精品解析：江西省赣州市第一中学2025-2026学年高一上学期12月份质量检测数学试题

赣州一中2025—2026学年上学期12月份质量检测 高一数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则的子集共有 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集的定义求出集合；利用集合的子集的个数公式求出的子集个数． 【详解】解：， ， 的子集共有 故选：． 2. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举特例说明ABD错误，用不等式的性质证明C正确. 【详解】对A：当，时，满足，但不成立，故A错误； 对B：当时，由可得，故B错误； 对C：因为，所以，故C正确； 对D：当，，时，满足，但，，，所以不成立，故D错误. 故选：C 3. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 4. 已知幂函数 则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象过点， C. 是单调函数 D. 无最值 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出函数解析式，再根据函数的性质结合函数奇偶性、单调性、最值的定义对选项进行分析判断． 【详解】是幂函数， ，定义域为， 选项A：，是奇函数，不是偶函数，故A错误； 选项B：无意义，的图象不过点，故B错误； 选项C：在和上分别单调递减，但整体不单调，故C错误； 选项D：的值域是，无最大值、最小值，故D正确． 故选：D． 5. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合二次函数性质列出关于a的不等式组即可计算求解. 【详解】函数是上的增函数， 所以. 故选：B 7. 已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【详解】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 8. 已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的图象和性质，再令，得当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根；再将函数有5个零点转化为函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在，再由二次函数的零点分布可得结果. 【详解】由函数， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增；函数图象如下： 令，由函数的图象及性质可知， 当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根； 函数有且仅有5个不同零点， 就等价于函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在. 当时，只有一个零点，不符合题意； 所以，此时二次函数，且恒成立. 当时，对称轴，，，解得； 当时，此时对称轴，二次函数在上至多有一个根，故不符合题意. 综上可知，常数a的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 的解集为 D. ，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，代入计算函数值即可判断；对于B，分为和分别解出即可判断；对于C，分为和分别解不等式即可判断；对于D，求出的值域即可判断. 【详解】对于A，，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确. 故选：CD. 10. 若，函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上的最小值为0 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算对数式判断A;根据已知范围化简函数再结合函数的单调性判断B,根据函数的单调性得出函数的最小值判断C;应用对数函数的正负去绝对值得出对数式运算即可得出选项D. 【详解】因为，又，所以，故A正确； 当时，，又，所以，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 当时，，所以，故C正确； 当时，，又，所以， 所以函数在区间上单调递减，又函数在区间上单调递增，若，则， 所以，即，所以，所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数的定义域为， 且为偶函数，是奇函数， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数已知条件求出函数是周期为4的偶函数，利用函数的周期性和奇偶性结合抽象函数式分析判断选项． 【详解】函数的定义域为的偶函数，是奇函数，令， ，即①， 把①中替换为得，， ②， 把②中替换为，得③， 式②减③得：，故的周期为4， 选项A：，令，则，解得，故A正确； 选项B：周期为4，， ，令，则， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：是周期为4的偶函数， ，，， ， ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15 分. 12. 已知集合，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 13. 已知，，且，则的最小值是__________ 【答案】8 【解析】 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】，，且， 则， 当且仅当且即，时取等号， 此时取得最小值8． 故答案为：8. 14. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在 上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，求出t的取值范围. 【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是， 由复合函数单调性可知函数在上是增函数 所以，则，即 所以方程有两个不等的实根， 令，则，当时，所以方程有两个不等实根， 则，解得； 当时，方程在上有两个不等实根， 则，无解. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用补集的运算求出，利用交集的运算求出； （2）由“”是“”的必要条件，得到，利用子集的定义求解即可. 【小问1详解】 当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以． 又因为集合，，所以． 即的取值范围为． 16. 已知定义在上的偶函数；当时，. （1）求的解析式； （2）求方程的解集. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求出函数的解析式. （2）结合偶函数的性质求出方程的解. 【小问1详解】 函数为定义在上的偶函数，且当时，， 当时，，则， 所以的解析式为. 【小问2详解】 当时，，则，即， 而，因此，解得，且， 由偶函数图象的对称性知，当时方程的解为， 所以原方程的解集为. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完． （1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)． （2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）P(x)＝；（2）8万件；万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果； （2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可. 【详解】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元． 依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5； 当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－. 所以P(x)＝； （2）当0＜x＜8时，P(x)＝－＋13， 当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13； 当x≥8时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数. 当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝. 由13＜，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，属中等题. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调递减区间； （2）当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间. （2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 19. 若函数的图象恒过和两点，则称函数为“函数”. （1）试写出一个“函数”的二次函数； （2）若函数，且是“0函数”，求的值； （3）设，且，定义在上的函数满足：①，有，②是“0函数”.求证：均是“函数”. 【答案】（1）； （2）； （3） 为“函数”， ， 令，得，解得或（舍去）， 而，所以，则， ，故， 综上，是“函数”， 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义，写出一个满足要求的二次函数即可； （2）根据定义有得，再由及对数的换底公式求值； （3）根据已知有②及新定义有，再由①且求得，进而求参数，即可证结论. 【小问1详解】 一个“函数”的二次函数是， 显然，，即函数图象过和两点， 所以，一个“函数”的二次函数，满足要求. 【小问2详解】 由，得，解得，则， 由，得，即，由换底公式得，则. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州一中2025—2026学年上学期12月份质量检测 高一数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则的子集共有 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 4. 已知幂函数 则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象过点， C. 是单调函数 D. 无最值 5. 已知，则 A. B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 的解集为 D. ，则 10. 若，函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上的最小值为0 D. 若，则 11. 已知函数的定义域为， 且为偶函数，是奇函数， 则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15 分. 12. 已知集合，若，则________ 13. 已知，，且，则的最小值是__________ 14. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在 上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 16. 已知定义在上的偶函数；当时，. （1）求的解析式； （2）求方程的解集. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完． （1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)． （2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）当时，求的单调递减区间； （2）当在上恒成立，求的取值范围. 19. 若函数的图象恒过和两点，则称函数为“函数”. （1）试写出一个“函数”的二次函数； （2）若函数，且是“0函数”，求的值； （3）设，且，定义在上的函数满足：①，有，②是“0函数”.求证：均是“函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $