1.1.1 三角形内角和定理 课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及全等三角形判定（AAS），从已知与求证切入，引导学生关联平角、同旁内角互补等旧知，结合撕角拼图活动启发辅助线作法，搭建旧知引新知的学习支架。 其亮点在于通过多种证法（过顶点、内部作平行线等）培养推理意识与创新意识，结合中考题强化应用，小结突出转化思想。学生能提升逻辑推理与解题能力，教师可高效开展培优教学，落实数学思维与应用意识培养。

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 1.1.1 三角形内角和定理 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 知识点1 三角形的内角和定理 已知：如图，△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 A B C 你学过哪些与180°有关的结论？ 平角为180° 两直线平行，同旁内角互补 曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？ 分析： 改变角的位置构造平角 延长BC至D，过点C作射线CE ，使CE // BA 这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线。 E D 已知：如图，△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 A B C E D 1 2 证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE // BA，则 ∠1=∠A，∠2=∠B。 ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴∠1+∠2+∠ACB=180°。 ∴∠A+∠B+∠ACB=180°。 证法一 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 A B C 几何语言： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 1．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝60°，则∠C的度数为(　　) A．65° B．75° C．85° D．95° C 返回 中考考法 5 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为(　　) A．50° B．60° C．70° D．80° C 返回 中考考法 6 思考·交流 A B C （1）如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ // BC，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？ P Q 1 2 证明：如图，过点A作直线PQ，使PQ // BC，则 ∠1=∠B，∠2=∠C。 ∵点P，A，Q在同一条直线上， ∴∠BAC+∠1+∠2=180°。 ∴∠BAC+∠B+∠C=180°。 证法二 思考·交流 A B C （2）对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流。 1 2 3 D E F 证法三 证明：如图，过点D作DE // AC交AB于点E，DF // AB交AC于点F，则 ∠1=∠C，∠3=∠B， ∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°。 ∴∠A=∠2。 ∵点B，D，C在同一条直线上， ∴∠1+∠2+∠3=180°。 ∴∠A+∠B+∠C=180°。 除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部或外部构造平角。 思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？ 两直线平行，同旁内角互补 3．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是________。 40° 返回 中考考法 10 4．下面是小彬的数学课堂笔记，请阅读操作方法，补全证明过程。 如图①，△ABC的三个内角分别为∠1，∠2，∠3。将∠2和∠3撕下，按图②的方式摆拼，使∠2和∠3的顶点均与∠1的顶点重合，∠2的一边 与AB重合，∠3的一边与AC 重合。 中考考法 11 讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？ A B C A B C 根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法。 l D E F A B C E D A B C l A B C D E F A B C l A B C D E F 思考：多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？ 转化思想 添加辅助线（平行线） 利用平行线的性质，转移角 转化为平角或同旁内角 证明：由操作可知∠B＝∠2， ∴AD∥BC(________________________)。 同理，∠C＝∠3，∴________∥________。 ∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点D，A，E在同一条直线上， ∴∠DAE＝________°， 即∠1＋________＋________＝________。 内错角相等，两直线平行 返回 AE BC 180 ∠2 ∠3 180° 中考考法 14 5．(8分)[教材P44“复习题”第1题变式]如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝50°。 中考考法 15 例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 A C B D 解：在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理)。 ∵∠B= 38°，∠C=62°， ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°。 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD =∠CAD= ∠BAC= ×80°= 40°。 在△ADB中， ∠B +∠BAD+∠ADB = 180°(三角形内角和定理)。 ∵∠B=38°，∠BAD =40°， ∴∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°。 尝试·思考 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ A B C D E F 已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF。 求证：△ABC≌△DEF。 证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∠D +∠E +∠F = 180°(三角形内角和定理)， ∴∠C = 180°－(∠A +∠B)， ∠F = 180°－（∠D +∠E）。 ∵∠A =∠D，∠B =∠E， ∴∠C =∠F。 ∵∠B =∠E，BC = EF，∠C =∠F。 ∴△ABC ≌ △DEF（ASA）。 A B C D E F 知识点2 全等三角形的性质与判定 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等。（AAS） A B C D E F 根据全等三角形的定义，我们可以得到 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (1)求∠C的度数； (2)若∠BDE＝30°，DE∥BC交AB于点E，求∠BDC的度数。 解：∵∠A＝70°，∠ABC＝50°， ∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－70°－50°＝60°。 ∵DE∥BC，∠BDE＝30°，∴∠CBD＝∠BDE＝30°。 又∵∠C＝60°， ∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝180°－30°－60°＝90°。 返回 中考考法 20 6．如图，AB与CD相交于点O，且OA＝OB，添加下列选项中的一个条件，不能判定△AOC≌△BOD的是(　　) A．OC＝OD B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AC∥BD C 返回 中考考法 21 7．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，∠A＝∠ECF，若AB＝4，CF＝3，则BD的长为(　　) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 B 返回 中考考法 22 8．如图，∠POQ＝70°，直线l与OP，OQ都相交(不经过点O)，随着直线l位置的改变，α，β的度数之和(　　) A．始终等于70° B．始终等于100° C．始终等于110° D．随着直线l位置的改变而改变 C 返回 中考考法 23 9．如图，△ABC的顶点A在△CDE的边DE上，若AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于(　　) A．BC B．AB C．DC D．AE＋AC B 返回 中考考法 24 10．[西安交大附中期末]如图，点D为△ABC的边AB上一点，∠A＝50°，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在A′处，那么当∠ACD＝________°时，A′D∥CA。 65 返回 中考考法 25 11．(8分)[教材P8“习题1.1”第8题变式]如图，AD是△ABC的高，△ABC的两条角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°。 中考考法 26 (1)求∠EAD的度数； 中考考法 27 (2)求∠BOA的度数。 返回 中考考法 28 12．(12分)[西安铁一中期末]如图①，要度量作业纸上两条相交直线a，b所夹锐角α的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接度量。 (1)小明的方案：画直线c与直线a，b相交， 如图①，测得∠1＝m°，∠2＝n°，则α＝ ____________(用含m，n的代数式表示)； (180－m－n)° 中考考法 29 (2)小刚的方案：画直线c与直线a，b相交，交点为B，C，作出∠ABC，∠DCB的平分线相交于点O，如图②。若测得∠BOC＝p°，则α等于多少？(用含p的代数式表示) 中考考法 30 解：∵∠ABC，∠DCB的平分线相交于点O， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠DCB＝2∠OCB。 ∵∠OBC＋∠OCB＝(180－p)°， ∴∠ABC＋∠DCB＝(360－2p)°， ∴α＝180°－(∠ABC＋∠DCB)＝180°－(360°－2p°)＝(2p－ 180)°。 中考考法 31 (3)你还有什么方法？请在图③中补全(作图工具不限)，并写出必要的文字说明。 中考考法 32 返回 解：如图， 在直线a上取一点A，过点A作AC⊥直线b于点C，测量出∠1＝β°，则α＝(90－β)°。(方法不唯一) 中考考法 33 课堂小结 1.三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 A B C 转化思想 添加辅助线（平行线） 利用平行线的性质，转移角 转化为平角或同旁内角 2.全等三角形的性质与判定 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°。 又∵∠ADC＋∠C＋∠CAD＝180°，∠C＝70°， ∴∠CAD＝180°－90°－70°＝20°。 ∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠EAC＝∠BAC＝30°。∴∠EAD＝∠EAC－∠CAD＝10°。 解：∵∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝180°－70°－60°＝50°。 ∵AE，BF是△ABC的角平分线， ∴∠BAO＝∠BAC＝30°，∠ABO＝∠ABC＝25°。 ∵∠ABO＋∠BAO＋∠BOA＝180°， ∴∠BOA＝180°－30°－25°＝125°。 $