第三章 位置与坐标 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学第三章“位置与坐标”复习讲义通过分层梳理构建知识体系，以框架图呈现平面直角坐标系概念、点的坐标特征、用坐标表示地理位置及轴对称与坐标变化等内容，突出各象限坐标符号、对称点规律等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义练习设计从基础到综合，涵盖象限判断（如点(2,-1)所在象限）、对称点坐标（如点(-3,4)关于y轴对称点）、地理位置表示（如围棋棋盘坐标确定）等题型，培养几何直观与空间观念。答案解析详细，助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

第三章 位置与坐标 考点1: 平面直角坐标系的基本概念 1. 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向. (1)坐标轴：水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴. (2)原点：两坐标轴的公共原点O称为平面直角坐标系的原点. 2. 象限：如图所示，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分.右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内. 考点2: 点的坐标特征 平面直角坐标系中点的表示方法：在平面直角坐标系中，要想表示一个点的位置，就要用它的“坐标”来表示.对于平面上的任意一点P，如图所示，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a，b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b)[(横坐标，纵坐标)]叫作点P的坐标. · 各象限内点的坐标符号：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反. 练习1. 1. 如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是( ). A.(3，4) B.(－3，4) C.(－3，－4) D.(3，－4) 2. 在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为(2，－1)，那么点A一定在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知点P在第二象限内，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是( ). A.(3，－4) B.(3，4) C.(－4，3) D.(4，－3) 4. 已知点P(a，2a＋3)在第二象限，且P到x轴的距离与它到y轴的距离相等，则a＝ . 考点3: 用坐标表示地理位置 · 可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根据坐标确定地点. 1. 建立平面直角坐标系的基本思路： (1)选原点：分析条件，选择适当的点作为坐标原点. (2)作两轴：过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴与y轴. (3)定坐标系：确定x轴、y轴的正方向、单位长度 2. 建立平面直角坐标系的原则：①运算简便；②各点坐标易于表示 练习2. 1. 生活中我们经常需要准确描述物体的位置，下列条件不能确定物体位置的是( ). A.东经113°，北纬34° B.距离二七纪念堂10km C.中原福塔北偏东20°，距离500m D.物理第一实验室3排1座 2. 如图，这是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为(－3，－1)，黑棋①的坐标为(1，－4)，则白棋④的坐标为( ). A.(－2，－3) B.(4，－4) C.(－2，－5) D.(－5，－2) 3. 在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是(－1，－1)，(－1，2)，(3，2) ，则第四个顶点的坐标是 . 4. 在平面直角坐标系中，AB//x轴，AB＝2，若点A(1，－3)，则点B的坐标是( ). A.(1，－1) B.(1，－5)或(1，－1) C.(3，－3) D.(－1，－3)或(3，－3) 5. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，AB//x轴，且AB＝5，则点B的坐标为 . 6. 在平面直角坐标系中，若A(m＋3，－1)，B(3，1－m)，且直线AB//y轴，则m的值是 . 考点4: 轴对称与坐标变化 1. 图形的坐标变化与轴对称的关系 (1)横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于x轴成轴对称； (2)纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于y轴成轴对称. · 横、纵坐标都乘－1，所得图形与原图形关于原点对称. 2. 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是P'(a，－b)； 3. 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标是P″(－a，b). 练习3. 1. 将直角坐标系中的点(－1，－3)向上平移4个单位，再向右平移2个单位后的点的坐标为( ). A.(3，－1) B.(－5，－1) C.(－3，1) D.(1，1) 2. 在平面直角坐标系中，点A(－1，2)与点B关于y轴对称，则点B的坐标为( ). A.(－1，－2) B.(1，2) C.(1，－2) D.(－1，2) 3. 已知点M的坐标为(－3，4)，它关于y轴的对称点的坐标为 4. 窗花是我国民间传统剪纸艺术，如图，蝴蝶窗花可以看作轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，对称轴是y轴，A，B是一对对应点，若点A的坐标为(3，1)，则点B的坐标为 . 5. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为 . 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4，0)，以OA为边在x轴上方作等边三角形OAB，作点A关于直线OB的对称点C，则点C的坐标为 7. 如图所示,在平面直角坐标系中，已知A(0，1)、B(2，0)、C(4，3). (1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为4.求点P的坐标. 8. 如图，在8×12的正方形网格中，网格线的交点叫作格点，点A，B，C都在格点上.请按要求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4). (1)①请在图中画出平面直角坐标系xOy； ②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点C1，的坐标是 (2)设l是过点C且平行于y轴的直线. ①点A关于直线l的对称点A1的坐标是 ； ②在直线l上找一点P，使PA＋PB最小，则PA＋PB的最小值是 ；此时点P的坐标为 . 9. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC在第二象限，且点A、B、C的坐标分别为(－5，2)，(－2，4)，(－1，1). (1)作出△ABC； (2)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并求出△ABC的面积； (3)若四边形ACDB为平行四边形，则点D的坐标为 . 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(－4，3)，B(－1，2)，C(－2，－2). (1)将点B向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到点B'，请在图中画出点B'，并写出B'的坐标 ； (2)△ABC的面积为 ； (3)点P为y轴上一点，连接AP，CP，是否存在这样的点P，使得AP＋CP的值最小?若存在，请在图中画出满足条件的点P，并求出此时点P的坐标；若不存在；请说明理由. 11. 在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴正半轴交于点A(a，0)，与y轴交于点B(0，－4)，过点B作AB垂线交直线x＝4于点P. (1)如图，当a＝2时，求点P的坐标； (2)点Q是y轴正半轴上一点，且OQ＝OA，连接PQ. ①当线段PQ的长为8时，求a的值； ②试探究直线PQ是否经过某一定点.若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 第三章 位置与坐标(答案) 考点5: 平面直角坐标系的基本概念 3. 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向. (1)坐标轴：水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴. (2)原点：两坐标轴的公共原点O称为平面直角坐标系的原点. 4. 象限：如图所示，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分.右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内. 考点6: 点的坐标特征 平面直角坐标系中点的表示方法：在平面直角坐标系中，要想表示一个点的位置，就要用它的“坐标”来表示.对于平面上的任意一点P，如图所示，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a，b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b)[(横坐标，纵坐标)]叫作点P的坐标. · 各象限内点的坐标符号：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反. 练习4. 5. 如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是( B ). A.(3，4) B.(－3，4) C.(－3，－4) D.(3，－4) 6. 在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为(2，－1)，那么点A一定在( D ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7. 已知点P在第二象限内，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是( C ). A.(3，－4) B.(3，4) C.(－4，3) D.(4，－3) 8. 已知点P(a，2a＋3)在第二象限，且P到x轴的距离与它到y轴的距离相等，则a＝ －1 . 考点7: 用坐标表示地理位置 · 可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根据坐标确定地点. 3. 建立平面直角坐标系的基本思路： (1)选原点：分析条件，选择适当的点作为坐标原点. (2)作两轴：过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴与y轴. (3)定坐标系：确定x轴、y轴的正方向、单位长度 4. 建立平面直角坐标系的原则：①运算简便；②各点坐标易于表示 练习5. 7. 生活中我们经常需要准确描述物体的位置，下列条件不能确定物体位置的是( B ). A.东经113°，北纬34° B.距离二七纪念堂10km C.中原福塔北偏东20°，距离500m D.物理第一实验室3排1座 8. 如图，这是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为(－3，－1)，黑棋①的坐标为(1，－4)，则白棋④的坐标为( C ). A.(－2，－3) B.(4，－4) C.(－2，－5) D.(－5，－2) 9. 在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是(－1，－1)，(－1，2)，(3，2) ，则第四个顶点的坐标是 (3，－1) . 10. 在平面直角坐标系中，AB//x轴，AB＝2，若点A(1，－3)，则点B的坐标是( D ). A.(1，－1) B.(1，－5)或(1，－1) C.(3，－3) D.(－1，－3)或(3，－3) 11. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，AB//x轴，且AB＝5，则点B的坐标为 (7，3)或(－3，3) . 12. 在平面直角坐标系中，若A(m＋3，－1)，B(3，1－m)，且直线AB//y轴，则m的值是 0 . 考点8: 轴对称与坐标变化 4. 图形的坐标变化与轴对称的关系 (1)横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于x轴成轴对称； (2)纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于y轴成轴对称. · 横、纵坐标都乘－1，所得图形与原图形关于原点对称. 5. 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是P'(a，－b)； 6. 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标是P″(－a，b). 练习6. 12. 将直角坐标系中的点(－1，－3)向上平移4个单位，再向右平移2个单位后的点的坐标为( D ). A.(3，－1) B.(－5，－1) C.(－3，1) D.(1，1) 13. 在平面直角坐标系中，点A(－1，2)与点B关于y轴对称，则点B的坐标为( B ). A.(－1，－2) B.(1，2) C.(1，－2) D.(－1，2) 14. 已知点M的坐标为(－3，4)，它关于y轴的对称点的坐标为 (3，4) 15. 窗花是我国民间传统剪纸艺术，如图，蝴蝶窗花可以看作轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，对称轴是y轴，A，B是一对对应点，若点A的坐标为(3，1)，则点B的坐标为(－3，1) . 16. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为 (－，1) . 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4，0)，以OA为边在x轴上方作等边三角形OAB，作点A关于直线OB的对称点C，则点C的坐标为 (－2，2) 18. 如图所示,在平面直角坐标系中，已知A(0，1)、B(2，0)、C(4，3). (1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为4.求点P的坐标. 答案：(1)如图，△A1B1C1即为所求； (2) 点P的坐标为P(10，0)或P(－6，0). 19. 如图，在8×12的正方形网格中，网格线的交点叫作格点，点A，B，C都在格点上.请按要求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4). (1)①请在图中画出平面直角坐标系xOy； ②点C的坐标是 (1，2) ，点C关于x轴的对称点C1，的坐标是 (1，－2) (2)设l是过点C且平行于y轴的直线. ①点A关于直线l的对称点A1的坐标是 (5，1) ； ②在直线l上找一点P，使PA＋PB最小，则PA＋PB的最小值是 3 ；此时点P的坐标为 (1，3) . 答案：(1)①建立的平面直角坐标系xOy如解图所示：； 20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC在第二象限，且点A、B、C的坐标分别为(－5，2)，(－2，4)，(－1，1). (1)作出△ABC； (2)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并求出△ABC的面积； (3)若四边形ACDB为平行四边形，则点D的坐标为 . 答案：(1)如解图，△ABC为所作；(2)如解图，△A1B1C1，△ABC的面积为； (3)如解图，D点坐标为(2，3). 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(－4，3)，B(－1，2)，C(－2，－2). (1)将点B向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到点B'，请在图中画出点B'，并写出B'的坐标 (3，－1) ； (2)△ABC的面积为 ； (3)点P为y轴上一点，连接AP，CP，是否存在这样的点P，使得AP＋CP的值最小?若存在，请在图中画出满足条件的点P，并求出此时点P的坐标；若不存在；请说明理由. 答案：(1) 点B'见解图； (2)存在，点P的坐标为(0，－).如解图 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴正半轴交于点A(a，0)，与y轴交于点B(0，－4)，过点B作AB垂线交直线x＝4于点P. (1)如图，当a＝2时，求点P的坐标； (2)点Q是y轴正半轴上一点，且OQ＝OA，连接PQ. ①当线段PQ的长为8时，求a的值； ②试探究直线PQ是否经过某一定点.若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 答案：(1)如解图，作PC⊥OB于点C，点P的坐标为(4，－6)； (2)①如解图，a＝2－2；②直线PQ经过定点(2，－2). 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $