第23章 图形的相似 单元测试卷 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

( 学校： 考号： 姓名： 班级： 密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线 )华东师大版九年级上册第23章《图形的相似》单元测试卷 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 题号 一 二 三 全卷总分 总分人 17 18 19 20 21 22 得分 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、已知，下列比例式中，正确的是（    ） A、 B、 C、 D、 2、下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A、5cm，6cm，7cm，8cm B、3cm，6cm，2cm，5cm C、2cm，4cm，6cm，8cm D、12cm，8cm，15cm，10cm 3、如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则EF的长是（　　） A、2 B、4 C、6 D、8 ( c B 第3题图 a A C D E F 2 B 第4题图 1 A C D F A ′ C ′ B ′ B 第5题图 A C O B 第6题图 A C D E F ) 4、如图，，则下列各式中，不能说明∽的是（    ） A、 B、 C、 D、 5、如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上。若，则和的面积之比为（　　） A、 B、 C、 D、 6、如图，在矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的点F处，，若四边形FECD与矩形ABCD相似，则AD的长为（　　） A、 B、 C、 D、 7、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若，，则（    ） A、 B、 C、 D、 ( B 第9题图 A C D E F B 第10题图 A C D E F B y E 2 2 A C D O x B 第7题图 A C D E O 第8题图 ) 8、如图，小明家客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标为（    ） A、（3.8，0） B、（3.9，0） C、（4，0） D、（4.1，0） 9、如图，D，E分别是的边AC、BC上的点，且，连接AE、BD相交于点F，若，则与的比为（    ） A、 B、 C、 D、 10、如图，在中，点D是边BC的中点，点F为边AC上任意一点，BF交AD于点E，且，则的值为（    ） A、 B、 C、 D、 11、如图，在矩形ABCD中，，，若点E，F分别是线段AC，AB上的两个动点，则的最小值为（    ） A、6 B、 C、 D、8 ( B 第11题图 A C D E F D E B 第12题图 A C P H G B 第14题图 A C D E ) 12、如图，在中，，，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE.① ② ③ ④，以上结论正确的个数是（      ） A、1 B、2 C、3 D、4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、若，那么； 14、如图，在中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，，点H为AF与DG的交点。若，则DH的长为 ； 15、数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米、则树高为 ； ( 第15题图 A 2 x y D B A C O 第16题图 A 1 B 1 C 1 C 2 B 2 ) 16、在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）.延长CB交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形，……，按这样的规律进行下去，正方形的面积为 . 三、解答题（本大题6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分8分）已知三条线段 a，b，c 满足，且 （1）求 a，b，c 的值；     （2）若线段 d 是线段a 和b的比例中项，求d的值。 ( 密 封 线 内 不 要 答 题 线 封 密 )18、（本小题满分8分）如图，在□ABCD中，连接DB，点F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E，且 （1）求证：； ( E D A F B C )（2）如果，，，求BE的长。 19、（本小题满分8分）如图，在中，M为AB上一点，且， （1）求证：∽； ( E A M B C )（2）如图，过点C作，连接AE，若，且，，求AM的长。 20、（本小题满分10分） 如图，在中，，，M是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转得到AN，连接MN交AC于点P，连接CN （1）求证：； （2）求证：； ( M P A N B C )（3）若，，求PC的长。 21、（本小题满分10分）如图，在直角三角形ABC中，直角边，.设P，Q分别为AB，BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动、设P，Q移动的时间t秒。 （1），（BP用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，与相似？并说明理由。 ( B P Q A C )（3）当时，是等腰三角形。 22、（本小题满分12分） 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是AB边上一点，F是BC边上一点，.求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，，若，，求线段CF的长； 【拓展提高】（3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上。若，求CD的长。 ( 图 1 D F B A C 图 2 D F B A C E 图 3 D B A C ) 华东师大版九年级上册第23章《图形的相似》单元测试卷（原卷版）———————第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版九年级上册第23章《图形的相似》单元测试卷 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 题号 一 二 三 全卷总分 总分人 17 18 19 20 21 22 得分 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、已知，下列比例式中，正确的是（ A    ） A、 B、 C、 D、 2、下列四组线段中，是成比例线段的是（ D ） A、5cm，6cm，7cm，8cm B、3cm，6cm，2cm，5cm C、2cm，4cm，6cm，8cm D、12cm，8cm，15cm，10cm 3、如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则EF的长是（　B　） A、2 B、4 C、6 D、8 ( c B 第3题图 a A C D E F 2 B 第4题图 1 A C D F A ′ C ′ B ′ B 第5题图 A C O B 第6题图 A C D E F ) 4、如图，，则下列各式中，不能说明∽的是（ D   ） A、 B、 C、 D、 5、如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上。若，则和的面积之比为（　D　） A、 B、 C、 D、 6、如图，在矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的点F处，，若四边形FECD与矩形ABCD相似，则AD的长为（　C　） A、 B、 C、 D、 7、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若，，则（   B ） A、 B、 C、 D、 ( B 第9题图 A C D E F B 第10题图 A C D E F B y E 2 2 A C D O x B 第7题图 A C D E O 第8题图 ) 8、如图，小明家客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标为（ C   ） A、（3.8，0） B、（3.9，0） C、（4，0） D、（4.1，0） 9、如图，D，E分别是的边AC、BC上的点，且，连接AE、BD相交于点F，若，则与的比为（  D   ） A、 B、 C、 D、 10、如图，在中，点D是边BC的中点，点F为边AC上任意一点，BF交AD于点E，且，则的值为（ D   ） A、 B、 C、 D、 11、如图，在矩形ABCD中，，，若点E，F分别是线段AC，AB上的两个动点，则的最小值为（  D  ） A、6 B、 C、 D、8 ( B 第11题图 A C D E F D E B 第12题图 A C P H G B 第14题图 A C D E ) 12、如图，在中，，，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE.① ② ③ ④，以上结论正确的个数是（    C  ） A、1 B、2 C、3 D、4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、若，那么；【答案】 14、如图，在中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，，点H为AF与DG的交点。若，则DH的长为 ；【答案】 15、数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米、则树高为 ；【答案】4米 ( 第15题图 A 2 x y D B A C O 第16题图 A 1 B 1 C 1 C 2 B 2 ) 16、在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）.延长CB交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形，……，按这样的规律进行下去，正方形的面积为 . 【答案】 三、解答题（本大题6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分8分）已知三条线段 a，b，c 满足，且 （1）求 a，b，c 的值；     （2）若线段 d 是线段a 和b的比例中项，求d的值。 【详解】（1）解：设 ∴，， 即 ∵ ∴ 解之： ∴，b=4，c=7． （2）解：∵d 是线段a 和b的比例中项 ∴ 解之： 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a，b，c可以使计算更加简便。 18、（本小题满分8分）如图，在□ABCD中，连接DB，点F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E，且 （1）求证：； （2）如果，，，求BE的长。 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ( E D A F B C )∵ ∴∽ ∴，即 ∴； （2）解：∵∽ ∴，即 ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴∽ ∴，即 又∵ ∴ 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是牢记相似三角形的判定与性质。 19、（本小题满分8分）如图，在中，M为AB上一点，且， （1）求证：∽； （2）如图，过点C作，连接AE，若，且，，求AM的长。 【详解】（1）证明：∵， ( E A M B C )∴ ∵ ∴ ∵ ∴∽； （2）解：设， 由（1）得∽， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴∽ ∴ ∴ ∴，整理得 解得或（舍去）， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。 20、（本小题满分10分） 如图，在中，，，M是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转得到AN，连接MN交AC于点P，连接CN （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求PC的长。 【详解】（1）证明：由旋转性质知，， ∵ ∴ ∴ ( M P A N B C )∵ ∴（SAS） ∴； （2）解：由旋转性质知，， ∴ 在中，， ∴ ∴， 由（1）知， ∴∽ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴由勾股定理得， ∴ ∴； （3）解：在中， ∴， ∵ ∴， 由（1）知， ∴， ∴ ∴ 由（2）知，， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键。 21、（本小题满分10分）如图，在直角三角形ABC中，直角边，.设P，Q分别为AB，BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动、设P，Q移动的时间t秒。 （1），（BP用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，与相似？并说明理由。 （3）当时，是等腰三角形。 ( B P Q A C )【详解】（1）解：∵在直角三角形ABC中，直角边， ∴ ∵在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动，移动的速度为每秒1cm ∴； （2）解：当t为或时，与相似，理由如下： ∵点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度为每秒1cm ∴ 由（1）得， ∵， 故当时，则∽ ∵ ∴ ∴； ∵， 故当时，则∽ ∵ ∴， ∴； 综上：当t为或时，与相似． （3）解：由（2）得， 由（1）得，， 依题意，当时，如图所示： ( Q A B C P ) 则，解得； 依题意，当时，如图所示： ( Q T A B C P ) 过点P作 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴∽ ∴，则，解得 依题意，当时，如图所示： ( T Q A B C P ) 过点Q作，则 ∵ ∵ ∴∽ ∴ ∴，解得； 综上：当秒或秒或秒，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 22、（本小题满分12分） 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是AB边上一点，F是BC边上一点，.求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，，若，，求线段CF的长； 【拓展提高】（3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上。若，求CD的长。 ( 图 1 D F B A C 图 2 D F B A C E 图 3 D B A C ) ( 图 1 D F B A C )【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴∽ ∴， ∴； ( C 图 2 D F B A T )（2）解：如图2中，延长AC交BF的延长线于点T． ∵ ∴， ∵ ∴ ∴∽ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作EF与CD交于点F，使 ∵， ∴ ∴∽ ( E 图 3 D B A C F )∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴∽ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，（舍去） ∴． 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键。 华东师大版九年级上册第23章《图形的相似》单元测试卷（解析版）———————第 9 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $