2.2.2 导数的几何意义-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·烟台一中高二月考)若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则(　　) A．f′(1)>0 B．f′(1)＝0 C．f′(1)<0 D．f′(1)不存在 解析　由题意知切线过点(1，3)，(0，2)，所以切线的斜率k＝f′(1)＝＝1>0.故选A. 答案　A 2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析　将(0，b)的坐标代入切线方程可得0＋b＋1＝0，所以b＝－1. 当Δx趋于0时，趋于a， 所以f′(0)＝a，即a＝－1. 答案　D 3．如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析　曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，所以切线l的方程为y＝－2(x－2).因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C. 答案　C 4．(2025·北京通州区高二期中)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是(　　) A.f1′(x0)>f2′(x0)>f3′(x0)>f4′(x0) B．f1′(x0)>f3′(x0)>f2′(x0)>f4′(x0) C．f4′(x0)>f1′(x0)>f3′(x0)>f2′(x0) D．f1′(x0)>f3′(x0)>f4′(x0)>f2′(x0) 解析　依次作出曲线f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)在x＝x0处的切线，如图所示．根据图中切线的斜率可知f1′(x0)>f2′(x0)>f3′(x0)>f4′(x0).故选A. 答案　A 5．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝ ． 解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3. 答案　3 6．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为 ． 解析　设点M(x0，y0)， 因为＝ ＝1＋2x0＋Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于1＋2x0， 即M点处切线的斜率为1＋2x0， 令2x0＋1＝3， 所以x0＝1，则y0＝0，所以M(1，0). 答案　(1，0) 7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为 ． 解析　由偶函数的图象关于y轴对称，可知曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率应为－1. 答案　－1 8．已知曲线C：y＝x3.求： (1)曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解析　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， 所以切点为P(1，1). 因为＝＝ ＝3＋3Δx＋(Δx)2， 所以当Δx趋于0时，趋于3， 即f′(1)＝3， 所以点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. (2)由可得(x－1)(x2＋x－2)＝0， 解得x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为P(1，1)或P(－2，－8). 故第(1)小题中的切线与曲线C还有其他的公共点． [关键能力·综合提升] 9．(2024·齐齐哈尔高二检测)函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5) B．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3) C．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5) D．2f′(3)<2f′(5)<f(3)－f(5) 解析　由题图知：f′(3)<<f′(5)，即2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5). 答案　A 10．(多选题)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)·(x－x0)，那么下列结论正确的有(　　) A．f′(1)＝－5 B．函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线平行或重合于x轴 C．切线斜率的最小值为1 D．曲线f(x)在x＝4处的切线与直线x＋16y－1＝0垂直 解析　由题意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4). 对于A，f′(1)＝(1－2)×(1＋4)＝－5，故A正确； 对于B，f′(2)＝0，故函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线平行或重合于x轴，故B正确； 对于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，故切线斜率的最小值为－9，故C错误； 对于D，f′(4)＝(4－2)×(4＋4)＝16，直线x＋16y－1＝0的斜率为－，16×＝－1，故D正确． 故选ABD. 答案　ABD 11．(2025·河北衡水重点中学联考)已知函数g(x)与f(x)＝x2(x∈[0，＋∞))的图象关于直线y＝x对称，将g(x)的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到h(x)的图象，若P，Q分别为函数f(x)，h(x)图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为 ． 解析　由已知得将直线y＝x先向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得函数f(x)和h(x)图象的对称轴，即直线y＝x－1－1，即y＝x－2， 所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线y＝x－2距离的最小值的2倍，易知当点P到直线y＝x－2的距离最小时，f(x)的图象在点P处的切线平行于直线y＝x－2，设P(x0，y0)， 则＝＝＝Δx＋2x0，当Δx→0时，→2x0，故函数f(x)＝x2的图象在P点处的切线斜率为2x0，故2x0＝1，解得x0＝，则y0＝，所以点P到直线y＝x－2距离的最小值为＝，所以P，Q两点之间距离的最小值为2×＝. 答案　 12．已知直线l：y＝4x＋a(a＜0)和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，则a的值为 ，切点坐标为 ． 解析　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， 因为＝ ＝ ＝3x－4x0＋(Δx)2－2Δx＋3Δxx0， 所以当Δx趋于0时，趋于3x－4x0， 即k＝f′(x0)＝3x－4x0， 由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， 所以切点的坐标为或(2，3). 当切点为时， 有＝4×＋a，解得a＝(舍去). 当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5. 答案　－5　(2，3) 13．已知函数f(x)＝x3. (1)求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程； (2)若函数f(x)的图象为曲线C，过点P作曲线C的切线，求切线的方程． 解析　(1)由导函数的概念，得 ＝＝ ＝ ＝ ＝3x(x＋Δx)＋(Δx)2， 当Δx趋于0时，趋于3x2，所以f′(1)＝3， 所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2. (2)设切点为Q(x0，x)，则由第一问得切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x， 切线方程为y－x＝3x(x－x0)， 即y＝3xx－2x. 因为切线过点P， 所以2x－2x＝0，解得x0＝0或x0＝1， 从而切线方程为y＝0或y＝3x－2. [学科素养·探索创新] 14．(多选题)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是(　　) A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 解析　A选项，根据图象可知，在t1时刻，两图象相交，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A正确；B选项，根据图象以及导数的知识可知，在t2时刻，两图象的切线斜率不相等，即甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，B正确；C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率均为，C正确；D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率大于在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率，D错误．故选ABC. 答案　ABC 15．已知曲线y＝x2＋1，问：是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解析　假设存在实数a满足条件． 设切点坐标为(x0，x＋1)， 由＝＝2x0＋Δx， 所以当Δx趋于0时，趋于2x0， 则切线的斜率k＝f′(x0)＝2x0. 由点斜式，得切线方程为y－y0＝2x0(x－x0). 又切线过点(1，a)，y0＝x＋1， 所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)， 即x－2x0＋a－1＝0. 因为切线有两条， 所以Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，解得a＜2. 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，实数a的取值范围是(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $