专题04 期末复习之整式的乘法（考情分析+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学单元复习讲义通过考情分析表格系统梳理整式的乘法知识体系，涵盖幂的运算、整式乘法、乘法公式等七大考点，明确复习目标与考察形式，结合错题警示和题型分层呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导创新，基础题型巩固幂的运算，提升题型如“不含某项”问题培养运算能力与推理意识，培优题型如新定义运算发展创新意识。每个题型配例题与变式，帮助不同层次学生提升，同步练习助力自主复习，为教师精准教学提供支持。

专题04 整式的乘法 期末考点 复习目标 考察形式 1.幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 1.掌握3类幂的运算法则及逆用； 2.能准确进行混合运算，规避符号错误 基础必考题，选择/填空（1-2题）； 2.整式乘法（单项式×单项式/多项式、多项式×多项式） 1.熟练运用乘法法则转化运算； 2.避免漏项、符号错误 选择/填空/解答（基础题） 3.乘法公式（平方差、完全平方公式） 1.掌握公式结构特征及变形； 2.能直接应用和逆向求值 全题型覆盖，解答题高频； 4.零指数幂与负整数指数幂 1.牢记底数不为0的限制条件； 2.熟练进行指数转化 选择/填空（1题）； 5.化简求值（整式乘法+公式） 1.掌握“先化简再求值”步骤； 2.能整体代入简化计算 解答题核心题（1题）； 6.几何与整式运算结合 1.用整式表示图形面积/体积； 2.验证乘法公式的几何意义 解答题中档题； 7.新定义/规律探究题 1.理解新运算规则并转化； 2.探究整式运算的规律 选择/填空压轴题 【易错题型】 【题型1】完全平方公式漏项易错问题（易错题型） 1.易错点总结 遗漏中间项：如错误计算为，忽略； 混淆公式结构：与平方差公式混用（如误写为）； 漏解中间项正负情况：求完全平方式中的参数时，忽略中间项的两种可能（如是完全平方式，误将只算为，漏掉）。 2.纠错技巧 公式口诀记忆：“前平方，后平方，中间是乘积的2倍，符号跟着括号走”； 验证方法：计算后用特殊值代入检验（如令，，验证结果是否一致）； 关键提醒：完全平方公式结果是三项式，平方差公式是两项式； 参数求解必记：若是完全平方式，中间项系数，需同时考虑正负两种情况。 【例题1】.（24-25八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广西贵港·期中）如果是完全平方式，那么m的值是 ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）若是一个完全平方式，则（    ） A．6 B．12 C． D． 【基础题型】 【题型2】幂的基本运算 1.期末考点总结 核心考点：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的直接运算及混合运算； 高频场景：指数为整数（正/负/零），底数含字母或常数； 运算类型 核心法则公式（正用） 逆用公式（常用变形） 同底数幂相乘 （为正整数） （拆分指数） 同底数幂相除 （，为正整数，） （拆分指数） 幂的乘方 （为正整数） （转化指数） 积的乘方 （为正整数） （合并底数） 2.解题技巧 运算顺序口诀：“先乘方，再乘除，最后加减”，有括号先算括号内； 符号判断三步法：先定底数正负→再看指数奇偶→最后计算结果符号； 【例题2】.（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如果，那么的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题2-2】.（25-26八年级上·福建厦门·月考）已知 ，，则= ． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【题型3】整式乘法基础计算 1.期末考点总结 核心考点：单项式×单项式、单项式×多项式（分配律）、多项式×多项式（逐项相乘）； 易错点：漏项、符号错误、同类项未合并。 2.解题技巧 单项式×多项式：“单乘每一项，符号跟着走”（如）； 多项式×多项式：“逐项相乘再合并，项数先验（原项数之积）”（如，先验项数项，再合并）； 关键：含负号时，多项式的每一项都要带符号参与运算。 【例题3】.（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【变式题3-1】.（2025八年级上·新疆乌鲁木齐·专题练习）计算： ． 【变式题3-2】.（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）计算： (1) (2) 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河北沧州·月考）计算： (1)； (2)． 【题型4】乘法公式直接应用 1.期末考点总结 核心考点：平方差公式（）、完全平方公式（）的直接计算； 特征识别：平方差公式需满足“一同一反”，完全平方公式需满足“两数和/差的平方”。 2.解题技巧 平方差公式：先找“相同项”和“相反项”，再用“相同项²-相反项²”（如）； 完全平方公式：先拆“两数”，再套公式，中间项系数是两数乘积（如）； 简便方法：复杂式子先变形（如）。 【例题4】.（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）化简 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）先化简，再求值： 其中 【提升题型】 【题型5】整式乘法中“不含某项”问题 1.期末考点总结 核心考点：多项式相乘后，令指定次数项的系数为0，求字母参数； 关键：正确展开、合并同类项，准确识别目标项系数。 2.解题技巧 三步法：①按法则展开多项式；②合并同类项（按字母次数排序）；③令目标项的系数=0，解方程求参数； 提醒：“不含常数项”即常数项系数=0，“不含项”即项系数=0。 【例题5】.（25-26八年级上·湖北黄石·月考）若与的乘积中不含的一次项，则实数的值为 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）式子的值（    ） A．与无关 B．与无关 C．与无关 D．与有关 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）老师在黑板上布置了一道题： 已知，求式子的值． 小亮和小新展开了下面的讨论： 小亮：只知道的值，没有告诉的值，这道题不能做； 小新：这道题与的值无关，可以求解； 根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？ 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河南周口·月考）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【题型6】乘法公式变形求值 1.期末考点总结 核心考点：利用、等变形公式求值； 高频条件：已知、、中的两个，求第三个表达式的值。 2.解题技巧 口诀：“知二求一，变形优先”，先根据已知条件选择合适变形公式； 整体代入：无需单独求、的值，直接将已知式子作为整体代入； 示例：已知，，则； 拓展：若已知，，则。 【例题6】.（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【变式题6-1】.（25-26九年级上·重庆·期中）（1）已知，求和的值； （2）已知，求的值. 【变式题6-2】.（24-25八年级上·河南周口·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)如图，C是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积； (2)若，求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）我们常将一些公式变形，以简化运算过程． 如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答： 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答：设，，则，，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形分割成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为，求长方形的面积． 【题型7】幂运算技巧型比较大小 1.期末考点总结 核心考点：逆用幂的运算法则，通过同底数转化、同指数转化、作商法比较幂的大小； 高频场景：底数、指数均不同的幂（如与），避免直接计算。 2.解题技巧 方法一：同底数转化法 口诀：底数统一，指数比大小； 方法二：同指数转化法 口诀：指数统一，底数比大小； 方法三：作商法 口诀：同正幂相除，商>1则前者大； 【例题7】.（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）比较大小：（用“”连接） 【变式题7-1】.（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知：，，，试比较a、b、c的大小． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山东临沂·月考）已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读材料： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 解决问题： (1)已知为自然数，，，试比较与的大小； (2)已知，直接写出与的大小比较结果． 【培优题型】 【题型8】幂的运算逆用与简便计算 1.期末考点总结 核心考点：逆用同底数幂乘法（）、积的乘方（）进行简便计算； 关键：转化底数或指数，构造“同底数”或“积为1”的形式。 2.解题技巧 底数转化：将不同底数化为相同底数（如）； 逆用积的乘方：当底数互为倒数时，优先逆用； 拓展：已知，，则。 【例题8】.（25-26八年级上·吉林长春·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自新版苏科版教材第108页图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）用简便方法计算： ________；________；________；________． （2）你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南洛阳·月考）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【题型9】几何图形与整式运算 1.期末考点总结 核心考点：用整式表示图形的面积、周长，或通过图形面积验证乘法公式； 情境载体：长方形铁皮折盒子、小区绿化面积、正方形拼接等实际场景。 2.解题技巧 图形分析：先确定所求图形的边长/长和宽（用已知字母表示），再套公式； 面积法验证公式：通过“整体面积=部分面积和”建立等式（如正方形剪拼验证平方差公式）； 提醒：单位统一，结果需化简为最简整式。 【题型10】新定义运算与整式结合 1.期末考点总结 核心考点：理解自定义的运算规则（如二阶行列式、“妙数”定义等），转化为整式运算； 能力要求：阅读理解能力、转化思想、整式化简能力。 2.解题技巧 步骤：①精读定义，明确运算逻辑（如“”即）；②将具体代数式代入规则；③按整式运算化简求解； 【例题9】.（25-26八年级上·福建龙岩·月考）某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：在长方形中，长为，长为，且． (1)若该长方形的周长为，面积为，求的值； (2)若，满足，，求的值； (3)为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池（），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长． 【变式题9-1】.（2024八年级上·河南信阳·专题练习）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为________；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为________． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． （2）若，，求的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形． (1)观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项） ．              ． ．       ． (2)利用（）中的等量关系解决下面的问题： ① ，求； ②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积． 【例题10】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算；； (3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． (4)已知，求复数． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·四川达州·开学考试）【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 同步练习 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·四川南充·期中）如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A．5 B．1 C．1或 D．1或9 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，则的值是 ． 7．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 8．（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）若，，则 ． 9．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 10．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）比较大小： ．（填“”或“”或“”） 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）计算； （2）计算． 13．（25-26八年级上·福建厦门·月考）先化简，再求值： ，其中 ，． 14．（25-26八年级上·四川广元·期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）完全平方公式进行适当变形，可以解决很多数学问题．例如：若，，求的值． 解：∵ ∴ 即： 又∵ ∴ 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，，求ab的值； (2)填空：若，则________； (3)如图，是直角三角，，分别以边AC，BC为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法 期末考点 复习目标 考察形式 1.幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 1.掌握3类幂的运算法则及逆用； 2.能准确进行混合运算，规避符号错误 基础必考题，选择/填空（1-2题）； 2.整式乘法（单项式×单项式/多项式、多项式×多项式） 1.熟练运用乘法法则转化运算； 2.避免漏项、符号错误 选择/填空/解答（基础题） 3.乘法公式（平方差、完全平方公式） 1.掌握公式结构特征及变形； 2.能直接应用和逆向求值 全题型覆盖，解答题高频； 4.零指数幂与负整数指数幂 1.牢记底数不为0的限制条件； 2.熟练进行指数转化 选择/填空（1题）； 5.化简求值（整式乘法+公式） 1.掌握“先化简再求值”步骤； 2.能整体代入简化计算 解答题核心题（1题）； 6.几何与整式运算结合 1.用整式表示图形面积/体积； 2.验证乘法公式的几何意义 解答题中档题； 7.新定义/规律探究题 1.理解新运算规则并转化； 2.探究整式运算的规律 选择/填空压轴题 【易错题型】 【题型1】完全平方公式漏项易错问题（易错题型） 1.易错点总结 遗漏中间项：如错误计算为，忽略； 混淆公式结构：与平方差公式混用（如误写为）； 漏解中间项正负情况：求完全平方式中的参数时，忽略中间项的两种可能（如是完全平方式，误将只算为，漏掉）。 2.纠错技巧 公式口诀记忆：“前平方，后平方，中间是乘积的2倍，符号跟着括号走”； 验证方法：计算后用特殊值代入检验（如令，，验证结果是否一致）； 关键提醒：完全平方公式结果是三项式，平方差公式是两项式； 参数求解必记：若是完全平方式，中间项系数，需同时考虑正负两种情况。 【例题1】.（24-25八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【答案】，，， 【分析】由于多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么此单项式可能是二次项、可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项，分4种情况讨论即可． 【详解】解：∵多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方， ∴此单项式可能是二次项，可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项， ，故此单项式是； ，故此单项式是； ，故此单项式是； 故此单项式是． 故答案是，，，． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，先由二次三项式是完全平方式，得出，再把展开，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：D 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广西贵港·期中）如果是完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．完全平方式是，据此求解即可． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式，且常数项， ∴ 该式可表示为 ， ∴ ， 即 或 ， 当 时， 解得 ； 当 时， 解得 ． 综上所述或． 故答案为：或． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）若是一个完全平方式，则（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去的2倍，据此可解答． 【详解】解：． ∵是一个完全平方式， ∴． ∴． 故选：D． 【基础题型】 【题型2】幂的基本运算 1.期末考点总结 核心考点：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的直接运算及混合运算； 高频场景：指数为整数（正/负/零），底数含字母或常数； 运算类型 核心法则公式（正用） 逆用公式（常用变形） 同底数幂相乘 （为正整数） （拆分指数） 同底数幂相除 （，为正整数，） （拆分指数） 幂的乘方 （为正整数） （转化指数） 积的乘方 （为正整数） （合并底数） 2.解题技巧 运算顺序口诀：“先乘方，再乘除，最后加减”，有括号先算括号内； 符号判断三步法：先定底数正负→再看指数奇偶→最后计算结果符号； 【例题2】.（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如果，那么的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 【变式题2-2】.（25-26八年级上·福建厦门·月考）已知 ，，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，逆用同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据逆用同底数幂乘法，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，合并同类项．先计算积的乘方运算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【题型3】整式乘法基础计算 1.期末考点总结 核心考点：单项式×单项式、单项式×多项式（分配律）、多项式×多项式（逐项相乘）； 易错点：漏项、符号错误、同类项未合并。 2.解题技巧 单项式×多项式：“单乘每一项，符号跟着走”（如）； 多项式×多项式：“逐项相乘再合并，项数先验（原项数之积）”（如，先验项数项，再合并）； 关键：含负号时，多项式的每一项都要带符号参与运算。 【例题3】.（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．根据法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 【变式题3-1】.（2025八年级上·新疆乌鲁木齐·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式与单项式的乘法运算，掌握单项式乘法的运算规则是解题关键． 单项式乘法运算，需将系数相乘，相同字母的指数相加，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题3-2】.（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘以单项式法则，多项式除以单项式法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河北沧州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式的法则进行展开，再合并同类项即可； （2）先计算同底数幂相乘、积的乘方和幂的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4】乘法公式直接应用 1.期末考点总结 核心考点：平方差公式（）、完全平方公式（）的直接计算； 特征识别：平方差公式需满足“一同一反”，完全平方公式需满足“两数和/差的平方”。 2.解题技巧 平方差公式：先找“相同项”和“相反项”，再用“相同项²-相反项²”（如）； 完全平方公式：先拆“两数”，再套公式，中间项系数是两数乘积（如）； 简便方法：复杂式子先变形（如）。 【例题4】.（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，先理解题意，再把整理为，再结合选项进行分析比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 【变式题4-1】.（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式．应用完全平方公式和平方差公式展开表达式，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为： 【变式题4-2】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)，4 (2)， 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项，然后代入求值； （2）先计算多项式除以单项式、利用完全平方公式展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】（1）解： 当时， 原式 ； （2） 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，计算单项式乘多项式及求值，运用完全平方公式进行运算，多项式除以单项式，整式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）先化简，再求值： 其中 【答案】， 0 【分析】本题考查了整式的化简求值， 先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，最后代入字母的值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【提升题型】 【题型5】整式乘法中“不含某项”问题 1.期末考点总结 核心考点：多项式相乘后，令指定次数项的系数为0，求字母参数； 关键：正确展开、合并同类项，准确识别目标项系数。 2.解题技巧 三步法：①按法则展开多项式；②合并同类项（按字母次数排序）；③令目标项的系数=0，解方程求参数； 提醒：“不含常数项”即常数项系数=0，“不含项”即项系数=0。 【例题5】.（25-26八年级上·湖北黄石·月考）若与的乘积中不含的一次项，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】根据多项式乘法法则展开乘积，令一次项系数为零求解． 首先利用多项式与多项式的乘法计算出它们的乘积，再合并同类项找到一次项，最后使得一次项系数为0即可求得m的值． 【详解】计算乘积： ．由于不含x的一次项，则一次项系数 ，解得 ． 故答案为：2． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）式子的值（    ） A．与无关 B．与无关 C．与无关 D．与有关 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，能熟练地运用公式进行计算是解此题的关键． 先算乘法，合并同类项，关键是求出的结果判断即可． 【详解】解：， ， ， 即与无关， 故选：B． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）老师在黑板上布置了一道题： 已知，求式子的值． 小亮和小新展开了下面的讨论： 小亮：只知道的值，没有告诉的值，这道题不能做； 小新：这道题与的值无关，可以求解； 根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？ 【答案】小新的说法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、根据平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先根据平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据化简结果即可解答． 【详解】解：小新的说法正确．理由如下： ， ， 这道题与的值无关，可以求解， 小新的说法正确． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河南周口·月考）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算． （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的代数式中不含的一次项， ，， ， ， 时，； （3）解：， ， ， ， ，， ，即， ． 【题型6】乘法公式变形求值 1.期末考点总结 核心考点：利用、等变形公式求值； 高频条件：已知、、中的两个，求第三个表达式的值。 2.解题技巧 口诀：“知二求一，变形优先”，先根据已知条件选择合适变形公式； 整体代入：无需单独求、的值，直接将已知式子作为整体代入； 示例：已知，，则； 拓展：若已知，，则。 【例题6】.（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·重庆·期中）（1）已知，求和的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，求一个数的平方根等知识点，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形形式． （1）先由求出，再代入求解即可； （2）设， 则，先由求出，即可求解的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵ ∴； （2）设， 则， ∵， ∵， ∴， ∴． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·河南周口·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)如图，C是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积； (2)若，求的值． 【答案】(1)4 (2)7 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）设，，得到，，利用完全平方公式变形计算即可； （2）利用完全平方公式变形进行求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∴，． ∴， ∴． ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）我们常将一些公式变形，以简化运算过程． 如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答： 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答：设，，则，，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形分割成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为，求长方形的面积． 【答案】(1)120 (2)2020.5 (3)长方形的面积为192． 【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用，理解公式的变形和结构特征是正确应用的前提． （1）根据题中提供方法进行计算即可； （2）设，，计算出的值，利用，进行计算即可； （3）由题意知，．利用计算的值即可； 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴的值， 故答案为：120； （2）解：设，， 则， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设，，则，． 由题意知，，， ∴． ∴ ∴， 解得． ∴长方形的面积为． 即：． 【题型7】幂运算技巧型比较大小 1.期末考点总结 核心考点：逆用幂的运算法则，通过同底数转化、同指数转化、作商法比较幂的大小； 高频场景：底数、指数均不同的幂（如与），避免直接计算。 2.解题技巧 方法一：同底数转化法 口诀：底数统一，指数比大小； 方法二：同指数转化法 口诀：指数统一，底数比大小； 方法三：作商法 口诀：同正幂相除，商>1则前者大； 【例题7】.（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）比较大小：（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和有理数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．通过幂的乘方将指数化为相同形式，然后比较底数的大小． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知：，，，试比较a、b、c的大小． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，根据，，，即可求解． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山东临沂·月考）已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 故选：D． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读材料： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 解决问题： (1)已知为自然数，，，试比较与的大小； (2)已知，直接写出与的大小比较结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了作差法比较代数式的大小，解题的关键是通过计算两式的差，化简后根据差的符号判断大小关系． （1）计算，展开并化简，根据差的符号确定与的大小； （2）设数将、转化为类似（1）的代数式形式，利用作差法的结论比较大小． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：设，则，， ， ． 【培优题型】 【题型8】幂的运算逆用与简便计算 1.期末考点总结 核心考点：逆用同底数幂乘法（）、积的乘方（）进行简便计算； 关键：转化底数或指数，构造“同底数”或“积为1”的形式。 2.解题技巧 底数转化：将不同底数化为相同底数（如）； 逆用积的乘方：当底数互为倒数时，优先逆用； 拓展：已知，，则。 【例题8】.（25-26八年级上·吉林长春·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂相乘逆用，整体代入思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，把变形为，然后代入即可求解； （）先由变形为，又（，都是正整数）能被整除，能被整除，从而可得也能被整除． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：由 ， ∵（，都是正整数）能被整除，能被整除， ∴能被整除， ∴也能被整除． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观． 【教材回顾】选自新版苏科版教材第108页图 （1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．从图中可以直观的看出正方形的面积表示为，还可以表示为______，所得等式为：__________________； 【探索活动】（2）简便计算：； 【拓展应用】（3）． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用、列代数式、完全平方公式的简便运算等知识点，灵活运用完全平方公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）结合图形列代数式即可解答； （2）将写成，然后用完全平方公式求解即可； （3）将写成，然后解答即可． 【详解】解：（1）正方形的面积还可以表示为， 所得等式为：． 故答案为：，． （2） ． （3） ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）用简便方法计算： ________；________；________；________． （2）你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来． 【答案】（1）399，899，1599，2499；（2）规律：两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，． 【分析】本题考查了平方差公式． （1）通过观察，每个乘法算式中的两个数都相差2，可以利用平方差公式进行简便计算，即； （2）由（1）可知两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，用含有字母的式子表示为． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：399，899，1599，2499； （2）解：由（1）发现规律：两个相差2的整数的乘积等于它们中间数的平方减1，因此用含有字母的式子表示为． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南洛阳·月考）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解决问题的关键． （1），，利用运算法则计算即可． （2）观察题目中数据可知，构造即可求出结果． 【详解】解：（1），， ． （2）， ， ， ， ． 【题型9】几何图形与整式运算 1.期末考点总结 核心考点：用整式表示图形的面积、周长，或通过图形面积验证乘法公式； 情境载体：长方形铁皮折盒子、小区绿化面积、正方形拼接等实际场景。 2.解题技巧 图形分析：先确定所求图形的边长/长和宽（用已知字母表示），再套公式； 面积法验证公式：通过“整体面积=部分面积和”建立等式（如正方形剪拼验证平方差公式）； 提醒：单位统一，结果需化简为最简整式。 【题型10】新定义运算与整式结合 1.期末考点总结 核心考点：理解自定义的运算规则（如二阶行列式、“妙数”定义等），转化为整式运算； 能力要求：阅读理解能力、转化思想、整式化简能力。 2.解题技巧 步骤：①精读定义，明确运算逻辑（如“”即）；②将具体代数式代入规则；③按整式运算化简求解； 【例题9】.（25-26八年级上·福建龙岩·月考）某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：在长方形中，长为，长为，且． (1)若该长方形的周长为，面积为，求的值； (2)若，满足，，求的值； (3)为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池（），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长． 【答案】(1)40 (2)1 (3)， 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由完全平方公式得到，利用整体代入求值即可； （2）根据题意得到，，利用乘法公式即可得到答案； （3）根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵长为，长为，且．长方形的周长为，面积为， ∴， 即， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，长方形水池的长为，宽为， ∴ ， 则 ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得 即和的长分别为，． 【变式题9-1】.（2024八年级上·河南信阳·专题练习）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为________；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为________． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． （2）若，，求的值． 【答案】知识回顾：， 拓展探究：（1）；（2）； 【分析】本题考查了利用数形结合思想解释完全平方公式，完全平方公式的变形求值问题﹒ 知识回顾：用两种不同方式表示阴影面积即可求解； 拓展探究：（1）用两种不同方式表示阴影面积即可求解； （2）根据（1）结论变形得到，再整体代入即可求解﹒ 【详解】解：知识回顾：图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为． 故答案为：，； 拓展探究：（1）三个代数式，，之间的等量关系为； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴﹒ 【变式题9-2】.（25-26八年级上·福建福州·期中）对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【答案】(1)相等 (2)①；②；③25 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由小华计算数据即可判断； （2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案； ②计算出的结果即可得到答案； ③根据，，可得，据此可得答案； （3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）图是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图那样拼成一个正方形． (1)观察图，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到等量关系为：__________；（填选项） ．              ． ．       ． (2)利用（）中的等量关系解决下面的问题： ① ，求； ②如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、正方形，连接．设，若的面积为，长为，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）用两种不同的方法表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用（）所得等量关系计算即可求解；②由题意得，即可得，，再利用（）所得等量关系可得，进而根据解答即可求解； 本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算及运用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可看作大正方形的面积减去四个长方形的面积，即； 阴影部分是一个边长为的正方形，所以阴影部分的面积又可以表示为， ∴得到等量关系为， 故选：； （2）解：①∵，， ∴； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵，的面积为， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， 答：阴影部分的面积为． 【例题10】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)7 (2) 滨滨正确，江江正确，美美错误 【分析】本题考查了新定义运算的计算及运算律的验证，解题的关键是根据新运算的定义代入计算并推导运算律． （1）根据新运算定义，将、代入公式计算； （2）分别推导交换律、结合律、分配律的左右两边，比较是否相等以判断说法正误． 【详解】（1）解：由新运算， 当，时， 故答案为：． （2）解：∵ ，， ∴ ，滨滨的说法正确． ∵， ； ， ； ∴ ，江江的说法正确． ∵ ； ； ∵ ， ∴ 分配律不成立，美美的说法错误． 答：滨滨、江江的说法正确，美美的说法错误． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 【答案】 （1）① ；② （2）当 时， 为“智能数”，理由见解析 （3） 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质及代数式的最值求解，解题的关键是通过配方法将式子化为完全平方式，结合“智能数”的定义或非负数的意义解决问题． （1）①寻找两个整数的平方和表示17； ②用配方法将等式化为完全平方式的和，利用非负数性质求、； （2）对配方，凑成两个完全平方式的和以满足“智能数”的定义； （3）用表示，代入代数式后配方求最大值． 【详解】（1）①解：∵， 故答案为：． ②解：， ∵，， ∴，，解得，， ∴． 故答案为：． （2）解： ， 令，即， 此时，、是整数，则、是整数，符合“智能数”的定义． 答：符合条件的一个值为13． （3）解：由，得， ∴， 配方得：， ∵， ∴的最大值为． 答：的最大值为． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算；； (3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． (4)已知，求复数． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式运算的应用，平方差公式的运用，完全平方公式的运用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意化简即可； （2）利用完全平方公式运算即可； （3）利用平方差公式和分式的性质运算求解即可； （4）根据分式方程的运算法则运算求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；1； （2）解：； （3）； （4）， 解：， ， ∴． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·四川达州·开学考试）【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 同步练习 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的运算、分配律、多项式乘法和完全平方公式，根据运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．图的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，图2的面积等于梯形的面积（下底是，上底是，高是），结合两个面积是相等的，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，图的面积；图2的面积； ∵这两个图形的面积是相等的， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、完全平方公式、平方差公式和整式的除法，需根据运算法则逐一判断． 按照运算法则判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 4．（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 5．（25-26八年级上·四川南充·期中）如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A．5 B．1 C．1或 D．1或9 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方式的结构特征． 利用完全平方公式的结构特征，常数项为25，可确定平方根为，再根据一次项系数相等求解． 【详解】∵ = ， 又多项式 是完全平方式， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，则的值是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，同底数幂相乘，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 将转化为，再利用指数运算法则合并，结合已知条件计算． 【详解】解：由，得． 则． 故答案为：27． 7．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】先计算乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加法运算，并检查合并同类项的可能性． 本题考查了积的乘方，乘法运算和混合运算，熟练掌握乘方运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（江西省赣州市2025-2026学年上学期八年级联考数学试卷）若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式将已知条件代入求解，即可作答． 【详解】解：依题意，． 把和代入，得， 解得． 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）比较大小： ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较幂的大小，熟记幂的乘方运算的逆运算是解决问题的关键． 通过幂的乘方的逆运算，将两个幂化为同指数形式，比较底数大小即可判断． 【详解】解： ，， 根据指数相同时，由底数大小确定幂的大小，可知当时，， 即 ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法及乘方的运算法则． （1）根据同底数幂乘法法则，将变形，代入已知条件求值即可； （2）根据同底数幂的乘方和除法法则，将变形，代入已知条件求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，运用平方差公式进行运算，运用完全平方公式进行运算，整式的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用它们来求解． （1）利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项； （2）用平方差公式、完全平方公式，分别展开，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） ． 13．（25-26八年级上·福建厦门·月考）先化简，再求值： ，其中 ，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的化简求值， 先根据完全平方公式和平方差公式计算，并化到最简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 14．（25-26八年级上·四川广元·期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 【答案】（1）（2）16；（3） 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，完全平方公式的应用： （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以多项式，进而求得x、y、z的值，代入所求代数式求解即可； （3）设，，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）根据图形可得：， 故答案为：； （2）∵， ∴可以用图3中的2张边长为a的正方形，7张边长为a、b的长方形，3张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形， ∴，，， ∴； （3）设，， ∴， 由得：； ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）完全平方公式进行适当变形，可以解决很多数学问题．例如：若，，求的值． 解：∵ ∴ 即： 又∵ ∴ 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，，求ab的值； (2)填空：若，则________； (3)如图，是直角三角，，分别以边AC，BC为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【答案】(1)2 (2)10 (3)5 【分析】本题考查完全平方公式，将实际问题转化为数学问题是正确解答的关键． （1）根据完全平方公式的变形，即可求出的值； （2）根据完全平方公式的变形，即可求出答案； （3）设，将问题转化为，，求出的值即可． 【详解】（1）解： ， ， 即， 又， ． （2）解：①∵，， ∴， 故答案为：10； （3）解：设，则， 由可得，，则， ∵， ∴， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $