求事件发生的概率； (3)记事件：相同数字不相邻且相同数字之间只有一个数字，求事件发生的概率． 【变式5-1】．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者. （i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ （ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ （2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示） （3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示） 题型六：分组法 【解题技巧】平均分多少组，就除以多少的全排列 重难点1：平均分组 【例题1】．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 【变式6-1】．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【变式6-2】．（24-25高三上·天津和平·期末）在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字作答） 【变式6-3】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【变式6-4】．（23-24高二上·辽宁丹东·阶段练习）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有 种． 重难点2：不平均分组 【例题2】．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 【变式6-5】．（24-25高二上·河南驻马店·期末）3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，则分配方法共有（   ） A．18种 B．36种 C．54种 D．72种 【变式6-6】．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 【变式6-7】．（24-25高二上·黑龙江·期末）2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办.现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 . 【变式6-8】．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（   ） A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种 【变式6-9】．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 重难点3：部分平均分组 【例题3】．（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【变式6-10】．（24-25高二上·江西抚州·期末）在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【变式6-11】．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【变式6-12】．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 题型七：排队问题 重难点1：单排问题 【例题1】．（2024高三·全国·专题练习）三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【变式7-2】．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． 重难点2：多排问题 【例题2】．（23-24高三上·江苏·阶段练习）第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答） 重难点3：环排问题 【例题3】．（24-25高三上·湖北·阶段练习）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 重难点4：错排问题 【例题4】．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（    ） A．180 B．240 C．288 D．300 题型八：特殊元素法 【例题1】．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（    ） A．260种 B．220种 C．160种 D．130种 【变式8-1】．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【变式8-2】．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请、、、、五位党的二十大代表分别到一中、五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中、因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有 种. 题型九：特殊位置法 【例题1】．（24-25高二上·全国·课后作业）用蓝色和红色给一排10个方格染色，则至多两个蓝色相邻的方法种数为（    ） A．504 B．505 C．506 D．507 【变式9-1】．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（   ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 【变式9-2】．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式9-3】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 【变式9-4】．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．与相邻，共有240种排法 B．相隔一天介绍的方法种数为96 C．若与不相邻，共有480种排法 D．若在的前面，共有360种排法 题型十：间接法 【例题1】．（2023高二·江苏·专题练习）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【变式10-1】．（24-25高二下·全国·课后作业）结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？ (2)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (3)将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (4)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 题型十一：涂色问题 【例题1】．（2025·湖南永州·模拟预测）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有 种. 【变式11-1】．（22-23高二下·山西忻州·阶段练习）如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 【变式11-2】．（22-23高二下·广东惠州·阶段练习）用红､黄､蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 【变式11-3】．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【变式11-4】．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（   ）    A．156 B．144 C．96 D．78 【变式11-5】．（23-24高二下·重庆·期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有 种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有 种. 题型十二：多面手问题 【例题1】．（24-25高三上·四川巴中·期末）为了加强家校联系，某班举行一次座谈会，会上邀请了6位学生及他们的父母总共18人参加，并从中选出6位代表发言，如果这6人由其中一个家庭的3人与其他三个家庭中的各1人组成，那么不同的选人方案有（    ） A．720种 B．1240种 C．1440种 D．1620种 【变式12-1】．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成 个平行四边形． 【变式12-2】．（23-24高二下·广西贵港·期末）至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有 个． 【变式12-3】．（23-24高二下·上海·期中）平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 直线 题型十三：分解与合成模型 【例题1】．（23-24高二下·河南郑州·期中）现有包含甲在内的5名实习教师全部分配到我校高二年级的2501班、2502班、2503班3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中实习生甲不去2501班，则不同的分配方案有 种.（用数字作答） 【变式13-1】．（2024·福建莆田·三模）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有 种. 题型十四：最短路径问题 【例题1】．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有120种 B．甲从必须经过到达处的方法有36种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 【变式14-1】．（24-25高三上·辽宁锦州·期末）如图，左边是编号为、、、的型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的型钢板，现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起，则型钢板均不相邻的放法共 种，乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法共 种．（用数字作答） 【变式14-2】．（24-25高三上·浙江·期末）在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”. (1)如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线; (2)如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线;若不能，请说明理由初始方格任意选择 (3)在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择 题型十五：构造法模型 【例题1】．（24-25高三上·河北·阶段练习）某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有名学生报名参加（且）.活动中有种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每种项目都需要若干名学生参与. (1)若，且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？ (2)若对于任意的名学生，每个项目至少有名学生参与的分配方案有种，求关于的表达式（用组合数表示），并证明当时，是的单调递增函数. 【变式15-1】．（23-24高二下·江苏扬州·期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【变式15-2】．（23-24高二下·安徽·阶段练习）近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 题型十六：递推模型 【例题1】．（江西省景德镇市2025届高三上学期第二次质检数学试题）小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色（有一种颜色是黑色）的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有 种．（用数字作答） 【变式16-1】．（24-25高三上·河北邢台·期末）某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有 种．（用数字作答） 【变式16-2】．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在整数中任取三个不同的数，并构造三条线段的长度恰好为这三个数. (1)当时，求这三条线段能构成的不同三角形个数； (2)当时，求这三条线段能构成最大边长为的三角形的概率. 【变式16-3】．（2025高三·全国·专题练习）记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取4条，要求至少得到2对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？ 【变式16-4】．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 题型十七：定序问题先选后排与重排问题 【例题1】．（23-24高二下·重庆·阶段练习）2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)男、女相间的站法有多少种? (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种? 【变式17-1】．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【变式17-2】．（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【变式17-3】．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课． (1)如果数学和语文必须排在一起，则有多少种不同的排法？ (2)语文必须排第一课，物理和数学不能排一起，则不同的排法有多少种？ (3)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？ (4)如果数学必须比语文先上，语文比英语先上（三课不一定连续上），则共有多少种不同的排法？ (5)原定的6节课已经排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，那么共有多少种不同的排法？ （答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算） 题型十八：数字问题 【例题1】．（2024·湖北黄冈·模拟预测）一个三位数的百位､十位､个位上的数字依次记为，当中有两个数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从这五个数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【变式18-1】．（24-25高二上·江西·阶段练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为 ．（用数字作答） 【变式18-2】．（24-25高二上·北京西城·期末）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式18-3】．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式18-4】．（24-25高二上·甘肃武威·期中）从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为 . 【变式18-5】．（23-24高二下·江苏淮安·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 题型十九：x+y+z=n模型 【例题1】．（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【变式19-1】．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）已知集合，则A中的元素的个数为 . 【变式19-2】．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望 . 【变式19-3】．（23-24高二下·全国·课堂例题）四元一次方程的正整数解有 组，非负整数解有 组． 【变式19-4】．（23-24高二下·江苏苏州·期末）随机取中的一个元素，则，，，的概率为 ． 题型二十：正难则反 【例题1】．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是 ． 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 3．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 5．（24-25高二上·河南·期中）甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）用蓝色和红色给一排10个方格染色，则至多两个蓝色相邻的方法种数为（    ） A．504 B．505 C．506 D．507 9．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（   ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 二、多选题 10．（24-25高二上·福建宁德·期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 D．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种 11．（24-25高二上·山东东营·期末）将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 12．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式． C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（    ） A．两份汤相邻的摆法共有种 B．每道素菜不相邻的摆法共有种 C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D．两汤不摆在首尾的摆法共有种 14．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．与相邻，共有240种排法 B．相隔一天介绍的方法种数为96 C．若与不相邻，共有480种排法 D．若在的前面，共有360种排法 三、填空题 15．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 16．（24-25高三上·浙江·阶段练习）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 . 17．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为 . 18．（2025·湖南永州·模拟预测）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有 种. 四、解答题 19．（24-25高二上·北京·阶段练习）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法? (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法? 20．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 21．（24-25高二上·甘肃定西·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 22．（24-25高二上·辽宁·期末）从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 23．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 10 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$