第02讲 一次不等式与不等式组（3命题点+11题型+2突破）（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次不等式与不等式组”核心考点，覆盖不等式性质、解法及实际应用，构建“考情剖析-知识网络-考点解析-题型突破-分层训练”系统架构。通过考点梳理建立知识联系，方法指导（如数轴法解不等式组）结合真题训练，助力学生突破参数问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“命题点-题型-突破”三阶教学法，如重难突破中“不等式组参数问题”通过数轴定位与口诀推理，培养学生运算能力与推理意识。分层练习（基础巩固到全国新趋势）落实数学应用意识，5分钟限时真题训练提升应考效率，教师可依此精准把控复习节奏，助力学生高效提分。

第二章 方程与不等式 第02讲 一次不等式与不等式组 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 不等式及不等式的性质 题型01不等式的性质 命题点二 一元一次不等式（组） 题型01 求一元一次不等式的解集 题型02 在数轴上表示不等式的解集 题型03 求一元一次不等式的整数解 题型04 求一元一次不等式组的解集 题型05 求一元一次不等式组的整数解 题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 题型07 不等式组和方程组的结合 命题点三 不等式（组）的实际应用 题型01 用一元一次不等式解决实际问题 题型02 不等式组的分配问题 题型03 不等式组的方案选择问题 05·重难突破·思维进阶难 32 突破一 不等式的性质的运用 突破二 不等式（组）中参数问题 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 不等式及不等式性质 安徽卷 T21 安徽卷 T23 安徽卷 T23 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 一元一次不等式（组） 安徽卷 T9 安徽卷 T8 安徽卷 T4 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 不等式（组）的实际应用 / / / 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。 命题预测 一元一次不等式（组）这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，不等式及不等式的性质主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；一元一次不等式（组）的解法多以填空题或者计算题的形式考查，有时会与方程或方程组结合考查列方程或不等式（组）的实际应用常以应用题的形式出现； 对于一元一次不等式（组）的复习，需要学生熟练掌握不等式的基本性质、一元一次不等式（组）的解法、列方程或不等式（组）的步骤等考点。 考点一 不等式及不等式性质 1.不等式的相关概念 2.不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 5.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 6.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 7.不等式的性质 内容 符号语言 基本性质1 不等式两边同时加上或减去相同的数或式子，不等号方向不变 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号方向不变 若a>b,c>0，则ac>bc （或） 基本性质3 不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改 变 若a>b,c<0，则ac<bc （或） 1.（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·安徽合肥·三模）已知，，下列结论中正确的是（　　） A． B．， C． D．， 考点二 一元一次不等式（组） 1.一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 2.一元一次不等式的解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 ①不要漏乘不含分母的项； ②当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. ③如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 ①去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; ②括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； ③括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 ①移项时不要漏项; ②将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 ①不要漏项； ②系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 ①不等式两边都除以未知数系数; ②当系数为负数，不等号的方向发生改变. 3.一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 4.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。 5.不等式组解集的确定有两种方法： （1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 （2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了。 6.解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出不等式组中各不等式的解集。 （2）将各不等式的解决在数轴上表示出来。 （3）在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 1.（2023·安徽·中考真题）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．  B．    C．      D．      2.（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 3.（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 考点三 不等式（组）的实际应用 1.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 2.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1.（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 2.（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 3.（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 命题点一 不等式及不等式的性质 ►题型01 不等式的性质 运用不等式的性质的注意事项： （1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． （2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． （3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． （4）运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 【典例】（2025·安徽滁州·三模）已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）已知三个实数，，满足，，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽宣城·二模）已知非零实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 命题点二 一元一次不等式（组） ►题型01 求一元一次不等式的解集 （1）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． （2）在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【典例】（2025·安徽淮南·一模）不等式的解集为 ． 【变式1】（2025·安徽马鞍山·三模）不等式的解集是 ． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）解不等式：． ►题型02 在数轴上表示不等式的解集 （1）在数轴上表示不等式的解集时，先求出不等式的解集； （2）带等号的用实心表示，不带等号的用空心表示； （3）大于右转，小于左转。 【典例】（2025·安徽淮南·二模）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 【变式1】（2025·安徽马鞍山·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽滁州·二模）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值为 ． ►题型03 求一元一次不等式的整数解 先求出不等式的解集，再确定正整数解 【典例】（2025·河北邯郸·三模）不等式的正整数解为 ． 【变式1】（2025·河南商丘·三模）关于x的不等式的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西榆林·三模）解不等式：，并写出该不等式的非负整数解． ►题型04 求一元一次不等式组的解集 先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【典例】（2025·安徽·一模）解不等式组． 【变式1】（2025·安徽安庆·三模）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽池州·三模）解不等式组，并把解集在数轴上表示． ►题型05 求一元一次不等式组的整数解 先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再求出整数解。 【典例】（2025·安徽·三模）不等式组的整数解是（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【变式2】（2025·四川·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． ►题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 1.先用参数表示出不等式组的解集； 2.根据整数解的数量确定参数的范围； 3.在确定端点处是否要带等号时，可以先假设带等号，判断端点是否在解集中，再看解集中是否需要该端点。 【典例】（2025·河北邯郸·三模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1】（2025·内蒙古包头·三模）已知不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】（2025·四川绵阳·三模）若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是 ． ►题型07 不等式组和方程组的结合 先求解方程组，用参数表示出方程组的解，再代入题目所给的不等式，得到关于参数的不等式，根据不等式的性质解不等式。 【典例】（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 命题点三 不等式（组）的实际应用 ►题型01 用一元一次不等式解决实际问题 【典例】（2025·安徽合肥·三模）一辆汽车行驶需8.4升汽油，一名工程师花费2880元将发动机的耗油量降到每需6.4升汽油．若汽油的价格每升7.2元，问此辆汽车至少行驶多少才能弥补这2880元的改造费用？ 【变式1】（2025·安徽阜阳·二模）学校组织20名新团员观看爱国主义影片，甲、乙两种电影票价格如下表： 电影票 票价（元/场） 甲 80 乙 40 若总费用不超过1100元，并尽可能多地购买甲种电影票，购买两种电影票各多少张？ 【变式2】（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ ►题型02 不等式组的分配问题 【典例】（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【变式1】（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ ►题型03 不等式组的方案选择问题 【典例】（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【变式1】（2025·甘肃酒泉·二模）随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过元购进、两种不同品牌的电动摩托辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于元的利润，、两种品牌电动摩托的进价和售价如下表所示：设该商场计划进品牌电动摩托辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润元． 品牌 价格 品牌电动摩托 品牌电动摩托 进价元辆 售价元辆 (1)写出与之间的函数关系式； (2)该商场购进品牌电动摩托多少辆时？获利最大，最大利润是多少？ 【变式2】（2025·宁夏中卫·三模）为推动新能源汽车的发展，某城市计划建设一批新能源汽车充电桩．有两种类型的充电桩可供选择，快充充电桩和慢充充电桩，据了解建设一个快充充电桩的费用比建设一个慢充充电桩的费用高2万元．如果建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元． (1)求建设一个快充充电桩和一个慢充充电桩的费用各是多少万元？ (2)该市准备用不超过万元的资金建设快、慢两种型号的充电桩共个，其中慢充电桩的数量不超过快充电桩数的，该市共有几种建设方案？ 突破一 不等式性质的运用 【典例】（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）已知实数a，b，c，p（其中，）满足，下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 突破二 不等式（组）中的参数问题 【典例】（2025·安徽·模拟预测）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是 ． 【变式1】（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 1.（2025·安徽芜湖·三模）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·安徽合肥·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025·安徽合肥·二模）已知实数，满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·安徽亳州·三模）不等式的解集为 ． 5.（2025·安徽合肥·三模）解不等式：． 6.（2025·安徽宿州·二模）解不等式组： 7.（2025·安徽淮南·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 8.（2025·安徽蚌埠·模拟预测）黄山毛峰是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批罐装黄山毛峰，并在进价的基础上提价30%进行售卖，若总销售额最多达13万元，且每卖一罐，必需有28元的管理和营销费用，此时商家总获利最少为多少？ 1.（2025·安徽淮北·三模）已知实数m，n满足，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·安徽六安·三模）已知实数满足，则下列判断正确的是（　　） A． B． C．2 D． 3.（2025·安徽马鞍山·二模）已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·江苏苏州·二模）若，，且，的最小值为，最大值为，的值为 ． 5.（2025·河南洛阳·二模）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 6.（2025·安徽淮南·三模）太子山旅游景区每天对游客开放，景区入口游客可乘坐观光车直接到达景点游览，某天欲乘坐观光车总人数（人）与开放时间之间满足： 若景区每小时有12趟观光车，每趟载客20人，设等待坐观光车的游客为（人）． (1)求关于的函数关系式； (2)求等待观光车的游客最多时有多少人． (3)若要在内确保游客没有积压（游客随到随走），那么从一开始每小时应该至少增加几趟观光车？ 1.（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 2.（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ． 4.（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 5.（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 6.（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第02讲 一次不等式与不等式组 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 不等式及不等式的性质 题型01不等式的性质 命题点二 一元一次不等式（组） 题型01 求一元一次不等式的解集 题型02 在数轴上表示不等式的解集 题型03 求一元一次不等式的整数解 题型04 求一元一次不等式组的解集 题型05 求一元一次不等式组的整数解 题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 题型07 不等式组和方程组的结合 命题点三 不等式（组）的实际应用 题型01 用一元一次不等式解决实际问题 题型02 不等式组的分配问题 题型03 不等式组的方案选择问题 05·重难突破·思维进阶难 32 突破一 不等式的性质的运用 突破二 不等式（组）中参数问题 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 不等式及不等式性质 安徽卷 T21 安徽卷 T23 安徽卷 T23 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 一元一次不等式（组） 安徽卷 T9 安徽卷 T8 安徽卷 T4 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 不等式（组）的实际应用 / / / 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。 命题预测 一元一次不等式（组）这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，不等式及不等式的性质主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；一元一次不等式（组）的解法多以填空题或者计算题的形式考查，有时会与方程或方程组结合考查列方程或不等式（组）的实际应用常以应用题的形式出现； 对于一元一次不等式（组）的复习，需要学生熟练掌握不等式的基本性质、一元一次不等式（组）的解法、列方程或不等式（组）的步骤等考点。 考点一 不等式及不等式性质 1.不等式的相关概念 2.不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 5.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 6.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 7.不等式的性质 内容 符号语言 基本性质1 不等式两边同时加上或减去相同的数或式子，不等号方向不变 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号方向不变 若a>b,c>0，则ac>bc （或） 基本性质3 不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改 变 若a>b,c<0，则ac<bc （或） 1.（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 2.（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 3.（2025·安徽合肥·三模）已知，，下列结论中正确的是（　　） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式和解不等式，由得到，然后分别代入和计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∴， 综上所述，，，， 故选：D． 考点二 一元一次不等式（组） 1.一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 2.一元一次不等式的解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 ①不要漏乘不含分母的项； ②当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. ③如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 ①去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; ②括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； ③括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 ①移项时不要漏项; ②将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 ①不要漏项； ②系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 ①不等式两边都除以未知数系数; ②当系数为负数，不等号的方向发生改变. 3.一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 4.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。 5.不等式组解集的确定有两种方法： （1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 （2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了。 6.解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出不等式组中各不等式的解集。 （2）将各不等式的解决在数轴上表示出来。 （3）在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 1.（2023·安徽·中考真题）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．  B．    C．      D．      【答案】A 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解： 解得：， 数轴上表示不等式的解集        故选：A． 2.（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为． 在数轴上表示为： 3.（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 考点三 不等式（组）的实际应用 1.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 2.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1.（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 2.（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 3.（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 命题点一 不等式及不等式的性质 ►题型01 不等式的性质 运用不等式的性质的注意事项： （1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． （2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． （3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． （4）运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 【典例】（2025·安徽滁州·三模）已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据题意及平方的非负性得，推出，可判断B；由，可推出，可判断A；由得，可判断C、D，解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，故选项B不符合题意； ∵，即， ∴，故选项A不符合题意； 又∵， ∴， ∴，故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）已知三个实数，，满足，，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可得，，，再根据，分别消去a、b、c即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意，D结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·安徽宣城·二模）已知非零实数，，满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查考查了不等式的性质，根据已给等式可得；，根据，可推出，则，据此可判断A；可证明，据此可判断B；可证明，据此可判断C；可证明，据此可判断D． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故A结论错误，不符合题意； ∵，， ∴，故B结论正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D结论错误，不符合题意； 故选：B. 命题点二 一元一次不等式（组） ►题型01 求一元一次不等式的解集 （1）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． （2）在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【典例】（2025·安徽淮南·一模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过去分母和移项解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解： 去分母，得：， 移项，得：， 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽马鞍山·三模）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求得答案． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 故答案为：. 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为，得：． ►题型02 在数轴上表示不等式的解集 （1）在数轴上表示不等式的解集时，先求出不等式的解集； （2）带等号的用实心表示，不带等号的用空心表示； （3）大于右转，小于左转。 【典例】（2025·安徽淮南·二模）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示出解集，如图所示： 【变式1】（2025·安徽马鞍山·三模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集． 先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：解得， 在数轴上表示为， 故选：A 【变式2】（2025·安徽滁州·二模）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表述不等式的解集. 解关于x的不等式求得其解集，然后再结合数轴上表示的解集得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：已知关于x的不等式， 解得：， 由数轴可得该不等式的解集为， 则， 解得：， 故答案为： ►题型03 求一元一次不等式的整数解 先求出不等式的解集，再确定正整数解 【典例】（2025·河北邯郸·三模）不等式的正整数解为 ． 【答案】1 【分析】该题考查了解不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解．先求出不等式的解，再根据不等式的解求出正整数解即可． 【详解】解：， ∴， ∴不等式的解为， ∴该不等式的正整数解为 ， 故答案为：1． 【变式1】（2025·河南商丘·三模）关于x的不等式的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的非负整数解问题．首先解不等式得到x的范围，再根据非负整数解的个数确定参数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得． 题目要求非负整数解仅有2个，即x的非负整数解为0和1． 当时，x的非负整数解为0和1，恰好满足2个解，因此． 若，则x的非负整数解为0、1、2，共3个，不符合题意，因此． 综上，a的取值范围为， 故选：C． 【变式2】（2025·陕西榆林·三模）解不等式：，并写出该不等式的非负整数解． 【答案】；非负整数解为0，1 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出不等式的非负整数解即可． 【详解】解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并，得： 系数化1，得： ∴原不等式的非负整数解为0，1． ►题型04 求一元一次不等式组的解集 先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【典例】（2025·安徽·一模）解不等式组． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为：． 【变式1】（2025·安徽安庆·三模）不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组解集的表示方法． 本题可根据数轴的性质“实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“”，“”表示，大于向右小于向左．”画出数轴即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 【变式2】（2025·安徽池州·三模）解不等式组，并把解集在数轴上表示． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是求解不等式组的解集，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：： 由②得：， 其解集在数轴上表示如图所示： 不等式组的解集为． ►题型05 求一元一次不等式组的整数解 先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再求出整数解。 【典例】（2025·安徽·三模）不等式组的整数解是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴整数解为． 故选：C． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再作和． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，0，1，2， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·四川·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． ►题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 1.先用参数表示出不等式组的解集； 2.根据整数解的数量确定参数的范围； 3.在确定端点处是否要带等号时，可以先假设带等号，判断端点是否在解集中，再看解集中是否需要该端点。 【典例】（2025·河北邯郸·三模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后根据不等式组的解集在数轴上表示得到，，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， ∵在数轴上表示为： ∴， 解得，， ∴ 故选：C． 【变式1】（2025·内蒙古包头·三模）已知不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的解集求参数，负指数幂的计算，掌握不等式的性质，数轴表示解集，负指数幂的运算是关键，根据不等式的性质运用含的式子表示不等式的解集，结合数轴的特点得到的值，代入计算即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 由数轴特点得到公共部分为不等式的解集，即， ∴， 解得，， ∴， 故选：D ． 【变式2】（2025·四川绵阳·三模）若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解问题，正确求出不等式组的解集，进而得出其整数解是解题关键． 先解每个不等式确定不等式组的解集，然后再根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，即可求得a的范围即可． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 则不等式组的解集为 ∵不等式组只有4个整数解 ∴整数解是，，，1． ，解得 故答案为：． ►题型07 不等式组和方程组的结合 先求解方程组，用参数表示出方程组的解，再代入题目所给的不等式，得到关于参数的不等式，根据不等式的性质解不等式。 【典例】（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 【变式1】（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围．本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到（即）关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 【详解】解： ， 用第一个方程减去第二个方程， 可得： 去括号得： 合并同类项得： 两边同时除以，得到． ∵， ∴． ，对于，当时，；当时，． ∵的取值范围是大于小于， ∴的取值范围是． 故选：D 【变式2】（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 命题点三 不等式（组）的实际应用 ►题型01 用一元一次不等式解决实际问题 【典例】（2025·安徽合肥·三模）一辆汽车行驶需8.4升汽油，一名工程师花费2880元将发动机的耗油量降到每需6.4升汽油．若汽油的价格每升7.2元，问此辆汽车至少行驶多少才能弥补这2880元的改造费用？ 【答案】汽车至少要行驶才能弥补改造所需的费用 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设汽车需要行驶才能弥补改造所需的费用，根据题意列不等式，求出的取值范围即可解题． 【详解】解：设汽车需要行驶才能弥补改造所需的费用． 由题意得， 化简得， 解得， 即汽车至少要行驶才能弥补改造所需的费用． 【变式1】（2025·安徽阜阳·二模）学校组织20名新团员观看爱国主义影片，甲、乙两种电影票价格如下表： 电影票 票价（元/场） 甲 80 乙 40 若总费用不超过1100元，并尽可能多地购买甲种电影票，购买两种电影票各多少张？ 【答案】购买甲种电影票7张，乙种电影票13张 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买甲种电影票x张，则乙种电影票张，根据题意列出不等式，正确理解题意，找到不等关系是解题的关键． 【详解】解：设购买甲种电影票x张，则乙种电影票张， 由题意得， 解得：， 为正整数， ， 答：购买甲种电影票7张，乙种电影票13张． 【变式2】（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】(1)20元；25元 (2)10件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系列出方程组，找准不等关系列出不等式． （1）根据甲、乙的销售情况，设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元，，列二元一次方程组求解两款木偶的售价． （2）设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件，列一元一次不等式求解A款的最大购买量． 【详解】（1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则，解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， ∵购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的， ∴，解得， 答：至多购买A款木偶工艺品10件． ►题型02 不等式组的分配问题 【典例】（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．任务二：分装方案1：精包装14个，简包装70个；分装方案2：精包装10个，简包装75个；分装方案3：精包装6个，简包装80个；分装方案4：精包装2个，简包装85个；理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用； 任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； 任务二：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出，再结合m，n，为正整数，进一步解答即可． 【详解】任务一： 解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． ， 解这个方程组，得 答：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒． 任务二： 解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）． 依题意得： ， 由①得． 将代入②． 得， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∵m，n，为正整数， ∴或或或； ∴，或，或，或，． 分装方案1：精包装14个，简包装70个； 分装方案2：精包装10个，简包装75个； 分装方案3：精包装6个，简包装80个； 分装方案4：精包装2个，简包装85个； 【变式1】（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 【答案】(1)原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元 (2)与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，读懂题意找到合适的等量关系是解题的关键． （1）设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，根据表格中第一次和第二次够买原料的吨数和费用列出方程，解之即可； （2）设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，根据“一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装、两种原料各2吨”，结合表中两次、原料的吨数列出一元一次不等式组，得到的取值范围；然后根据“甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元”列出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质和的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元， 依题意得，， 解得， 答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元． （2）解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆， 依题意得，， 解得； 设总运费为元， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取得最小值，最小值为． 答： 与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元． ►题型03 不等式组的方案选择问题 【典例】（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元 (2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入中，即可求出购进毛巾的数量． 【详解】（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 【变式1】（2025·甘肃酒泉·二模）随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过元购进、两种不同品牌的电动摩托辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于元的利润，、两种品牌电动摩托的进价和售价如下表所示：设该商场计划进品牌电动摩托辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润元． 品牌 价格 品牌电动摩托 品牌电动摩托 进价元辆 售价元辆 (1)写出与之间的函数关系式； (2)该商场购进品牌电动摩托多少辆时？获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)该商场购进品牌电动摩托辆时，获利最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题． （1）根据题中已知条件列出关于的一次函数即可； （2）根据题意列出不等式组，解不等式组便可求出的取值范围，结合一次函数的性质可知当时，所获得的利润最大． 【详解】（1）解：设该商场计划进品牌电动摩托辆，则进品牌电动摩托辆，由题意可知每辆品牌电动摩托的利润为元，每辆品牌电动摩托的利润为元，则； （2）解：由题意可知； 解得； ∵，， y随着x的增大而增大， ∴当时， 该商场购进品牌电动摩托辆时，获利最大，最大利润是元． 【变式2】（2025·宁夏中卫·三模）为推动新能源汽车的发展，某城市计划建设一批新能源汽车充电桩．有两种类型的充电桩可供选择，快充充电桩和慢充充电桩，据了解建设一个快充充电桩的费用比建设一个慢充充电桩的费用高2万元．如果建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元． (1)求建设一个快充充电桩和一个慢充充电桩的费用各是多少万元？ (2)该市准备用不超过万元的资金建设快、慢两种型号的充电桩共个，其中慢充电桩的数量不超过快充电桩数的，该市共有几种建设方案？ 【答案】(1)建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元 (2)该市共有3种建设方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元，根据“建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设建设快充充电桩个，建设慢充充电桩为个，根据题意列不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：设建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元， 根据题意得， 解得， ， 答：建设一个慢充充电桩的费用为万元，则建设一个快充充电桩为万元； （2）解：设建设快充充电桩个，建设慢充充电桩为个， 根据题意得， 解得，即， ∵取整数， ∴取值为，，， 答：该市共有3种建设方案． 突破一 不等式性质的运用 【典例】（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由得，即 ；由得，结合条件，可得；，则，由已知可判断，则，题目可解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ， ∴； ， ， 由可知， 则， 又， 故， ； 综上， 且 ． 故选： A． 【变式1】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质及配方法的应用，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质及配方法的应用，由可得，可得可得出， 即对所有成立．将代入得：可得， 再判断即可． 【详解】解：由可得， ， ， ， 即对所有成立． 将代入得： ， ， ， 即对所有成立． 故选：． 【变式2】（2025·安徽合肥·二模）已知实数a，b，c，p（其中，）满足，下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 首先由由得且，然后得抛物线与x轴的交点，，进而利用二次函数的图像及性质求解即可． 【详解】解：由得且， 抛物线与x轴的交点，， ， ， ，点B在A的左边， ， ， a，b同号， 或， ， 故选：A． 突破二 不等式（组）中的参数问题 【典例】（2025·安徽·模拟预测）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键． 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而得出a的范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∵不等式组的整数解共有三个， ∴这三个整数解为：2，3，4， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 【变式2】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】20 【分析】先计算出不等式组的解集，再根据解的情况判断出；然后计算分式方程的解，再结合其解为非负整数即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∵该不等式组至多有两个偶数解， ∴， 解得， ， 解得且， ∵该方程解为非负整数， ∴，13， ∴， 故答案为：20． 1.（2025·安徽芜湖·三模）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，再观察各个选项求出答案即可． 本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 【详解】解：， ， ， ， 解集在数轴上表示为： 故选：． 2.（2025·安徽合肥·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键．根据题意用表示出，即代入，即可判断A，进而得出，代入，即可判断B，进而判断C，根据，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∴，则，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故D选项正确 ，不符合题意； 故选：C． 3.（2025·安徽合肥·二模）已知实数，满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质．把代入求出，再根据得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确， B．∵， ∴， ∴， 即，故该选项正确， C．， ∵， ∴，即，故该选项错误，符合题意． D．∵，， ∴，， ∴，故该选项正确． 故选：C． 4.（2025·安徽亳州·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的方法． 按照去分母、移项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】解： 去分母，， 移项，， 系数化为，， 即不等式的解集为． 故答案为：． 5.（2025·安徽合肥·三模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，注意在系数化为1时若系数为负数需改变不等号方向． 先给不等式两边同时乘以3去分母，去掉分母后进行去括号操作；接着把含未知数的项移到左边，常数项移到右边并合并同类项；最后将未知数的系数化为1，得到不等式的解集． 【详解】解：， 去分母，两边同时乘以3得：， 合并同类项得：， 移项得：， 即． 6.（2025·安徽宿州·二模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 7.（2025·安徽淮南·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键在于找到不等式组中各不等式解集的公共部分． 先求得不等式组中各不等式的解集，然后找出各解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 8.（2025·安徽蚌埠·模拟预测）黄山毛峰是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批罐装黄山毛峰，并在进价的基础上提价30%进行售卖，若总销售额最多达13万元，且每卖一罐，必需有28元的管理和营销费用，此时商家总获利最少为多少？ 【答案】16000元 【分析】根据总销售额最多达13万元，列出不等式即可． 本题考查从实际问题中抽象出一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到不等关系列出不等式． 【详解】设售出的数量为m罐 列方程为． 解得：   ∴商家最多售出500罐 则可得利润：元 答：商家总获利最多16000元． 1.（2025·安徽淮北·三模）已知实数m，n满足，，则下列判断中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，， 又， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， 故选：D． 2.（2025·安徽六安·三模）已知实数满足，则下列判断正确的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断． 根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，故A错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，符合题意； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：C． 3.（2025·安徽马鞍山·二模）已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质．根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 4.（2025·江苏苏州·二模）若，，且，的最小值为，最大值为，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值．根据，可得，再根据，即可求得的取值范围；根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值． 【详解】解： ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当时，有最小值， 当时，有最大值， ，， ， 故答案为：． 5.（2025·河南洛阳·二模）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，根据题意列不等式，求出不等式的解集，然后再根据购买总费用最少，确定答案即可． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， 由题意得，， 解得，， ∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元， ∴购买A型智能机器人越少，费用越少， ∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少． 答：应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 6.（2025·安徽淮南·三模）太子山旅游景区每天对游客开放，景区入口游客可乘坐观光车直接到达景点游览，某天欲乘坐观光车总人数（人）与开放时间之间满足： 若景区每小时有12趟观光车，每趟载客20人，设等待坐观光车的游客为（人）． (1)求关于的函数关系式； (2)求等待观光车的游客最多时有多少人． (3)若要在内确保游客没有积压（游客随到随走），那么从一开始每小时应该至少增加几趟观光车？ 【答案】(1) (2)620人 (3)4趟 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键。 （1）用乘坐观光车总人数减去已经乘坐的人数即可得到等待的人数； （2）根据（1）所求结合二次函数和一次函数的性质分别求出，时p的最大值即可得到答案； （3）先求出内的游客总人数，设每小时需要增加趟观光车，根据乘坐的游客数不小于内的游客总人数建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：当时，， ∵， ∴当时，有最大值620． 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴， ∴等待坐观光车的游客最多时有620人． 综上所述，等待观光车的游客最多时有620人； （3）解：当时，． 设每小时需要增加趟观光车，则， 解得． ∵为整数， ∴至少为4． 答：从一开始每小时至少增加4趟观光车． 1.（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 2.（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴ ，故①正确， ②∵ ， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③ 不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 3.（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点， 则， 即， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 4.（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 5.（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 6.（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶 (2)至少需要安装3条A型生产线 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，根据“4个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小取， 答：至少需要安装3条A型生产线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $