专题04 基本平面图形（期末复习课件，知识必备+10大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材北师大版

这是一份初中数学七年级上学期的期末复习课件，围绕“基本平面图形”专题展开，包含研期末学情、记必备知识、破重难点、过分层验收四部分，通过表格梳理概念、例题解析题型等方式搭建学习支架，助力学生系统复习。 资料特色鲜明，融合数学核心素养，如通过直线射线线段的对比辨析培养数学眼光，借助角平分线计算、多边形对角线规律探究训练数学思维，用规范几何语言表述图形关系提升表达能力。创新设计分层题型，如钟面角、方位角等实际情境题，帮助学生巩固基础突破难点，也为教师提供系统复习资源和教学思路。七年级学生处于小学到初中的过渡阶段，抽象思维正在发展，期末复习需夯实平面图形基础，培养空间观念和逻辑推理能力，为后续几何学习奠定基础。

专题04 基本平面图形 七年级数学上学期 期末复习大串讲 北师大版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 直线、射线与线段的概念及性质 能准确区分直线、射线与线段的端点、延伸性和测量特征，熟练掌握其规范表示方法 基础必考点，常以选择、填空题形式考查；易错点是混淆三者的延伸性和表示规范 角的定义、表示方法及角度制换算 能根据不同情境正确选择角的四种表示方法，熟练进行度、分、秒的换算 高频考点，覆盖选择、填空、计算题；易错点是角的表示不规范（如顶点字母未在中间）、换算时忽略60进制 角的平分线 能理解角平分线的定义，运用几何语准确表示角平分线的性质，结合角的计算解决简单问题 中档考点，常出现在填空题或简单解答题；命题趋势是与角的和差计算结合考查 核心考点 复习目标 考情规律 多边形的对角线与正多边形 能记住n边形对角线的数量规律，准确判断正多边形的定义 基础考点，以选择题为主；易错点是对角线数量计算时漏除2，命题趋势是直接考查公式应用或特征判断 圆的基本概念（弦、直径、弧等） 能区分圆的核心元素，掌握直径与弦、优弧与劣弧的关系，规范表示弧 基础必考点，多为选择题、填空题；易错点是混淆优弧与劣弧、 直线、射线与线段的概念及性质 能准确区分直线、射线与线段的端点、延伸性和测量特征，熟练掌握其规范表示方法 基础必考点，常以选择、填空题形式考查；易错点是混淆三者的延伸性和表示规范 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 直线、射线与线段 知识点01 1．直线、射线与线段的概念 类型 图例 表示方法 端点个数 书写规范 直线 直线AB或直线BA 或直线 0个 两个大写字母无顺序 射线 射线OA或射线 1个 两个大写字母中的第一个表示端点 线段 线段AB或线段 BA或线段 2个 两个大写字母无顺序 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。 2．基本事实 两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线。 两点之间线段最短：两点间所有连线中，线段长度最短。 直线、射线与线段 知识点01 3．相关概念 两点间距离：线段两个端点之间的长度。 线段中点：将一条线段平均分成两份的点。 角 知识点02 1．定义：由公共端点的两条射线组成的图形（公共端点为顶点，两条射线为边）。 2．特殊角 ①平角：终边与始边成一条直线，度数为180°。 ②周角：终边与始边重合，度数为360°。 角 知识点02 3．表示方法 表示方法 图示 记法 使用范围 用三个大写字母表示 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 用一个大写宇母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 用希腊字母表示 任何情况都适用 4．特殊角的画法 三角板：画30°、45°、60°、90°等特殊角。 量角器：画任意给定度数的角。 尺规作图：画一个角等于已知角。 角 知识点02 5．角度制换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“”，的为1秒，记作“”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角=360°，1平角=180°， 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 角 知识点02 6．钟表12个大格，每个大格对应30°。 分针转速：1分钟转6°；时针转速：1小时转30°，1分钟转0.5°。 7．方位角 定义：以正北、正南为基准表示方向的角，如北偏东60°、南偏西30°。 注意：正东、正西、正南、正北无需标角度；不说“东偏北30°”这类反向表述；不同观测点需画“十字线”确定方向；射线以观测点为端点。 角的平分线 知识点03 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何语言表示 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC、∠AOB=2∠AOC=2∠BOC、∠AOC=∠BOC=∠AOB 多边形 知识点04 1.定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。 2．组成要素：边（线段）、顶点、内角（相邻两边组成的角）。 3．常见多边形：三角形（3条边）、四边形（4条边）、五边形（5条边）……n边形（n≥3且为整数）。 多边形 知识点04 4．对角线 定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 作用：将多边形分割为三角形，便于计算内角和。 数量规律：n边形中，从一个顶点出发可作（n-3）条对角线，分成（n-2）个三角形；总对角线数为条（如五边形有5条对角线）。 5.正多边形 定义：各边相等、各内角相等的多边形（如正三角形、正方形）。 注意：仅各边相等（如菱形）或仅各内角相等（如矩形），不一定是正多边形。 圆的相关概念 知识点05 1.定义：平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形。 2.圆心：固定端点O；半径：线段OA（圆上任意一点到圆心的距离都等于半径）。 3．表示方法：以O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”。 4．相关元素 ①弦：连接圆上任意两点的线段（直径是最长的弦）。 ②直径：经过圆心的弦，直径d=2×半径r。 ③弧：圆上任意两点间的部分，记作（A、B为端点）。 ④半圆：直径分圆成的两条弧。 ⑥优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示。 ⑦劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示。 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 直线、射线、直线 题型一 1．下列说法正确的是（   ） A．两点的距离就是连接两点的线段 B．两点之间，直线最短 C．射线和射线是两条射线 D．若，则点是线段的中点 解：A、两点的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身，此选项错误，不符合题意； B、两点之间，线段最短，直线是无限延伸的，没有长度概念，此选项错误，不符合题意； C、射线以为端点向方向延伸，射线以为端点向方向延伸，方向不同，∴ 是两条射线，此选项正确，符合题意； D、若，点不一定是线段的中点，点是线段的端点，不可能是线段的中点，此选项错误，不符合题意． 故选：C． C 2．如图，在同一平面内有四个点，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)分别连接； (4)我们容易判断出线段与的数量关系是_________，理由是_________________． （1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：线段与的数量关系是，理由是两点之间线段最短， 故答案为：，两点之间线段最短． 3．下面说法正确的是（   ） A．射线比直线短 B．过一点可以作无数条直线 C．一条直线只能用一个字母表示 D．直线比线段长 B 解：A、射线和直线都是无限延伸的，无法比较长短，故此选项错误，不符合题意； B、过一点可以作无数条直线，这是几何的基本性质，故此选项正确，符合题意； C、一条直线可以用两个大写字母表示（如直线），也可以用一个小写字母表示（如直线），故此选项错误，不符合题意； D、直线无限延伸，没有长度；线段有有限长度，但两者不能直接比较长短，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 4．下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．延长线段到C  B．射线经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线与线段没有交点 C 解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 5.如图，已知，，，四个点，根据要求完成下列各小题． (1)画线段，射线； (2)用尺规在线段的延长线上作线段； (3)找一点，使点既在直线上，又在直线上； (4)在（1）、（2）、（3）的基础上，线段与的大小关系为________，理由是________． （1）解：如图，线段，射线、即为所求； （2）解：如图，以点为圆心，长为半径画弧， 交线段的延长线于点，则线段即为所求； （3）解：如图，作直线、相交于点，则点即为所求； （4）解： ，理由是：两点之间，线段最短． 线段中的运算 题型二 6．线段a，b如图1所示，则图2中线段表示的是（   ） A． B． C． D． 解：由图可得，，， ∴， 故选：D． D 7．已知点，，在一条直线上，线段，，那么线段的长是 ． 解：分两种情况讨论： 当点B在线段上时，； 当点B在线段的延长线上时，． 故答案为：2或8． 2或8 24 8．已知点A，B，C在一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 解：①当点B在点A和点C之间时，； ②当点A在点B和点C之间时，； ∴两点间的距离为或． 故选：C． C 25 9．已知，点在线段上，点是的中点，点在线段上且，若，则的长为 cm． 解：设， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵，∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 8 26 10．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段AC的中点，，，则线段BC的长为 ． 8或20 27 解：如图1，点E为线段的中点，， ， ， ， 点D是折线的“折中点”， ， ； 如图2，点E为线段的中点，， ， ，， 点D是折线的“折中点”， ， ； 综上所述，或． 28 线段中点运算 题型三 11．已知线段，直线上有一点，并且，点是线段的中点，则线段为（　 　） A． B． C．或 D． 解：当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵点是线段的中点，∴， ∴； 当点在延长线上时， ∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴，∴； 综上，线段为或，故选：． C 12．将一根绳子对折成一条线段，C为线段上一点，，在C处将绳子剪断，得到的三根短绳中最长的一根绳子的长为，则绳子的原长为 ． 解：对折后如图所示： 若以为对折点，最长的为， 则，， 绳子原长； 若以为对折点，最长的为， 则， 绳子原长， 故答案为：或． 或 13．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（    ）． A．16 B．12 C．8 D．6 解：由，得． 由线段的和差，得，． 由线段的中点E、F，得： 由线段的和差，得， 解得：， （），故选：A． A 14．如图，点C在线段上，，，点N是的中点．求的长度 解：，， ， ， 点N为线段的中点 ． 角度制 题型四 15．已知，，则 ．（填“>”、“<”或“＝”） > 解：∵，， ∴； 故答案为:． 33 16． ． 解： ； 故答案为：，，． 17．单位换算： (1)； (2)　　　 　　°； (3)； (4)____ ____． （1）解：， 故答案为：2700； （2）解：， 故答案为：1.3； （3）解：， 故答案为：52，21，36； （4）解：，，， ， ∴． 故答案为：． 2700 1.3 52 21 36 49.5225 18．计算： (1)； (2) （1）解： （2）解：． 方位角 题型五 19．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则为（    ） A． B． C． D． 解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处， 又从点B处沿北偏西方向行走至点E处， ∴，， ∴． 故选：C． C 20．如图，射线的方向为南偏西，若，则射线的方向为 ． 解：如图， 射线的方向为南偏西，， ， 射线的方向为南偏东． 故答案为：南偏东． 南偏东 23．淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的 (填方向) °方向． 解：∵西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°的方向． 故答案为：北偏东；70． 39 22．如图，要修建一条公路，从村沿北偏东70°方向到村，从村沿北偏西30°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为 ． 解：如图： 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 故答案为：． 40 钟面角 题型六 23．当时钟指向上午时，时针与分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 解：∵分针每分钟移动， ∴在时，分针角度为． ∵时针每小时移动，每分钟移动， ∴在时，时针角度为， ∴过了10分钟，时针移动， ∴时针总角度为． 两针角度差为， ∵夹角应不大于， ∴夹角为． 故选：B． B 24．钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C．452 D． 解：依题意，在时，时针位于，分针位于， 则时针与分针夹角为； 设经过t分钟重合，分针需追上时针， ∴， 即， ∴，故选：A 42 25．“双减”政策实施以后，某市全面开展了中小学生课后服务工作．目前，该市市区大部分学校七、八年级的学生每天下午5:30放学，这时时针与分针所成的锐角为 ． 解：下午时，分针指向，走了半圈即分钟。时针每小时走个大格（），那么每分钟走 点时，时针指向，经过分钟，时针走了，此时时针在和正中间，分针指向． 所以时针与分针所成的锐角为． 故答案为：． 43 26．从6点15分到6点30分，分针旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵一小时等于60分钟， ∴15分钟为小时， ∵一小时分针转， ∴小时转， 故选D． 44 角平分线的定义及简单运算 题型七 27．如图，是内的一条射线，、分别平分、，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 解：∵、分别平分、，，， ∴，， ∴ ， 故选：B． B 28．如图，O为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． （1）解：是的平分线，理由如下： ∵O为直线上一点，且， ∴，． ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 29．如图，，是的平分线，，求的度数． 解：设， ∵是的平分线， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 解得 ∴ 30．已知：，在内部有（）． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分， 求的度数． （1）解： 因为，， 所以； （2）解：因为平分，平分， ，， 所以， 所以． 31．如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） 三角板中的角度计算 题型八 解：∵这是一副三角板， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 33．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：根据角的和差关系可得第一个图形， 根据等角的补角相等可得第二个图形， 第三个图形，不相等， 根据同角的余角相等可得第四个图形， 因此的图形个数共有3个， 故选：C． 34．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 解：如图， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻， 的度数为 °， 的度数为 °； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． （1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：恰好平分， ， ； （3）解：，理由如下： 解：设，则，， （4）设，则，， 36．连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 多边形对角线问题 题型九 解：∵从多边形的一个顶点可以引出八条对角线， ∴， ∴． 故选：C． 36．过一个多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数是 ． 解：设多边形的边数为n，则从一个顶点出发的对角线分成的三角形个数为个； 由题意：，解得 故答案为：. 37．一个正六边形，从它的一个顶点出发最多可以引 条对角线． 解：从正六边形的一个顶点出发可以引的对角线条数为． 故答案为：3． 38．若边形的对角线共有条，则这个多边形是 边形． 本题考查了多边形对角线的条数问题，利用多边形对角线条数公式建立方程，即有，然后根据因数求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据题意得， 所以， 因为， 所以， 故答案为：八． 39．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 40．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 圆的概念及圆心角 题型十 解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误．故选：D． 41．下列图形中的角是圆心角的是（　　） 解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 42．【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（     ） A． B． C． D． 解：∵小圆的直径是，大圆的半径是，， ∴小圆的周长是，大圆的周长是， ∴小圆周长是大圆周长的， 故选：A． 43．如图，为的直径，点，在上，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解：，， ， ， ， 故选：D． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） B 【解析】在选项A、C中，以C为顶点的角不止一个，不能用表示，故选项A、C不符合题意； 在选项D中，不是以C为顶点的角，不能用和表示，故选项D不符合题意； 选项B中以C为顶点的角只有一个，能用表示，且符合用和表示的规范，故选项B符合题意，故选：B． 2．若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，则关于可以画的直线条数，下列说法中错误的是（    ） A．可能画1条 B．可能画3条 C．可能画4条 D．可能画6条 B 解：∵ 四点共线时，过任意两点画直线，所有点均在一条直线上， ∴ 只能画1条直线； ∵ 有三点共线，第四点不在此直线上时，共线三点确定一条直线，第四点与共线三点各确定一条直线， ∴ 共可画4条直线； ∵ 任意三点不共线时，每两点确定一条直线， ∴ 可画6条直线； 综上，无法画出3条直线， 故选：B． 3．如图，点、、在同一条直线上，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 解：∵平分，平分， ， 故选：B． B 4．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 解：∵，，M，N分别是它们的中点， ∴，， 当点与点重合时， ； 当点A与点D重合时， ， 故选：C． C 5．过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 C 解：从n边形一个顶点出发的对角线将n边形分成个三角形， ∵分成了6个三角形， ∴， ∴， 因此，这个n边形是八边形． 故选：C． 6.“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． A 解：如图所示，当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，． 故选：A． 7．济青高铁是中国“八纵八横”高速铁路网之青银通道的东端部分，共设有7个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的高铁票 种． 解：把高铁线路看作是一条直线，7个不同的站点就是直线上7个不同的点， 直线有7个点，共有线段的条数为：（条， 单程火车票需要印制21种， 要保证每两个站点之间都有高铁可乘， 需要印制不同高铁票的种数为：（种． 故答案为：42． 42 8．从O点出发的三条射线，，，若，，则的度数为 . 解：如图，当点在外部时， ； 如图，当点在内部时， ． 故答案为：或． 9．如图，A、B、C三点在同一条直线上，点D是线段的中点，点E是线段的中点． (1)如图1，点C在线段上，若，， 求线段的长； (2)如图2，点C在线段的延长线上，若，求线段的长． （1）解：是线段的中点，是线段的中点， ，， ； （2）解：是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ． 10．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动， 且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． （1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵ ，，，∴ ，即， ∴ ，∴ ； （2）解：①如图所示． ∵ ，，∴ ， ∴ ，， ∵点E为的中点，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵ ，，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述，的长为或 1．如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：① ；② ；③ ；④ ．正确的有（填序号） ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） ①②④ ∵，分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ①正确． ∵，∴． 又∵， ∴． ②正确． ∵， ∴． ∵ ， ∴． ∴． ③错误． ∵ ． ∵是的角平分线， ∴． ∴． ④正确． 故答案为：①②④ 2．小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按这样的规律，条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母的式子表示，） 解：3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 5条直线相交最多有个交点， 条直线相交最多有个交点． 故答案为：． 3．已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． （1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵ （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （3）解：恰好平分，当在直线下方时，如图所示， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 当在直线上方时，如图所示， 同理可得：. 综上：. 4．如图1，将一副三角板中一块含有角的三角板的顶点和另一块含角的三角板的顶点重合于一点O，将含有角的三角板绕点O按顺时针方向旋转为如图2所示的情况（在内部），请回答问题： (1)图1中的度数为 ． (2)在旋转过程中，当平分时，求 的度数． (3)是否存在某一时刻，满足？ 若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． （1）解：由题意得： ； 故答案为； （2）解：因为平分， 所以， 所以； （3）解：存在，理由如下： 因为在内部， 所以， 设，则， 因为， 所以， 解得：， 所以， 所以． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $