2.3 导数的计算-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列结论中错误的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．′＝cos C．若y＝，则y′＝－ D．′＝ 解析　因为(cos x)′＝－sin x，所以A错误； ′＝′＝0，所以B错误； ′＝(x-2)′＝－2x-3，所以C错误，D正确． 答案　ABC 2．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析　因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x. 所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0. 答案　A 3．(多选题)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　) A．(－1，1) B．(－1，－1) C．(1，1) D．(1，－1) 解析　y′＝3x2，因为k＝3， 所以3x2＝3，所以x＝±1， 则P点坐标为(－1，－1)或(1，1). 答案　BC 4．(多选题)设函数f(x)的定义域为D，f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)在D上单调，则称函数f(x)为“C函数”．下列函数中，是“C函数”的有(　　) A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝x3 D．y＝cos x 解析　由y＝ex得y′＝ex在(－∞，＋∞)上单调； 由y＝ln x得y′＝在(0，＋∞)上单调； 由y＝x3得y′＝3x2在(－∞，＋∞)上不单调； 由y＝cos x得y′＝－sin x在(－∞，＋∞)上不单调． 综上，故选AB. 答案　AB 5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 解析　因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2， 所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1，0)， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 答案　 6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝ ． 解析　因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x， 所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0， f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0， 解得x＝1或x＝－(舍去).故x＝1. 答案　1 7．过点A(2，8)，且与曲线f(x)＝x3相切的直线方程为 ． 解析　f′(x)＝3x2，设切点坐标为(m，m3)，则切线斜率为f′(m)＝3m2，所以切线方程为y－m3＝3m2(x－m)，又点(2，8)在切线上，所以8－m3＝3m2(2－m)，所以m3－3m2＋4＝m2(m－2)－(m＋2)(m－2)＝(m2－m－2)(m－2)＝(m＋1)(m－2)2＝0，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，切线方程为y＋1＝3(x＋1)，整理为3x－y＋2＝0；当m＝2时，切线方程为y－8＝12(x－2)，整理为12x－y－16＝0. 答案　3x－y＋2＝0或12x－y－16＝0 8．已知函数f(x)＝4x2，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，直线m平行于直线l且过点(0，－6). (1)求直线l与m的方程； (2)指出曲线y＝f(x)上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离． 解析　(1)因为f(x)＝4x2，所以f′(x)＝8x，所以f′(1)＝8，又f(1)＝4，即切点为(1，4)，所以切线l的方程为y－4＝8(x－1)，即8x－y－4＝0.因为直线m与直线l平行，所以直线m的斜率为8，又直线m过点(0，－6)，所以直线m的方程为y＝8x－6，即8x－y－6＝0. 故直线l：8x－y－4＝0，直线m：8x－y－6＝0. (2)依题意得点(1，4)到直线m：8x－y－6＝0的距离最短，最短距离d＝＝. [关键能力·综合提升] 9．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　) A． B．－ C．－e D．e 解析　曲线y＝ex的导数为y′＝ex，设切点为P(x0，ex0)，则在P处的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)， 代入(0，0)点得x0＝1，所以P(1，e)， 所以k＝e，故选D. 答案　D 10．(多选题)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 解析　A．对于函数y＝sin x，y′＝cos x，设图象上存在这样两点(x1，sin x1)，(x2，sin x2)，那么两切线的斜率k1＝cos x1，k2＝cos x2，令k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1，则x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(x2＝2kπ，x1＝2kπ＋π)，k∈Z，即存在这样的两点，所以具有T性质． B．对于函数y＝ln x，y′＝，k1·k2＝·，而x1＞0，x2＞0，所以k1·k2≠－1，所以函数y＝ln x不具有T性质． C．对于函数y＝ex，y′＝ex，k1＝ex1，k2＝ex2，显然均大于0.所以函数y＝ex不具有T性质． D．对于函数y＝x3，y′＝3x2，k1＝3x，k2＝3x，显然k1·k2≠－1，所以函数y＝x3不具有T性质． 答案　BCD 11．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为 时，PQ最小，此时最小值为 ． 解析　如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值．易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以PQ的最小值为＝. 答案　(1，0)　 12．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ． 解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak). 又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1，0)， ∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列， ∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 答案　21 13．求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公共切线的斜率． 解析　(1)当公共切线的切点相同时，对C1，C2分别求导得y′＝2x，y′＝3x2.令2x＝3x2，解得x＝0或x＝. ①当x＝0时，2x＝3x2＝0； ②当x＝时，2x＝3x2＝. 当切线的斜率为0时，曲线C1，C2的公共切线为y＝0.当切线的斜率为时，此时C1的切线方程为y－＝，而C2的切线方程为y－＝，显然两者不是同一条切线，所以x＝舍去． (2)当公共切线的切点不同时，在曲线C1、C2上分别任取一点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y′＝2x1，y′＝3x. 因为AB的斜率为kAB＝， 所以有2x1＝3x＝. 由2x1＝3x，得x1＝x，代入3x＝中，解得x2＝，x1＝. 此时公共切线的斜率为2x1＝. 综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，. [学科素养·探索创新] 14．“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线．曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线方程为 ，利用上述“切线近似代替曲线”的思想方法计算所得结果为 (结果用分数表示). 解析　由y＝ln x得y′＝，所以在点(1，0)处的切线斜率k＝1，则切线方程为y＝x－1； 由题意知ln x≈x－1，所以ln ≈－1，即ln e≈e－1，所以e≈ln e＋1＝＋1＝，即≈. 答案　y＝x－1　 15．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解析　不存在．理由如下：设y1＝sin x，y2＝cos x两条曲线的一个公共点为P(x0，y0). 则两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为 k1＝y1′， k2＝y2′， 若使两条切线互相垂直，必须有 cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两曲线的切线互相垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $