专题07 三角形相似的判定方法的三类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题07 三角形相似的判定方法的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、两角对应相等，两个三角形相似 类型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 类型三、三边对应成比例，两个三角形相似 压轴专练 类型一、两角对应相等，两个三角形相似 知识点总结 1.相似三角形定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形为相似三角形，“两角对应相等”是判定相似的核心定理。 2.三角形内角和性质：三角形内角和为180°，若两三角形已有两角对应相等，则第三角必相等，满足相似三角形角的全部对应关系。 解题技巧 1.寻找等角条件：通过对顶角、公共角、平行线同位角/内错角、直角（90°）等隐含条件，快速识别相等的角，为判定提供依据。 2. 转化角的关系：若直接角不相等，可利用三角形外角性质（外角等于不相邻两内角和）或等角的余角/补角相等，推导角的对应关系，间接证明两角相等。 例1．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式1-1】如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【变式1-2】如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【变式1-3】在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 类型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 知识点总结 1.相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，其中“夹角”指两组对应边的公共角，是判定的关键条件。 2.比例线段性质：对应边成比例需满足线段长度的比值相等，可通过已知线段长度、比例式或相似三角形传递性得出比例关系。 解题技巧 1.精准定位夹角：明确两组对应边的公共角为夹角，避免误将非夹角（如其中一边的对角）作为判定角，确保条件符合定理要求。 2.利用比例转化：若直接比例关系不明显，可通过线段和差、等量代换（如公共边、相等线段）转化比例式，再结合角相等条件完成判定。 例2．如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【变式2-1】如图，，且，，求证：．    【变式2-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 【变式2-3】在等边三角形中，，点M，N分别是，上的点，且． (1)求证：； (2)点M在什么位置时，的长为． 类型三、三边对应成比例，两个三角形相似 知识点总结 1. 核心判定定理：若两个三角形的三组对应边长度的比相等（即三边对应成比例），则这两个三角形相似，此定理无需角的条件即可判定相似。 2. 比例的传递性：若线段比例通过中间量关联（如a/b = c/d且c/d = e/f，则a/b = e/f），可推导三边对应比例关系，为判定提供依据。 解题技巧 1. 规范比例书写：按对应边顺序列出比例式（如△ABC与△DEF相似，写AB/DE = BC/EF = AC/DF），避免因顺序混乱导致误判。 2. 计算验证比例：通过已知边长计算比值，或利用线段中点、等分点等条件转化长度关系，验证三组边是否成比例，确保判定准确性。 例3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【变式3-1】如图，△与△在的正方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△与△是否相似，并说明理由．    【变式3-2】如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 一、单选题 1．如图，点D是边上一点，添加下列条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 2．下列条件中，不能判定以、、为顶点的三角形与相似的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 3．如图，在中，，若，的面积为4，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．16 4．如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 二、填空题 5．如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 6．如图，．则图中相似三角形有 对，与的相似比是 ， ． 7．如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ． 8．如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为 ． 三、解答题 9．如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． (1)填空：______，______ (2)判断与是否相似，并说明你的结论． 10．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 11．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 12．如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 13．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 14．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 15．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． 16．如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形相似的判定方法的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、两角对应相等，两个三角形相似 类型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 类型三、三边对应成比例，两个三角形相似 压轴专练 类型一、两角对应相等，两个三角形相似 知识点总结 1.相似三角形定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形为相似三角形，“两角对应相等”是判定相似的核心定理。 2.三角形内角和性质：三角形内角和为180°，若两三角形已有两角对应相等，则第三角必相等，满足相似三角形角的全部对应关系。 解题技巧 1.寻找等角条件：通过对顶角、公共角、平行线同位角/内错角、直角（90°）等隐含条件，快速识别相等的角，为判定提供依据。 2. 转化角的关系：若直接角不相等，可利用三角形外角性质（外角等于不相邻两内角和）或等角的余角/补角相等，推导角的对应关系，间接证明两角相等。 例1．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、证明两三角形相似 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 【变式1-1】如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、证明两三角形相似 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、证明两三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由是的中线可得，即，结合可得从而得证； （2）由（1）可得对应边成比例，从而求出，根据勾股定理即可求出，再由可得，代入数据即可求出． 【详解】（1）证明：是的中线， 即， ， ， ， ； （2）， ，即， 解得， 是的中线， ， ， ， ，即， 解得． 【变式1-3】在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【知识点】证明两三角形相似、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 类型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 知识点总结 1.相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，其中“夹角”指两组对应边的公共角，是判定的关键条件。 2.比例线段性质：对应边成比例需满足线段长度的比值相等，可通过已知线段长度、比例式或相似三角形传递性得出比例关系。 解题技巧 1.精准定位夹角：明确两组对应边的公共角为夹角，避免误将非夹角（如其中一边的对角）作为判定角，确保条件符合定理要求。 2.利用比例转化：若直接比例关系不明显，可通过线段和差、等量代换（如公共边、相等线段）转化比例式，再结合角相等条件完成判定。 例2．如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【答案】答案见解析 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【变式2-1】如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、证明两三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 【变式2-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 【答案】(1)135 (2)，理由见解析 (3)2 【知识点】三角形内角和定理的应用、勾股定理与网格问题、证明两三角形相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）先求出，即可解答； （2）先得出，再得出，即可求证； （3）分别求出与的面积，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：135． （2）证明：由（1）同理可得， ∵， ∴， 又∵ ∴； （3）解：∵， ∴． 【变式2-3】在等边三角形中，，点M，N分别是，上的点，且． (1)求证：； (2)点M在什么位置时，的长为． 【答案】(1)见解析 (2)当或时，的长为 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，求出，即可得解； （2）证明，得出，设，则，代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，， 故当或时，的长为． 类型三、三边对应成比例，两个三角形相似 知识点总结 1. 核心判定定理：若两个三角形的三组对应边长度的比相等（即三边对应成比例），则这两个三角形相似，此定理无需角的条件即可判定相似。 2. 比例的传递性：若线段比例通过中间量关联（如a/b = c/d且c/d = e/f，则a/b = e/f），可推导三边对应比例关系，为判定提供依据。 解题技巧 1. 规范比例书写：按对应边顺序列出比例式（如△ABC与△DEF相似，写AB/DE = BC/EF = AC/DF），避免因顺序混乱导致误判。 2. 计算验证比例：通过已知边长计算比值，或利用线段中点、等分点等条件转化长度关系，验证三组边是否成比例，确保判定准确性。 例3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【答案】见解析 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“ 三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立． 【详解】解：观察图形得，， 根据勾股定理，得， ， ， ∴． 【变式3-1】如图，△与△在的正方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△与△是否相似，并说明理由．    【答案】△与△相似，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、证明两三角形相似 【分析】根据题意得，，，，，，进行计算得，，，即可得． 【详解】证明：根据题意得，， ， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似，解题的关键是掌握相似的判定． 【变式3-2】如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、证明两三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】相似，理由如下： ∵在中，，，， 在中，，，， ∵，，， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，点D是边上一点，添加下列条件后，仍不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法一一判断即可． 【详解】解：和中，，满足一组对角相等． A．添加后，不能使； B．添加后，根据两边成比例夹角相等两三角形相似，即可判定； C．添加后，根据两角对应相等两三角形相似，即可判定； D．添加后，根据两角对应相等两三角形相似，即可判定； 故选A． 2．下列条件中，不能判定以、、为顶点的三角形与相似的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由两个角对应相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意； B.因为，，即，根据两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意； C. 由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意； D.该选项条件中，相等的角不是对应成比例两边的夹角，故不能证明三角形相似，该选项错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，在中，，若，的面积为4，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，由，易证，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明，得出，代入计算求出答案． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 5．如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 6．如图，．则图中相似三角形有 对，与的相似比是 ， ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键；根据相似三角形的判定定理即可得到图中相似三角形的对数，再根据已知可求出与的相似比，证明四边形是平行四边形，得到，再利用相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴图中相似三角形有对； ∵，， ∴， ∴与的相似比是； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，． 7．如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由平行线分线段定理可得，即；再证明可得，即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 8．如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解． 由正方形的性质得，可证，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求的值． 【详解】解：∵， ∴， ，即， 解得． 故答案为：． 三、解答题 9．如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． (1)填空：______，______ (2)判断与是否相似，并说明你的结论． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据图形求出，根据勾股定理求出即可； （2）求出的值，求出和的值，再根据相似三角形的判定定理即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：， 根据勾股定理∶． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴． 10．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 11．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 12．如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由翻折得，推导出，则； （2）由为的中点，，得，由，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 13．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 14．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 15．如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长度为 【分析】（1）由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证； （2）由矩形性质，结合题意得到相关线段长度，再由（1）中，列比例式，代值求解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， 由（1）知， ，即， 则，整理得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的长度为． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 16．如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质可证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）过E点作交于M点，如图，利用平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，则，所以； （3）先证明得到，则利用， 得到，根据比例的性质得到①，由于，所以②，然后把①与②相加得到1，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过E点作交于M点，如图， ∵为中线， ∴， ∵， ∴1， 即， ∵， ∴， 而， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 即①， ∵， ∴， 即②， 得1， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$