第03讲 一元二次方程与分式方程（3命题点+12题型+2突破）（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦一元二次方程与分式方程核心考点，涵盖概念解法、根的判别式、韦达定理、实际应用等中考必考内容，构建“考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测-重难突破-分层练习”的系统复习框架，通过考点梳理、方法归纳、真题训练帮助学生突破动点问题、无解问题等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于题型分类精准与重难突破策略，如将一元二次方程分为6大题型、分式方程4大应用题型，结合安徽卷真题案例培养学生抽象能力和推理意识。设置“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习，通过“分式方程无解问题”等专题训练，帮助学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第二章 方程与不等式 第03讲 一元二次方程与分式方程 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 一元二次方程 题型01根据一元二次方程根的情况求参数 题型02配方法解一元二次方程 题型03 根据判别式判断根的情况 题型04 公式法解一元二次方程 题型05 因式分解法解一元二次方程 题型06 一元二次方程根与系数的关系 命题点二 一元二次方程的实际应用 题型01 增长率问题 题型02 营销问题 命题点三 分式方程 题型01 解分式方程 题型02 分式方程的实际应用（行程问题） 题型03 分式方程的实际应用（工程问题） 题型04 分式方程的实际应用（经济问题） 05·重难突破·思维进阶难 31 突破一 一元二次方程中的动点问题 突破二 分式方程中的无解问题 06·优题精选·练能提分 44 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程的概念与解法 安徽卷 T5 安徽卷 T15 安徽卷 T18 理解一元二次方程的相关概念。 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 了解一元二次方程的根与系数的关系。 一元二次方程的实际应用 安徽卷 T20 安徽卷 T7 安徽卷 T23 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 分式方程 安徽卷 T15 安徽卷 T11 安徽卷 T15 能解可化为一元一次方程的分式方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 命题预测 本考点内容以考查一元二次方程的一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，中考中对分式方程的考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主。既有单独考查，也有和二次函数、几何结合进行综合考察，有时也会以规律探究的形式进行考察，考查频率较高，分值为10分左右. 预计2026年安徽中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了.解分式方程要注意检验，理解增根的含义。为避免丢分，学生应扎实掌握。 考点一 一元二次方程的概念与解法 1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式： ，其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 3.一元二次方程的解：一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 4.一元二次方程的解法 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如的一元二次方程 （1）方程两边同时除以，得 （2）两边分别开方得 ; 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 （1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； （2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； （4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. ①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 （1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； （3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 （1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； （2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； （3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； （4）最后求出x1，x2。 5.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： （1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； （2）当b=0时，首选直接开平方法； （3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； （4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； （5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 6.一元二次方程根的判别式 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 方程有两个不相等的实根: 方程有两个相等的实根： 方程无实根 7.一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：；； 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1.（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 2.（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 考点二 一元二次方程的实际应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： （1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： （2）利润问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. （3）面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． （4）分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. （5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 1.（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，由题意得出三月份的销量为：，再根据3月份的销量比1月份增加了2100辆为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为， 则三月份的销量为：， 则根据题意有： ， 故选：D 2.（2025·安徽阜阳·三模）市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后，某薄弱学校2024年秋季在校人数比2022年在校人数增长了，已知2023年秋季在校人数增长率是x，2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 可设2022年在校人数为1，则2024年秋季在校人数为，然后根据增长率的关系即可列出方程. 【详解】解：根据题意可得：所列方程应该是； 故选：C. 3.（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 【答案】(1)该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为 (2)该企业能实现原定目标 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为，根据年和年，该企业生产一台电冰箱的能耗，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出年生产一台电冰箱的能耗，再比较即可． 【详解】（1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为； （2）根据题意可知，年生产一台电冰箱的能耗为， ， 该企业能实现原定目标． 考点三 分式方程 1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2.解分式方程 基本思路 将分式方程化为整式方程，再求解 常用方法 （1）去分母法；（2）换元法 去分母法步骤 （1）找最简公分母（分母是多项式时，要先分解因式）； （2）两边同乘以最简公分母 （3）约去分母，化为整式方程； （4）解整式方程； （5）检验：把整式方程的根代入最简公分母；等于0是原方程的增根，不等于0是原方程的根； 换元法步骤 （1）设辅助未知数； （2）得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； （3）把辅助未知数的值代入原方程中，求出原来未知数的值； （4）检验作答。 3.增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 4.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; ①检验所求的解是否是所列分式方程的解. ②检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 2.与分式方程有关应用题的常见类型： 1.（2025·安徽蚌埠·三模）若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】 解：去分母得：， 解得：， ∵方程的解是负数， 且， 解得：， 故选：C． 2.（2025·安徽合肥·三模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，得，再验根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：． 3.（2025·安徽淮北·三模）分式方程的解是x= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 命题点一 一元二次方程 ►题型01 根据一元二次方程根的情况求参数 先根据判别式：得出关于参数的不等式，再求解参数的值或取值范围 方程有两个不等的实根； 方程有两个相等的实根； 方程无解； 【典例】（2025·安徽宣城·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得：且， 故选：C． 【变式1】（2025·安徽安庆·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（   ） A．2026 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式，一元二次方程的定义是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，结合判别式公式，得到一个关于的不等式，解之，根据一元二次方程的定义，得到，解之，取两个解集的公共部分即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， 由一元二次方程定义得， 解得：， 综上可知：且， 故答案为：且． ►题型02 配方法解一元二次方程 ①先化成一般形式； ②二次项系数化成1 ③等式两边都加上一次项系数一般的平方； ④开平方，写出方程的解。 【典例】（2025·安徽宣城·二模）用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法， 先把11移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 故选D． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）解一元二次方程． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 解得或． 【变式2】（2025·安徽宣城·三模）一元二次方程的正实数根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴ ∴， ∴， ∴ ∴或（舍去） ∴正实数根是 故答案为：． ►题型03 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.时，方程有两个不等的实根； 2.时，方程有两个相等的实根； 2.时，方程无解； 【典例】（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故此方程没有实数根，不符合题意； B、，故此方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、，故此方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、，故此方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为整理，结合，故，所以，即可作答． 【详解】解： ， ， ， ， 即， ， ， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【变式2】（2025·安徽阜阳·二模）下列一元二次方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根的判别式，分别利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况即可．熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 【详解】解：A、， 一元二次方程没有实数根，不符合题意； B、， 一元二次方程没有实数根，不符合题意； C、， 一元二次方程没有实数根，不符合题意； D、， 一元二次方程有实数根，符合题意； 故选：D． ►题型04 公式法解一元二次方程 ①将方程化成一般形式； ②确定a、b、c ③计算判别式 ④代入公式进行计算 【典例】（2025·安徽·一模）在菱形中，点是对角线上一点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，解一元二次方程，掌握菱形的性质，勾股定理的计算是解题的关键． 根据题意作图，设对角线交于点，根据题意得到，由菱形的性质得到，，，，则，在中，，即，在中，，即，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，作图如下，设对角线交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，即， 故选：D ． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据正方形的性质结合反比例函数的解析式，求出点坐标，设，根据两个图形的面积相等，求出点坐标，代入反比例函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：∵正方形，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵正方形和矩形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解； ∴． 故选C． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 先将方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可． 【详解】解：原方程可化为 ， ►题型05 因式分解法解一元二次方程 将等号右边化成0； 对等号左边进行因式分解； 分别令每个因式等于0，求出方程的解。 【典例】（2025·安徽淮南·二模）已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过对方程进行变形，得，推再与第一个方程相加，整理得，即，由得，故可得． 【详解】解：∵①，②， 由②得③， 得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（2025·安徽滁州·二模）已知关于的一元二次方程的一个实数根为，则另一个实数根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，根据一元二次方程的一个实数根为，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到一元二次方程为，解方程即可求出另外一个根． 【详解】解：一元二次方程的一个实数根为， ， 解得：， 一元二次方程为， 分解因式得：， 或， 解得：，， 另一个实数根是． 故选：B． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，． ►题型06 一元二次方程根与系数的关系 1.熟记一元二次方程根与系数的关系：；； 2.掌握根与系数的推广，例如：； 3.对所求代数式进行化简或降次，使出现根与系数的关系式。 【典例】（2025·安徽马鞍山·三模）已知方程的一个根为1，则方程的另一个根为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵一个根为1， ∴另一个根为， 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽淮南·一模）已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个不相等的实数m，n满足 则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查一无二次方程极与系数的关系，根据所给等式可得是一元二次方程的两根，由根与系数的关系得，，将变形为，再整体供稿计算即可． 【详解】解：∵实数 m，n满足 ， ∴m，n为一元二次方程. 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ 故答案为：20． 命题点二 一元二次方程的实际应用 ►题型01 增长率问题 1.增长率问题的模板： 2.表示增长（降低）之前的量，表示增长（降低）之后的量；表示平均增长率（降低率）。 【典例】（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．设每次降价的百分率，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意可得： 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 【变式1】（2025·安徽马鞍山·二模）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）经统计，某景区去年月的游客人数比月的游客人数增加，月的游客人数比月的游客人数减少了．求该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率． 【答案】该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为，根据某景区去年月的游客人数比月的游客人数增加，月的游客人数比月的游客人数减少了，列出一元二次方程．解之，取符合题意的值即可． 【详解】解：设该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为． ►题型02 营销问题 （1）设出未知数x， （2）分别用未知数x表示一件商品的利润和销售量； （3）利用总利润=一件商品的利润×销售量列出方程； （4）解方程并检验，回答。 【典例】（2025·安徽·三模）网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． (1)设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） (2)若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 【答案】(1) (2)售价应该定为65元或61元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：降价x元，则每天可以售出箱； 故答案为：； （2）解：设降价x元， 由题意，得：， 解得：， ∴元或元， 答：售价应该定为65元或61元． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）某风扇进价为80元，卖家按照100元每台进行售出，一天可卖出100台．若该风扇每降价1元，可多卖出10台．问若想一天获利2160元，从顾客的角度考虑，每台风扇应该降价多少元？ 【答案】降价8元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、销售问题，解决问题的关键是找到等量关系准确地列出方程． 设每台风扇降价x元，根据题意列出方程，解方程，舍去不符合题意的解，再作答即可． 【详解】解析：设每台风扇降价x元，可得： 解得：， 因为从顾客的角度考虑， 故， 答：每台风扇应该降价8元． 【变式2】（2025·安徽·一模）根据以下素材，解决生活问题 【素材背景】 某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． 【问题解决】 (1)若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关系； (2)该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）； (3)若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围． 【答案】(1) (2)65元 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用能力，理解题意分类讨论是解题的前提，找到题目蕴含的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键． （1）根据“每涨价1元，每个星期要少卖出10件；每降价1元，每个星期可多卖出20件”列出与的函数关系； （2）设每星期所获利润为元，根据一星期利润等于每件的利润销售量得到与的关系式；把解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案； （3）分别根据、两种情况，求出每周利润不少于6000元时的范围即可得． 【详解】（1）解：根据题意得：涨价时，， 降价时，， 整理得：； （2）解：设每星期所获利润为元， 当涨价时， ， 当时，y的最大值是6250， 当降价时， ， 所以定价为：或时利润最大，最大值为6120元． 综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元； （3）解：当时，， 解得：或， ； 当时，， 解得：或， ； 综上，为了使每周利润不少于6000元，售价x的范围是． 命题点三 分式方程 ►题型01 解分式方程 1.现将分式方程两边都乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程； 2.解整式方程； 3.把方程的解代入最简公分母进行检验。 【典例】（2025·安徽六安·三模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 故答案为： 【变式1】（2025·安徽蚌埠·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，先整理原式得，再化为整式方程，解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：原方程可化为 整理得，， 解得，， 经检验符合题意， 原方程的解为． 【变式2】（2025·安徽阜阳·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． ►题型02 分式方程的实际应用（行程问题） 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据等量关系列出方程，并解方程。 4.注意分式方程要验根；一元二次方程有两个根，一定要结合实际情况，判断两根是否都满足条件。 【典例】（2025·安徽马鞍山·一模）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度． 【答案】“致远号”的行驶速度为米/秒 【分析】本题考查了分式方程的应用，设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，根据“当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“致远号”的行驶速度为米/秒． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 【答案】规定时间为8天 【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据此列分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 由题意得：， 解得，经检验是所列方程的根，且符合题意 答：规定时间为8天． 【变式2】（2025·山西阳泉·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【答案】规定时间为7天 【分析】本题考查了分式方程的实际应用． 找出等量关系，根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得 解得 经检验，是所列分式方程的解， 答：规定时间为7天． ►题型03 分式方程的实际应用（工程问题） 【典例】（2025·安徽淮北·三模）在社会主义新农村建设中，某县准备修建一条千米长的乡村公路．甲工程队每月比乙工程队能多完成2千米，但甲工程队每月需要的经费比乙工程队多．已知这两个工程队单独完成这项工程所需经费相同．求甲工程队单独修建这条公路所需要的时间． 【答案】3个月 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列出方程求解． 先设甲工程队每月修建千米，可用表示出乙工程队的修建速度、甲单独完成该项工程量、乙单独完成该项工程量，再乙工程队每月需要经费为，用表示出甲工程队每月需要的经费，列出分式方程求解． 【详解】解：设甲工程队每月修建千米，则乙工程队每月能修建（）千米，甲单独完成该项工程量为千米，乙单独完成该项工程量为千米．设乙工程队每月需要经费为，则甲工程队每月需要的经费为 由题意得，，解得． 经检验，是原方程的根，（月）． 答：甲工程队单独修建这条公路需要3个月． 【变式1】（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题目中给出的两款扫地机器人的清扫性能关系，列出关于甲款和乙款扫地机器人清扫效率的方程即可． 本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽池州·三模）某农机施工队计划承接某乡镇水稻收割，若收割时每天的工作效率能比原计划提高，这样就可提前天完成此乡镇的全部水稻的收割，但实际收割时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完此乡镇的水稻收割任务？ 【答案】仍可比计划提前13天完成此项工程 【分析】本题主要考查了运用分式方程解决实际问题，设原计划天完成该项任务，则一天完成的任务是，因为每天的工作效率能比原计划提高，所以每天的实际工作效率是，可以列出分式方程：，解方程求出原计划用天完成工作，再根据实际工作效率只比计划提高了，计算出实际少用的天数． 【详解】解：设原计划天完成该项任务， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， （天）， 答：仍可比计划提前天完成此项工程． ►题型04 分式方程的实际应用（经济问题） 【典例】（2025·安徽安庆·三模）某班班主任为了表扬表现优秀的学生，在文具店购买了A，B两类笔记本，A类笔记本比B类笔记本每本贵3元，且用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，求A，B两类笔记本的单价． 【答案】A类笔记本的单价是15元，B类笔记本的单价是12元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A类笔记本的单价是x元，则B类笔记本的单价是元，根据用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设A类笔记本的单价是x元，则B类笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：A类笔记本的单价是15元，B类笔记本的单价是12元． 【变式1】（2025·安徽宣城·三模）某超市开展端午节促销活动，将某品牌粽子降价出售，用元购买该品牌粽子，比促销前多买了盒．求促销前该品牌粽子每盒的价格． 【答案】促销前该品牌粽子每盒的价格为元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设促销前该品牌粽子每盒的价格为元，由题意，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设促销前该品牌粽子每盒的价格为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：促销前该品牌粽子每盒的价格为元． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”．某电商平台销售，两种型号的“已升升”吉祥物，已知每个型吉祥物比型吉祥物的售价贵20元，花费2800元购买的型吉祥物数量比花费4000元购买的型吉祥物数量少5个，且每个型吉祥物的售价低于100元．求每个，型吉祥物的售价分别为多少元． 【答案】每个型吉祥物的售价为80元，每个型吉祥物的售价为100元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设每个型吉祥物的售价为元，则每个型吉祥物的售价为元．根据花费2800元购买的型吉祥物数量比花费4000元购买的型吉祥物数量少5个，再建立分式方程求解即可. 【详解】解：设每个型吉祥物的售价为元，则每个型吉祥物的售价为元． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ． 答：每个型吉祥物的售价为80元，每个型吉祥物的售价为100元． 突破一 一元二次方程点问题 【典例】（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2)四边形与的面积不能相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 【变式1】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在 中， ，米，米，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，同时，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为秒 (1)①当秒时，求的面积； ②求的面积平方米关于时间秒的函数解析式； (2)在，移动的过程中，当为等腰三角形时，写出的值； (3)以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆相切时，求出的值． 【答案】(1)①平方米；② (2)秒或秒或秒 (3)或5 【分析】（1）①运用勾股定理可求出，根据点的运动，分别用含的式子表示出的值，结合相似三角形的性质求解，再利用面积公式求解即可；②运用相似三角形的性质可得的值，根据三角形面积公式可得函数关系式． （2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；当时；根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质列式求解即可． （3）过点作于点，则有，表示，， 在中， ，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中，米，米， （米）． 由题意得，，则． 过点作于，而， ∴， ∴， ∴， 秒时，米，米，（米）， （米）， （平方米）； 由①得：， ∴， ∴， ． （2）解：过作于，结合（1）可得：， 当为等腰三角形，分类讨论： 第一种情况：当时，如图所示，过点作于点， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第二种情况，当时，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第三种情况：当时，如图所示， ∴， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 综上所述，当的值为或或时，为等腰三角形． （3）解：过点作于点，则有， ，即， ，， 在中， ． 当与外切时，有， ∴， 整理得：， 解得，舍去 故当与外切时，； 当与内切时，有， 此时， 整理得，解得，， 故当与内切时，秒或秒． 【变式2】（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． (1)当点落在线段上时，求线段的长． (2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值． (3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． (4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 (4)或 【分析】（1）当点落在线段上时，根据正方形的性质和矩形的性质，得到，，证得，推出，然后利用勾股定理求得，代入计算即可得到的长度； （2）分情况讨论：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，可知此时四边形和都是矩形，然后根据正方形的性质，得到，，，进而用证明，得到，，，最后得到，即可求得的值；②当点在上时，设线段中点为，交于点，连接，此时线段和线段共线，同①，，，，，进而得到和为等腰直角三角形，求得，，，从而得到，最后求得，即可求得的值； （3）分情况讨论：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形；②当点在上时，此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；③当点在上，且时，设交于点，易证，此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形，然后根据矩形的性质和勾股定理求得，即可求得的值；④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； （4）分情况讨论：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，根据面积关系可证，结合，利用可证，得到点为正方形的对角线中点，接着利用可证，从而求得，进而求得，可知此时；③当点在上时，作于点，于点，设与交于点，则四边形、四边形和四边形均为矩形，设，则，，，，先证明，得到，用表示出，进而得到，然后根据重叠部分面积，用表示出来；接着利用勾股定理用表示出，最后根据面积关系得到关于的方程，解之，结合，即可得到，进而得到此时的值． 【详解】（1）解：当点落在线段上时， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， 在中，， ， ． （2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示， 则， 四边形为矩形，，，， 四边形和都是矩形， ，； 四边形是正方形，为的中点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当在线段上，线段中点落在线段上时，； ②当点在上时， 线段中点落在线段上， 此时线段和线段共线， 设线段中点为，连接，设交于点，如图所示， 四边形是正方形，为的中点， ，，，， ， 同①可知四边形和都是矩形， ， 线段和线段共线，， ， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当点在上，线段中点落在线段上时，； 综上，当线段中点落在线段上时，或． （3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ②当点在上时，如图所示， 此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形； ③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示， ，，， ， 此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形； 作于点，设， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； 综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形． （4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示； ②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示， 则四边形和都是矩形， ，； ， ， ； ， ，， ， ，即点为正方形的对角线中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； ③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示， 则四边形、四边形和四边形均为矩形， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 重叠部分面积 ， 在中，， ， ， 整理得，， 解得， ，即， ， ， ， 时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； 综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半． 突破二 分式方程中无解问题 【典例】（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C．或4 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将方程去分母，整理得．分两种情况讨论：①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时；②若，则整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到当时，，从而求得．综合即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ①若，则该整式方程无解，原分式方程无解， 此时； ②若，则整式方程的解为：， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， 解得：， 综上所述，a的值为4或． 故选：C． 【变式1】（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 【答案】2 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 【变式2】（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为1，得 ， ∵该方程无解，则， ∴，解得． 故答案为：1． 1．（2025·安徽淮北·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（　　） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 先把方程整理成一般式，再根据方程有两相等实数根，得，求解即可． 【详解】解：∵，即有两个相等实数根， ∴ 解得：， 故选：A． 2．（2025·安徽阜阳·一模）据中国汽车工业协会统计分析，2024年1月份我国乘用车销量为212万辆，2月份乘用车销量较1月份下降了，假设下降率不变，3月份的销量为万辆，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．根据题意列方程得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：C． 3．（2025·安徽亳州·二模）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握其知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意知：．故选：C ． 4．（2025·安徽淮南·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤进行即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得：， 经检验得是原方程的解； 故选：D ． 5．（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可． 【详解】解：， 方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选：C． 6．（2025·安徽淮南·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数p的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式和解一元一次不等式的步骤． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零，求出p的取值范围，解接一元一次不等式，再取整数解． 【详解】解：方程的判别式为， 由于有两个不相等的实数根，故，即， 解得， 因此，整数p可以取 2、1、0 等， 故答案为：2． 7．（2025·安徽安庆·一模）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程，注意分母不为0，即可作答． 【详解】解：∵， ∴且， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：． 8．（2025·安徽·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：． 9．（2025·安徽阜阳·三模）随着人工智能的飞速发展，机器人的功能越来越强大．某公司为了扩大生产，决定购买甲、乙两种不同型号的机器人若干台．已知用20万元购进甲型机器人的台数与用16万元购进乙型机器人的台数相同，且甲型机器人的单价比乙型机器人的单价多2万元，求甲、乙两种机器人的单价各是多少万元？ 【答案】甲型机器人的单价是10万元，乙型机器人的单价是8万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出分式方程是解题的关键． 设甲型机器人的单价是x万元，则乙型机器人的单价是万元．根据用20万元购进甲型机器人的台数与用16万元购进乙型机器人的台数相同列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲型机器人的单价是x万元，则乙型机器人的单价是万元． 根据题意，得． 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲型机器人的单价是10万元，乙型机器人的单价是8万元． 1．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 2．（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 3．（2025·安徽六安·一模）若抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求的值． (2)若点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①有最大值；② 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； （2）解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴的值不会随的变化而变化， ∴． 1．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 2．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 3．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 4．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 5．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 6．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 7．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 【答案】 ③ 【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 【详解】解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 8．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 9．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 10．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第03讲 一元二次方程与分式方程 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 一元二次方程 题型01根据一元二次方程根的情况求参数 题型02配方法解一元二次方程 题型03 根据判别式判断根的情况 题型04 公式法解一元二次方程 题型05 因式分解法解一元二次方程 题型06 一元二次方程根与系数的关系 命题点二 一元二次方程的实际应用 题型01 增长率问题 题型02 营销问题 命题点三 分式方程 题型01 解分式方程 题型02 分式方程的实际应用（行程问题） 题型03 分式方程的实际应用（工程问题） 题型04 分式方程的实际应用（经济问题） 05·重难突破·思维进阶难 31 突破一 一元二次方程中的动点问题 突破二 分式方程中的无解问题 06·优题精选·练能提分 44 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程的概念与解法 安徽卷 T5 安徽卷 T15 安徽卷 T18 理解一元二次方程的相关概念。 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 了解一元二次方程的根与系数的关系。 一元二次方程的实际应用 安徽卷 T20 安徽卷 T7 安徽卷 T23 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 分式方程 安徽卷 T15 安徽卷 T11 安徽卷 T15 能解可化为一元一次方程的分式方程；能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 命题预测 本考点内容以考查一元二次方程的一元二次方程的解法、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，中考中对分式方程的考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主。既有单独考查，也有和二次函数、几何结合进行综合考察，有时也会以规律探究的形式进行考察，考查频率较高，分值为10分左右. 预计2026年安徽中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了.解分式方程要注意检验，理解增根的含义。为避免丢分，学生应扎实掌握。 考点一 一元二次方程的概念与解法 1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式： ，其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 3.一元二次方程的解：一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 4.一元二次方程的解法 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如的一元二次方程 （1）方程两边同时除以，得 （2）两边分别开方得 ; 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 （1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； （2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； （4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. ①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 （1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； （3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 （1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； （2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； （3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； （4）最后求出x1，x2。 5.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： （1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； （2）当b=0时，首选直接开平方法； （3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； （4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； （5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 6.一元二次方程根的判别式 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 方程有两个不相等的实根: 方程有两个相等的实根： 方程无实根 7.一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：；； 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1.（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 2.（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 考点二 一元二次方程的实际应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： （1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： （2）利润问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. （3）面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． （4）分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. （5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 1.（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025·安徽阜阳·三模）市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后，某薄弱学校2024年秋季在校人数比2022年在校人数增长了，已知2023年秋季在校人数增长率是x，2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 考点三 分式方程 1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2.解分式方程 基本思路 将分式方程化为整式方程，再求解 常用方法 （1）去分母法；（2）换元法 去分母法步骤 （1）找最简公分母（分母是多项式时，要先分解因式）； （2）两边同乘以最简公分母 （3）约去分母，化为整式方程； （4）解整式方程； （5）检验：把整式方程的根代入最简公分母；等于0是原方程的增根，不等于0是原方程的根； 换元法步骤 （1）设辅助未知数； （2）得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； （3）把辅助未知数的值代入原方程中，求出原来未知数的值； （4）检验作答。 3.增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 4.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; ①检验所求的解是否是所列分式方程的解. ②检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 2.与分式方程有关应用题的常见类型： 1.（2025·安徽蚌埠·三模）若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 2.（2025·安徽合肥·三模）分式方程的解是 ． 3.（2025·安徽淮北·三模）分式方程的解是x= ． 命题点一 一元二次方程 ►题型01 根据一元二次方程根的情况求参数 先根据判别式：得出关于参数的不等式，再求解参数的值或取值范围 方程有两个不等的实根； 方程有两个相等的实根； 方程无解； 【典例】（2025·安徽宣城·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（2025·安徽安庆·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（   ） A．2026 B．4 C．3 D． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． ►题型02 配方法解一元二次方程 ①先化成一般形式； ②二次项系数化成1 ③等式两边都加上一次项系数一般的平方； ④开平方，写出方程的解。 【典例】（2025·安徽宣城·二模）用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）解一元二次方程． 【变式2】（2025·安徽宣城·三模）一元二次方程的正实数根是 ． ►题型03 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.时，方程有两个不等的实根； 2.时，方程有两个相等的实根； 2.时，方程无解； 【典例】（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 【变式2】（2025·安徽阜阳·二模）下列一元二次方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． ►题型04 公式法解一元二次方程 ①将方程化成一般形式； ②确定a、b、c ③计算判别式 ④代入公式进行计算 【典例】（2025·安徽·一模）在菱形中，点是对角线上一点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 【变式2】（2025·安徽淮北·三模）解方程：． ►题型05 因式分解法解一元二次方程 将等号右边化成0； 对等号左边进行因式分解； 分别令每个因式等于0，求出方程的解。 【典例】（2025·安徽淮南·二模）已知实数a，b满足，，且，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽滁州·二模）已知关于的一元二次方程的一个实数根为，则另一个实数根是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）解方程：． ►题型06 一元二次方程根与系数的关系 1.熟记一元二次方程根与系数的关系：；； 2.掌握根与系数的推广，例如：； 3.对所求代数式进行化简或降次，使出现根与系数的关系式。 【典例】（2025·安徽马鞍山·三模）已知方程的一个根为1，则方程的另一个根为 ． 【变式1】（2025·安徽淮南·一模）已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 ． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个不相等的实数m，n满足 则 ． 命题点二 一元二次方程的实际应用 ►题型01 增长率问题 1.增长率问题的模板： 2.表示增长（降低）之前的量，表示增长（降低）之后的量；表示平均增长率（降低率）。 【典例】（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【变式1】（2025·安徽马鞍山·二模）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）经统计，某景区去年月的游客人数比月的游客人数增加，月的游客人数比月的游客人数减少了．求该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率． ►题型02 营销问题 （1）设出未知数x， （2）分别用未知数x表示一件商品的利润和销售量； （3）利用总利润=一件商品的利润×销售量列出方程； （4）解方程并检验，回答。 【典例】（2025·安徽·三模）网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． (1)设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） (2)若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）某风扇进价为80元，卖家按照100元每台进行售出，一天可卖出100台．若该风扇每降价1元，可多卖出10台．问若想一天获利2160元，从顾客的角度考虑，每台风扇应该降价多少元？ 【变式2】（2025·安徽·一模）根据以下素材，解决生活问题 【素材背景】 某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． 【问题解决】 (1)若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关系； (2)该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）； (3)若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围． 命题点三 分式方程 ►题型01 解分式方程 1.现将分式方程两边都乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程； 2.解整式方程； 3.把方程的解代入最简公分母进行检验。 【典例】（2025·安徽六安·三模）分式方程的解是 ． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·二模）解方程：． 【变式2】（2025·安徽阜阳·二模）解方程：． ►题型02 分式方程的实际应用（行程问题） 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据等量关系列出方程，并解方程。 4.注意分式方程要验根；一元二次方程有两个根，一定要结合实际情况，判断两根是否都满足条件。 【典例】（2025·安徽马鞍山·一模）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 【变式2】（2025·山西阳泉·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． ►题型03 分式方程的实际应用（工程问题） 【典例】（2025·安徽淮北·三模）在社会主义新农村建设中，某县准备修建一条千米长的乡村公路．甲工程队每月比乙工程队能多完成2千米，但甲工程队每月需要的经费比乙工程队多．已知这两个工程队单独完成这项工程所需经费相同．求甲工程队单独修建这条公路所需要的时间． 【变式1】（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为 ． 【变式2】（2025·安徽池州·三模）某农机施工队计划承接某乡镇水稻收割，若收割时每天的工作效率能比原计划提高，这样就可提前天完成此乡镇的全部水稻的收割，但实际收割时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完此乡镇的水稻收割任务？ ►题型04 分式方程的实际应用（经济问题） 【典例】（2025·安徽安庆·三模）某班班主任为了表扬表现优秀的学生，在文具店购买了A，B两类笔记本，A类笔记本比B类笔记本每本贵3元，且用60元购买的A类笔记本与用48元购买的B类笔记本数量相同，求A，B两类笔记本的单价． 【变式1】（2025·安徽宣城·三模）某超市开展端午节促销活动，将某品牌粽子降价出售，用元购买该品牌粽子，比促销前多买了盒．求促销前该品牌粽子每盒的价格． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”．某电商平台销售，两种型号的“已升升”吉祥物，已知每个型吉祥物比型吉祥物的售价贵20元，花费2800元购买的型吉祥物数量比花费4000元购买的型吉祥物数量少5个，且每个型吉祥物的售价低于100元．求每个，型吉祥物的售价分别为多少元． 突破一 一元二次方程点问题 【典例】（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【变式1】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在 中， ，米，米，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，同时，动点以米秒的速度从点出发，沿向点移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为秒 (1)①当秒时，求的面积； ②求的面积平方米关于时间秒的函数解析式； (2)在，移动的过程中，当为等腰三角形时，写出的值； (3)以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆相切时，求出的值． 【变式2】（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． (1)当点落在线段上时，求线段的长． (2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值． (3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． (4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 突破二 分式方程中无解问题 【典例】（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C．或4 D．4 【变式1】（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 【变式2】（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 1．（2025·安徽淮北·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（　　） A． B．1 C．4 D． 2．（2025·安徽阜阳·一模）据中国汽车工业协会统计分析，2024年1月份我国乘用车销量为212万辆，2月份乘用车销量较1月份下降了，假设下降率不变，3月份的销量为万辆，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽亳州·二模）已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（2025·安徽淮南·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 6．（2025·安徽淮南·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数p的值可以为 ．（写出一个即可） 7．（2025·安徽安庆·一模）方程的根是 ． 8．（2025·安徽·一模）解方程：． 9．（2025·安徽阜阳·三模）随着人工智能的飞速发展，机器人的功能越来越强大．某公司为了扩大生产，决定购买甲、乙两种不同型号的机器人若干台．已知用20万元购进甲型机器人的台数与用16万元购进乙型机器人的台数相同，且甲型机器人的单价比乙型机器人的单价多2万元，求甲、乙两种机器人的单价各是多少万元？ 1．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（2025·安徽六安·一模）若抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求的值． (2)若点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，直接写出的值． 1．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C． D． 5．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 6．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 7．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为 ． 8．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 9．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 10．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $