1.1.2 三角形的外角 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、性质及推论，通过复习内角定义与计算，结合图形题（如∠ACD度数求解）衔接旧知，以“证明内角和时延长边得外角”自然引入新课，搭建递进式学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理能力培养，通过“画外角、辨析关系”问题链引导探究，含飞镖型、8字型模型及中考题（如儿童小推车角度计算），小结结构化呈现推论。助力学生发展空间观念与逻辑推理，为教师提供分层练习与模型工具，提升教学实效。

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 1.1.2 三角形的外角 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 学习目标 1.了解并掌握三角形的外角的定义。 2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。 2 复习回顾 1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？ 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，三角形内角和等于180°。 2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=_____。 3.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACB=_____，∠ACD=_____。 48° 50° 130° 进行新课 在证明三角形内角和定理时，我们把△ABC的一边BC延长得到了∠ACD。 A B C E D 思考：像∠ACD这样的角有什么特征？猜想它的性质。这节课让我们一起来探讨吧。 知识点1 三角形的外角 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角。 1 ∠1是△ABC的一个外角。 A C B D 1．下图中∠1是三角形的一个外角的是(　　) D 返回 中考考法 6 2．如图，△ABC的外角是________，________。 ∠CBD 返回 ∠ABE 中考考法 7 问题1：如图，延长AB到E，∠CBE是不是△ABC的一个外角？ ∠DBE是不是△ABC的一个外角？ ∠CBE是△ABC的一个外角 ∠DBE不是△ABC的一个外角 A C B D E 3．[教材P6“随堂练习”第1题变式]如图，∠A＝100°，∠B＝20°，则∠ACD的度数是(　　) A．120° B．110° C．100° D．90° A 返回 中考考法 9 4．[烟台中考]如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(　　) A．40° B．35° C．30° D．20° A 返回 中考考法 10 问题2：画出△ABC的所有外角，共有几个？ A C B D E 每一个三角形都有6个外角。 1 2 3 4 5 6 每一个顶点相对应的外角都有2个。 问题3：△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系） ∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2； ∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4； ∠5和∠6是对顶角，∠5=∠6。 练一练 A B C E D F 如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角； ∠AEC是△BEC和△BEF的外角； ∠EFD是△BEF和△DCF的外角。 5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝50°，且AD是△ABC的角平分线，则∠ADC＝________°。 65 返回 中考考法 13 6．(4分)如图，DE分别与△ABC的边AB，AC相交于点D，E，延长DE与BC的延长线相交于点F，∠B＝60°，∠ACB＝70°，∠AED＝40°，求∠BDF的度数。 中考考法 14 解：∵∠B＝60°，∠ACB＝70°， ∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝50°。 又∵∠AED＝40°， ∴∠BDF＝∠A＋∠AED＝90°。 返回 中考考法 15 思考·交流 如图，∠1与△ABC的内角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流。 1 A C B D 知识点2 三角形内角和定理的推论 4 3 2 思考1：∠1与∠4有什么关系？ ∠1与∠4互补 思考2：∠1与∠2、∠3有什么关系？ 外角 相邻的内角 不相邻的内角 猜测：∠2+∠3=∠1。 你能证明这个猜测吗？ 1 A C B D 4 3 2 已知：如图，△ABC。求证：∠1=∠2+∠3。 证明：在△ABC中， ∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理）， ∴∠2+∠3=180°-∠4。 ∵∠4+∠1=180°， ∴∠1=180°-∠4。 ∴∠1=∠2+∠3。 由三角形内角和定理，可以得到 推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 1 A C B D 4 3 2 几何语言： 在△ABC中， ∵∠ABD是△ABC的一个外角， ∴∠ABD=∠A+∠C。 三角形的外角几何画板 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论。 7．在下列图形中，∠2＞∠1一定成立的是(　　) C 返回 中考考法 19 8．(4分)如图，D是△ABC的边AC的延长线上的一点，E是边BC上的一点，连接DE，求证：∠BED＞∠A。 证明：∵∠ECD是△ABC的外角， ∴∠ECD＞∠A。 又∵∠BED是△CDE的外角， ∴∠BED＞∠ECD，∴∠BED＞∠A。 返回 中考考法 20 思考3：∠1与∠2、∠3的大小有什么关系？ 1 A C B D 4 3 2 ∵∠1=∠2+∠3， ∴∠1＞∠2，∠1＞∠3。 推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。 B A E D C 只要具备什么条件，就能说明AD // BC？ 同位角相等 分析： 内错角相等 同旁内角互补 例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。 B A E D C 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∠B=∠C， ∴∠C= ∠EAC。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAC= ∠EAC。 ∴∠DAC=∠C。 ∴AD // BC。 还有其他证法吗？ 9．如图，在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A．∠ADB>∠ADE B．∠ADB>∠1＋∠2＋∠3 C．∠ADB>∠1＋∠2 D．以上都不正确 C 返回 中考考法 24 10．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝35°，若按图中虚线将∠C剪去，则∠1＋∠2＝________°。 215 返回 中考考法 25 例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。 B A E D C 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∠B=∠C， ∴∠B= ∠EAC。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAE= ∠EAC。 ∴∠DAE=∠B。 ∴AD // BC。 例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。 求证：∠BPC >∠A。 分析： 你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？ 你遇到的困难是什么？ 你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗？ 例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。 求证：∠BPC >∠A。 D 证明：如图，延长BP，交AC于点D。 ∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）， ∴ ∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。 ∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。 ∴∠BPC＞∠A。 还有其他证法吗？ 角度模型 飞镖型： ∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD 8字型： ∠A+∠B=∠C+∠D 11．(8分)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。 (1)若∠E＝25°，∠BAC＝80°，则∠B的度数为________； 30° 中考考法 30 (2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E。 证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACE。 ∵∠ECD＝∠B＋∠E，∠BAC＝∠ACE＋∠E， ∴∠BAC＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E。 返回 中考考法 31 12．(12分)将透明三角尺(△DEF，∠EDF＝90°)放置在△ABC上(点D在△ABC内)，如图①，三角尺的两边DE，DF恰好经过点B和点C。我们来探究： ∠ABD与∠ACD之间是否存在某种数量关系。 (1)特例探索：当∠A＝36°时，∠ABD＋ ∠ACD＝________°； 54 中考考法 32 (2)类比探索：写出∠ABD，∠ACD与∠BAC之间的数量关系，并说明理由； 解：∠ABD＋∠ACD＝90°－∠BAC。理由如下：连接AD并延长，交BC于点M，则∠BAD＋∠ABD＝∠BDM，∠CAD＋∠ACD＝∠CDM，∴∠BAD＋∠ABD＋∠CAD＋∠ACD＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD＝∠BDM＋∠CDM。 ∵∠BDM＋∠CDM＝∠EDF＝90°， ∴∠ABD＋∠ACD＝90°－∠BAC。 中考考法 33 课堂小结 三角形的外角 推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 A B C 3 2 1 三角形的外角和等于360°。 $