2026年九年级数学中考总复习： 分式方程及应用

分式方程及应用 一、知识梳理 考点一：分式方程的概念 1、定义：分母中含有未知数的整式方程，叫做分式方程。 2、核心特征：① 方程两边均为整式；② 分母中必须含有未知数（区别于整式方程的关键）。 3、【易错警示】① 误将分母含常数的方程当作分式方程，如是整式方程；② 未化简直接判断，如虽可化简为整式方程，但原式分母含未知数，仍为分式方程。 4、示例：、、是分式方程；、是整式方程。 考点二：分式方程的解法 1、核心思路：通过“去分母”将分式方程转化为整式方程，再求解整式方程，最后检验是否为原分式方程的解（关键步骤：检验）。 2、解题步骤： 去分母：在方程两边同乘各分母的最简公分母，消去分母，转化为整式方程（注意：方程两边的每一项都要乘最简公分母，不能漏乘常数项）； 解整式方程：按照整式方程（一元一次方程、一元二次方程等）的解法求解； 检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解；若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解； 写解：根据检验结果，写出原分式方程的解（或说明无解）。 3、示例：解方程 去分母：方程两边同乘最简公分母，得； 解整式方程：移项得，解得； 检验：将代入，得； 结论：是原分式方程的解。 4、【易错警示】① 去分母时漏乘常数项，如解方程，错写为（漏乘常数项1×2x）；② 跳过检验步骤，导致保留增根；③ 检验时误代入原方程分母（最简公分母更简便）。 考点三：分式方程的增根 1、定义：在去分母转化为整式方程的过程中，产生的使原分式方程的分母为0的整式方程的解，叫做增根。 2、产生原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为0，违背了“等式两边同乘不为0的数，等式仍成立”的性质。 3、核心应用：根据增根求字母参数的值（步骤：① 找增根：令最简公分母为0，求出可能的增根；② 代入整式方程：将增根代入去分母后的整式方程，求解参数）。 考点四：分式方程的应用 常考查问题：行程问题、工程问题、购买问题。注意分式方程需要双重检验。 二、同步练习 1．将分式方程去分母后得到的整式方程为( ) A. B. C. D. 2．已知是分式方程的解，则实数的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵。若设原计划人数为人，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 4．分式方程的解为正数，则的取值范围是( ) A. B. 且 C. D. 且 5．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是( ) A. B. C. 或 D. 且 6．如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是( ) A. 且 B. C. D. 且 7．方程的解是 。 8．方程的解为 。 9．若整数使得关于的不等式组有正整数解，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的的值之积为 ． 10．解分式方程． 11．解方程：。 12．(2025广东省卷)(新考法 注重过程性学习)在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：。 第五步：检验：当时，， 第六步：原分式方程的解为。 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程。 13、某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产 乙种文创产品的数量多50 个，3 天时间生产的甲种文创产品的数量比4 天 时间生产的乙种文创产品的数量多100 个. (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产 乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的 2 倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400 个，乙比甲多用10 天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量. 参考答案 1. A　【解析】原方程两边同乘x(x＋1)，得x＋1=2x. 2. C　【解析】方程两边同乘x(x＋k)，得10(x＋k)－20x=x(x＋k)，当x=2时，10(2＋k)－20×2=2×(2＋k)，解得k=3. 3. D　【解析】原方程去分母，得x＋3=5x，解得，x=，经检验，x=是分式方程的解. 4. B　【解析】方程两边同乘(x－1)，得2=x－1－m，解得x=m＋3.∵分式方程=1－的解为正数，∴m＋3＞0，∴m＞－3.∵x≠1，即m＋3≠1，∴m≠－2，∴m的取值范围为m＞－3且m≠－2. 5. C　【解析】方程去分母，得mx－x=2(1－x)，整理，得(m＋1)x=2，∵原方程无解，∴①整式方程无解，则m＋1=0，解得m=－1，②分式方程有增根，则x－1=0，解得x=1，把x=1代入(m＋1)x=2，得m＋1=2，解得m=1，∴m的值为1或－1. 6. A　【解析】方程两边同乘x(x＋1)，得x＋1－mx=0，解得x=.∵分式方程的解是负数，∴m－1＜0，∴m＜1，又∵x(x＋1)≠0，∴x＋1≠0，∴≠－1，∴m≠0，∴实数m的取值范围是m＜1且m≠0. 7. －1　【解析】去分母，得2x=x－1，移项，得x=－1，经检验，x=－1是原方程的解，∴原方程的解为x=－1. 8. x=2　【解析】方程两边乘最简公分母x(x－6)，得2x＋x－6=0，解得x=2，经检验，x=2是原方程的解. 9. 5　【解析】令 解不等式①得x＞－，解不等式②得x≤.∵不等式组有正整数解，∴≥1，∴a≤－1，解关于y的分式方程=－3，得y=，∵关于y的分式方程=－3有正整数解，∴a≥－5，且7＋a为偶数，∵a≤－1，∴a=－5或－3或－1，当a=－3时，y=2是分式方程的增根，∴a=－3不满足条件，∴满足条件的a的值之积为(－5)×(－1)=5. 10. 解：原方程去分母，得x－2－2x＋1=－1，解得x=0， 检验：当x=0时，2x－1≠0， 故原方程的解为x=0. 11. 解：方程两边同乘 x(x－1)， 得2x=1－3(x－1)， 解得x=， 检验：当x=时，x(x－1)≠0， ∴原分式方程的解为x=. 12. 解：小李的解法中第一步是去分母， 去分母的依据是等式的性质，小李的解答过程不正确， 正确的解答过程如下： 去分母，得∙(x－2)=－∙(x－2)－2(x－2)， 整理，得1－x=－1－2x＋4， 移项、合并同类项，得x=2， 检验：当x=2时，x－2=0， ∴x=2是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解. 13、解：(1)设该厂每天生产的乙种文创产品数量是x个，则每天生产的甲种文 创产品数量为(x＋50)个. 由题意得3(x＋50)=4x＋100， 解得x=50， 答：该厂每天生产的乙种文创产品数量是50个，每天生产的甲种文创产品数量是100个；则每天生产的甲种文创产品数量为x＋50=100(个)， (2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则甲种文创产品增加的 数量是2y个. 由题意得－=10，解得y=20， 经检验，y=20是原分式方程的解，且符合实际， 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个 学科网（北京）股份有限公司 $