2.7.1-2.7.2 实际问题中导数的意义 实际问题中的最值问题-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 7．1　实际问题中导数的意义 7．2　实际问题中的最值问题 知识点一　用导数解释问题的实际意义 1．已知某商品的生产成本c与产量q(0<q<200)的函数关系为c＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系为p＝25－q，求利润L关于产量q的关系式，用L＝f(q)表示，并计算f′(80)的值，解释其实际意义． 解：∵f(q)＝p×q－c＝×q－(100＋4q)， ∴f(q)＝－q2＋21q－100(0<q<200)， ∴f′(q)＝－q＋21， ∴f′(80)＝－×80＋21＝1． 说明产量q＝80时，产量每增加1，利润也增加1． 知识点二　面积、容积的最值问题 2．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S． (1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S的最大值． 解：(1)依题意，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C的横坐标为x．设点C的纵坐标为y，则(x，y)满足方程＋＝1(y>0)， 解得y＝2(0＜x＜r)， 所以S＝(2x＋2r)·2＝2(x＋r)·，其定义域为{x|0＜x＜r}． (2)记f(x)＝S2＝4(x＋r)2(r2－x2)，0＜x＜r， 则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)． 令f′(x)＝0，得x＝或x＝－r(舍去)． 因为当0＜x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜r时，f′(x)＜0， 所以f是f(x)的最大值． 因此，当x＝时，S也取得最大值，为＝r2， 即梯形面积S的最大值为r2． 3．如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C，D在圆弧上，点A，B在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长BC＝x cm，圆柱的体积为V cm3． (1)写出体积V关于x的函数关系式； (2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？ 解：(1)连接OC，因为BC＝x cm， 所以OB＝ cm． 设圆柱底面半径为r cm，则＝πr， 即π2r2＝900－x2， 所以V＝πr2·x＝π··x＝， 其中0＜x＜30． (2)由V′＝＝0，得x＝10， 当x∈(0，10)时，V′＞0，当x∈(10，30)时，V′＜0， 所以V＝在(0，10)上单调递增，在(10，30)上单调递减， 所以当x＝10 cm时，V有最大值． 即当x＝10 cm时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大． 知识点三　利润最大(成本最低问题) 4．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km．两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？ 解：设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)， 所以BC＝＝(km)． 又设总的水管费用为y元，依题意， 得y＝3a(50－x)＋5a(0<x<50)． y′＝－3a＋．令y′＝0，解得x＝30． 当0<x<30时，y′<0，当30<x<50时，y′>0，所以在x∈(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)． 故供水站C建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省． 5．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln (x＋b)(a>0，b>0)．已知投资额为零时收益为零． (1)求a，b的值； (2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益． 参考数据：ln 2≈0．7，ln 3≈1．1． 解：(1)由投资额为零时收益为零， 可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0， 解得a＝2，b＝1． (2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)． 设投入经销B商品的资金为x(0≤x≤5)万元， 则投入经销A商品的资金为(5－x)万元， 设所获得的收益为S(x)万元， 则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0≤x≤5)． S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2． 当0≤x<2时，S′(x)>0，函数S(x)单调递增； 当2<x≤5时，S′(x)<0，函数S(x)单调递减． 所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值， S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12．6． 所以当投入经销A商品的资金为3万元，B商品的资金为2万元时，他能获得最大收益，约为12．6万元． 一、选择题 1．某产品的生产总成本y(单位：元)关于产量x(单位：件)的函数关系式为y＝f(x)＝－x2＋6000，则f′(80)表示(　　) A．x＝80时的生产总成本 B．x＝80时的边际成本 C．x＝80时的产品的价格 D．x＝80时的产量 答案：B 解析：f′(x)表示产量为x件时的边际成本． 2．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(单位：min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示：y＝－t3－t2＋36t－(6≤t≤9)．则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(　　) A．6时 B．7时 C．8时 D．9时 答案：C 解析：由题意，得y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝－12(舍去)或t＝8．当6≤t<8时，y′>0；当8<t≤9时，y′<0，所以当t＝8时，y有最大值，即此时刻通过该路段用时最多． 3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品数是(　　) A．100 B．150 C．200 D．300 答案：D 解析：设总成本为C(x)，总利润为P(x)，由题意，得总成本为C(x)＝20000＋100x，所以总利润为P(x)＝R(x)－C(x)＝P′(x)＝当0≤x≤400时，令P′(x)＝0，得x＝300；当x>400时，P′(x)<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大． 4．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x，所以正六棱柱的体积V＝6××sin60°×(1－2x)2×x＝6×(1－2x)2×x＝(4x3－4x2＋x)，则V′＝(12x2－8x＋1)．令V′＝0，得x＝(舍去)或x＝．当x∈时，V′>0；当x∈时，V′<0．故当x＝时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为．故选B． 5．[多选]甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(单位：元)关于速度v(单位：千米/时)的函数是P＝v4－v3＋15v，若全程运输成本记为Q(单位：元)，则下列说法正确的是(　　) A．全程运输成本Q(单位：元)关于速度v的函数关系式为Q＝－v2＋6000(0＜v≤100) B．当v＝100千米/时时，全程运输成本最低 C．当v＝80千米/时时，全程运输成本最低 D．全程运输成本最低为元 答案：ACD 解析：依题意，得Q＝P·＝·＝－v2＋6000(0＜v≤100)．Q′＝－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，当0＜v＜80时，Q′＜0；当80＜v≤100时，Q′＞0，∴v＝80千米/时时，全程运输成本最低，为－×802＋6000＝(元)．故选ACD． 二、填空题 6．某生物种群的数量Q与时间t的关系近似地符合Q(t)＝，则Q′(ln 9)＝________，它表示的实际意义是__________________________________________． 答案：　当时间t＝ln 9时，该生物种群数量的增长速度为 解析：由Q(t)＝⇒Q′(t)＝＝，得Q′(ln 9)＝．它表示的实际意义是当时间t＝ln 9时，该生物种群数量的增长速度为． 7．某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C＝1200＋x3，P＝，则总利润最大时，x＝________． 答案：25 解析：由题意可得，总利润L(x)＝x·－1200－x3＝－x3＋500－1200(x>0)，求导可得，L′(x)＝－x2＋，令L′(x)＝0，解得x＝25．当0＜x＜25时，L′(x)>0，当x＞25时，L′(x)<0，故L(x)在(0，25)上单调递增，在(25，＋∞)上单调递减，故当x＝25时，总利润最大． 8．一艘轮船在航行中每小时使用的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h． 答案：20 解析：设轮船的速度为x km/h时，每小时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3，所以行驶每千米的费用总和为y＝·＝x2＋(x＞0)．所以y′＝x－．令y′＝0，解得x＝20．因为当x∈(0，20)时，y′＜0，此时函数单调递减；当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增，所以当x＝20时，y取得最小值，即行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为20 km/h． 三、解答题 9．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位：升)关于行驶速度x(单位：千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油量为多少升？ 解：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2．5(时)，耗油×2．5＝17．5(升)． 答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17．5升． (2)当汽车的速度为x千米/时时，从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升． 依题意，得h(x)＝· ＝x2＋－(0<x≤120)， h′(x)＝－＝(0<x≤120)， 令h′(x)＝0，得x＝80． 当x∈(0，80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80，120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数． 故当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11．25． 因为h(x)在(0，120]上只有一个极小值，所以它是最小值． 答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少耗油量为11．25升． 10．如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，AD为4 km．地块的一角是草坪(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计)，将隔离出的△BEF作为健身场所．设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2)． (1)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)是否存在点P，使隔离出的△BEF的面积S超过3 km2？并说明理由． 解：(1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则C点坐标为(2，4)． 设边缘线AC所在抛物线的方程为y＝ax2， 把(2，4)代入，得4＝a×22， 解得a＝1， 所以抛物线的方程为y＝x2． 因为y′＝2x， 所以过P(t，t2)的切线EF的方程为y＝2tx－t2． 令y＝0，得E； 令x＝2，得F(2，4t－t2)， 故S＝(4t－t2)， 所以S＝(t3－8t2＋16t)，t∈(0，2]． (2)不存在．理由：S′(t)＝(3t2－16t＋16)＝(t－4)，t∈(0，2]． 由S′(t)＞0，得0＜t＜， 所以S(t)在上是增函数； 由S′(t)＜0，得＜t≤2，所以S(t)在上是减函数， 所以S在(0，2]上有最大值S＝． 又因为＝3－＜3，所以不存在点P，使隔离出的△BEF的面积S超过3 km2． 9 学科网（北京）股份有限公司 $