精品解析：福建省福州市福州教育学院附属中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

福州教院附中2026-2027学年第一学期十月适应性练习 高二数学 （完卷时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A. 或1 B. C. D. 1 4. 已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 5. 若三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 6. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知直线，则直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 斜率为 B. 倾斜角为 C. 一个方向向量为 D. 直线不经过第一象限 10. 如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（ ） A. B. C. D. 11. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则与共线反向的单位向量=___________. 13. 在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 14. 已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 17. 已知，求(均写出一般式方程); （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标. 18. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成角的正切值为. （1）求四棱锥的体积； （2）点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州教院附中2026-2027学年第一学期十月适应性练习 高二数学 （完卷时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 3. 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A. 或1 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 4. 已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由向量加法得， 所以. 5. 若三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的坐标表示与共线定理，有，即可解得的值，进而可求的值. 【详解】. 因为三点共线，所以，即，解得， 则. 故选：A. 6. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 7. 已知直线，则直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图形，通过直线斜率与倾斜角、直线倾斜角与直线夹角之间的关系以及三角恒等变换即可求解. 【详解】如图所示： 直线的倾斜角分别为， 即， 从而， 所以， 所以， 而，所以直线的夹角即为. 故选：B. 8. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 斜率为 B. 倾斜角为 C. 一个方向向量为 D. 直线不经过第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：化为斜截式方程可知结果；B：根据斜率与倾斜角的关系可求结果；C：一个方向向量为，根据的关系可判断结果；D：根据斜率与纵截距可知结果. 【详解】对于A：，所以斜率为，故错误； 对于B：设倾斜角为，因为斜率为，所以，所以，故正确； 对于C：直线的一个方向向量为，即，显然共线，故正确； 对于D：在轴上的截距为，且斜率，所以直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故正确； 故选：BCD. 10. 如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 11. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量共面的判定定理逐项判定即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面. 选项A：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面.A符合. 选项B：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.B不符合. 选项C：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.C不符合. 选项D：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面. D符合. 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则与共线反向的单位向量=___________. 【答案】 【解析】 【详解】∵ ，∴ . ∵ 单位向量与共线且反向， ∴ . 13. 在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以， 因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为， 所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 14. 已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将向量分解为，利用向量模长公式展开计算，结合二面角的大小得到向量夹角，进而求出的长度. 【详解】由题意可知，且，，二面角的大小为， 故与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为. 所以 因此. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． 【小问2详解】 由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面  （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，​，， 所以，又，所以. 17. 已知，求(均写出一般式方程); （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得中点坐标，结合坐标，可得中线方程； （2）当直线过原点时，显然满足题意；当直线不过原点时，利用截距式结合题意可得答案； （3）由题可得，中点在上，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得中点坐标为，又， 则，从而中线方程为：； 【小问2详解】 当直线过原点和点时，满足题意，则方程可为：; 当直线不过原点时，设，则， 则可为：. 综上可得：为或. 【小问3详解】 因关于对称，则可得，中点在上， 设，则， 从而，则. 18. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【小问1详解】 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. 【小问2详解】 以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成角的正切值为. （1）求四棱锥的体积； （2）点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据棱锥的体积公式，结合线面角的定义进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面平行的性质、空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用向量法求点面距离即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，因此， 因为平面，直线与平面所成的角的正切值为， 所以， 四棱锥的体积为. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，，又因为， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意得， 显然平面的法向量为， 因为点在线段上，所以设，， 而，由空间向量的加法法则得， 得到，且， 可得，故， 设平面的法向量为，又，， 因为直线平面， 所以当直线平面，显然点不与点重合， 则当时，，取， 因为直线平面， 所以，即， 可得， 由图可知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，，平面的法向量， 所以点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $