上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校2025-2026学年七年级上学期12月考数学试题

2025-2026学年上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校七年级上学期12月考数学试题 一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中式纹样是一种独特的艺术形式，不仅代表着中国传统文化中的吉祥和美好，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面纹样的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列等式中，成立的是 A. B. C. D. 3.设a，b，c满足，，则的值为    A. 0 B. 1 C. 8 D. 9 4.如图，是与关于某点中心对称得到的，还可以看做经过怎样的变换得到？下列结论：①一次平移；②一次平移和一次旋转；③一次平移和一次轴对称；④两次轴对称．其中所有正确结论的序号是    A. ② B. ①② C. ②③ D. ②④ 二、填空题：本题共14小题，每小题3分，共42分。 5.分式的最简公分母是          . 6.已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则          . 7.分式的值是，且，则的值为          . 8.小马虎在计算时把整式M抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的M比原来大2b，则正确的化简结果应该是          . 9.如图，将向左平移得到，连接AD，如果的周长是16cm，四边形ACED的周长是20cm，那么平移的距离是          . 10.东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是          . 11.已知，则          . 12.若，则          . 13.如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到点D、E分别与点A、B对应，如果与的度数之比为3：2，当旋转角大于且小于时，旋转角的度数为          . 14.关于x的方程有增根，则          . 15.已知x为整数且满足代数式的值为整数，则x的所有取值为           16.某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的c倍，则的值是          . 17.若正数a，b，c满足，，则          . 18.定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式          . 三、计算题：本大题共8小题，共48分。 19.计算 20.计算： 21.计算 22.计算 23.解方程 24.解方程 25.解方程组 26.解关于x的方程： 四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 27.本小题8分 按要求作图：画出以点O为对称中心的中心对称图形 28.本小题8分 已知，求的值． 29.本小题8分 化简代数式，若a、b满足，求该代数式的值． 30.本小题8分 已知，若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围． 31.本小题8分 聪聪在长为180米的跑道上训练机器人． 若 A机器人匀速行走1分钟后，提速到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点．求 A机器人走完全程所花的时间．用一元分式方程求解 若 B机器人一半路程以 a米/分的速度行驶，另一半路程以 b米/分的速度行驶； C机器人用一半时间以 a米/分的速度行驶，另一半时间以 b米/分的速度行驶．已知，，，试比较 B、 C两机器人行走的时间，大小，并说明理由． 32.本小题8分 如图，正方形ABCD，点M是线段CB延长线上一点，连接AM，， 将三角形ABM沿着射线AD方向移动，使得点A与点D重合，用代数式表示线段AM扫过的平面部分的面积为          . 将三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N，用代数式表示线段AM扫过的平面部分的面积为          . 除第小题的情况外，在平面内是否还存在合适的点，将三角形ABM绕着这个点顺时针旋转后，三角形有一条边恰好能与正方形ABCD的一条边完全重合．如果存在，请分别在图中画出其他符合条件的三角形，标出相应的旋转中心并写出对应旋转角的大小． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选： 2.【答案】B  【解析】本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可． 【详解】解：，故此选项错误，不符合题意； B.，故此选项正确，符合题意； C.，故此选项错误，不符合题意； D.，故此选项错误，不符合题意； 故选： 3.【答案】C  【解析】此题考查了分式的加减法，利用已知条件和，将表达式的分子用平方和表示，再通过因式分解简化每个分式，最后求和． 【详解】解：，，   ， 同理，，， 又， 注：由条件知，同理其他分母也不为零， 同理，，， 原式 故选： 4.【答案】D  【解析】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：先将平移，使C和重合，然后所得的三角形绕点C旋转，即可得到，即还可以看做经过一次平移和一次旋转得到，即②正确，符合题意； 先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着的垂直平分线翻折，即可得到，即还可以看做经过两次轴对称得到，即④正确，符合题意； 而一次平移，一次平移和一次轴对称不能将变换得到，即①③错误，不符合题意； 故选： 5.【答案】  【解析】本题主要考查了求几个分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解即可． 【详解】解： 最简公分母为， 故答案为： 6.【答案】  【解析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故 故答案为： 7.【答案】  【解析】本题考查了分式的整体运算，利用提公因式法进行化简是解题的关键． 首先将分式化简，分子和分母同时提取公因式，得到简化后的表达式，已知该分式值为且，代入求解即可得到的值． 【详解】， ， 把，代入得：，即， ， 故答案为： 8.【答案】    【解析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行计算是正确解答的前提．由抄错时的化简结果求出抄错的M为，再根据抄写的M比原来大2b，得正确的M为，最后代入原式计算正确结果． 【详解】解：抄错时，有， 则， 所以 由于抄写的M比原来大2b， 故正确的M为代入原式， 正确结果为 故答案为： 9.【答案】2cm  【解析】本题考查了平移的性质，掌握平移前后对应线段相等是解题关键． 根据平移的性质结合已知条件求解即可． 【详解】解：将向左平移得到， ，≌， 则， 的周长是16cm， 的周长是16cm， 即， 四边形ACED的周长， ， 即平移的距离是2cm； 故答案为： 10.【答案】  【解析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】 解：平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， 东东醒来时的正确时间是“”， 故答案为： 11.【答案】  【解析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 ， ，解得， 故答案为： 12.【答案】或  【解析】本题考查的是等式性质的应用，通过设比值为k，并利用等式性质，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：设，则 将、、相加得： ， 左边合并同类项：， 右边：， 所以， 若，则， 若，则从式得，代入， 同理其他分式也等于，故， 因此，比值为或， 故答案为：或 13.【答案】或  【解析】分两种情况：当旋转角小于时和当旋转角大于时，分别画出图形，由与的度数之比为3：2，求出，即可得到旋转角度数． 【详解】解：当旋转角小于时，如图： ，绕点C逆时针旋转得到， ， 与的度数之比为3：2， ， 旋转角， 当旋转角大于时，如图： 与的度数之比为3：2，， ， 旋转角， 故答案为：或 14.【答案】或  【解析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据原方程有增根可得或，则或，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 原方程有增根， 或， 或， 或， 故答案为：或 15.【答案】或或3  【解析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解x，并排除使分母为零的值． 【详解】原式 ， 设为整数，则， 整理得：， ， 令为整数且，则， 由于x为整数，需为整数，故d为4的因数：，， 代入求x： 时，； 时，； 时，； 时，舍去，因分母为零； 时，舍去，因分母为零； 时，舍去，因分母为零 综上，x的所有取值为：，，3， 故答案为：，， 16.【答案】    【解析】本题考查分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，通过设甲、乙、丙单独完成工程所需天数，利用工作效率与工作时间的关系，推导出的表达式，进而计算给定分式的值． 【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需x天、y天、z天， 根据题意，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的a倍，乙、丙合作所需天数为， 所以， 整理得， 于是， 因此， 同理，，， 所以， 给定表达式 故答案为： 17.【答案】  【解析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可． 【详解】解：解法一：因为 所以， 解得 故答案为： 解法二：由，得， 因此， 由此可得， 所以 故答案为： 18.【答案】或  【解析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】解：与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、b均为不等于0的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或 故答案为：或 19.【答案】解：   【解析】本题考查分式的加减运算．通过观察分母关系，将第三项的分母化为与前两项相同，合并后利用完全平方公式简化． 20.【答案】解：   【解析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 21.【答案】解：   【解析】本题考查的是分式的加减运算，把每一个分式化为两个分式的和是解本题的关键．先逆用分式的加减运算的运算法则把每一个分式化为两个分式的和，再计算即可． 22.【答案】解：原式   【解析】本题考查了分式的化简运算，熟悉掌握十字相乘法因式分解，立方差公式，是解题的关键． 利用立方差公式和十字相乘法进行因式分解，再根据运算法则运算即可． 23.【答案】解：， 化为整式方程，得， 解得， 当时，， 所以是原分式方程的解．   【解析】本题考查解分式方程，先去分母将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可． 24.【答案】解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为   【解析】本题考查了因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程．利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 25.【答案】解：设，则原方程组化为： ， 解得：， ， ， 解得：   【解析】本题考查的是解分式方程组，设，则原方程组化为，解出，进而求出，再求出结论即可． 26.【答案】解： ， 当，或时方程无解， ，或，时无解， 解得：，或， 综上可得：当，或时，方程无解；否则   【解析】本题考查了分式方程的特殊解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简分式方程，再根据分母的取值情况分析分式方程无解时的a值即可求解． 27.【答案】解：如图，即为所求．   【解析】本题考查画中心对称图形，作出各顶点关于点O的对称点，再顺次连接即可． 28.【答案】解：， ， 不是方程的解， 方程两边同时除以a， ， ， ，   【解析】本题考查的是完全平方公式的应用及代数式求值，先求出，再将原式化为，代入计算即可． 29.【答案】解：且，， ，， 解得：，， ， ，，， 原式   【解析】本题考查了分式的化简求值，负指数幂的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由非负性求出a与b的值，优先化简负指数幂，再利用运算法则化简代数式后代入a与b的值即可求解． 30.【答案】解：， ， 解是非负数， ， 解得：； 又，， ，， 解得：，，； 综上m的取值范围为：且，   【解析】本题考查了分式方程的特殊解，完全平方公式，平方差公式，熟练利用因式分解是解题的关键． 由，得到，利用因式分解进行化简得到，再根据x的取值范围求解即可． 31.【答案】【小题1】 解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； 【小题2】 解：B机器人所需时间， C机器人所需时间， ， ，，， ，， ，   【解析】  本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． 设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可；   先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 32.【答案】【小题1】 【小题2】 或 【小题3】 解：如图1，旋转中心：AB边的中点O，顺时针， 如图2，旋转中心：点B，顺时针， 如图3，旋转中心：正方形对角线交点O，顺时针旋转，   【解析】  本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答． 根据平移的性质和平行四边形的面积公式计算即可； 【详解】解：线段AM扫过的平面部分的面积为：， 故答案为：；   根据扇形的面积公式计算即可； 解：三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，则三角形旋转的角度是或， 或， 故答案为：或；   根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $