2.2.1 导数的概念-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则lim 的值(　　) A．与x0有关　　　　 B．与h有关 C．与x0无关 D．与h无关 解析　由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD. 答案　AD 2．(2025·福建南平期末)如果某质点运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝，那么该质点在t＝3s时的瞬时速度为(　　) A． m/s B．－ m/s C． m/s D．－ m/s 解析　＝＝＝－， 所以当Δt趋于0时，趋于－. 即质点在t＝3s时的瞬时速度为－m/s. 故选D. 答案　D 3．(2025·山东滕州一中高二质检)一质点做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s＝t2＋2t，设其在t∈内的平均速度(单位：m/s)为v1，在t＝3 s时的瞬时速度(单位：m/s)为v2，则＝(　　) A． B． C． D． 解析　根据平均速度定义可知，在t∈内的平均速度v1＝＝＝7(m/s). 在t＝3 s时的瞬时速度 v2＝ ＝ (8＋Δt)＝8(m/s).所以＝.故选B. 答案　B 4．(多选题)已知函数y＝f(x)＝3x2－1的图象上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为 ，则下列结论正确的是(　　) A．＝2＋Δx B．＝3(2＋Δx) C． ＝2 D． ＝6 解析　＝＝3(2＋Δx)， 故Δx趋于0时，趋于6. 即 ＝6. 答案　BD 5．如果函数y＝f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，那么x0的值为 ． 解析　＝＝ ＝， 当Δx趋于0时，趋于＝， 所以x0＝. 答案　 6．一质点的运动方程为s＝，则t＝3时的瞬时速度为 ． 解析　由导数定义及导数的物理意义知 ＝＝＝， 当Δt趋于0时，趋于－， 所以s′(3)＝－，即t＝3时的瞬时速度为－. 答案　－ 7．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为 ． 解析　因为ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝ －＝， 所以＝[12＋6Δr＋(Δr)2]， 当r趋于2，即当Δr趋于0时，趋于16π， 故当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为16π. 答案　16π 8．若一物体的运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)： s＝ 求：(1)物体在[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 解析　(1)因为物体在[3，5]上的时间变化量Δt＝5－3＝2，物体在[3，5]上的位移变化量Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在[3，5]上的平均速度为＝＝24(m/s). (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为＝ ＝ ＝3Δt－18， 当Δt趋于0时，趋于－18，故v′(0)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在t＝1时的瞬时速度，即为函数s(t)在t＝1处的瞬时变化率． 因为＝ ＝ ＝3Δt－12， 当t趋于1，即当Δt趋于0时，趋于－12，即v′(1)＝－12. 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0值为(　　) A．0　　　　　　　　 B． C． D． 解析　因为＝＝ ＝2x0＋Δx. 所以当Δx趋于0时，2x0＋Δx趋于2x0， 即f′(x0)＝2x0. 因为＝＝ ＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2， 所以当Δx趋于0时，3x＋3x0Δx＋(Δx)2趋于3x， 即g′(x0)＝3x， 依题意得f′(x0)＋2＝g′(x0)， 所以2x0＋2＝3x， 解得x0＝或x0＝，故选CD. 答案　CD 10．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 解析　设角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)＝kt2(k≠0)，由已知得2π＝k·12，即k＝2π， 故θ(t)＝2πt2. 第2 s时的瞬时速度即为θ′(2). 由于＝＝2πΔt＋8π， 当Δt趋于0时，趋于8π， 所以θ′(2)＝lim ＝8π， 即第2 s时的瞬时速度为8π. 答案　D 11．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1，1＋Δt]内的平均加速度是 ，在t＝1时的瞬时加速度是 ． 解析　在[1，1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4. 答案　Δt＋4　4 12．某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t (单位：℃)时正方形的边长为10(1＋t)cm，设此时正方形的面积为S(单位：cm2)，且S＝f(t)，求f′(0)并解释其实际意义． 解析　依题意可知， S＝f(t)＝[10(1＋t)]2＝100(1＋t)2. 设t＝0时温度的改变量为Δt，则 ＝ ＝ ＝200＋100Δt， 所以当Δt趋于0时，趋于200， 即f′(0)＝200. f′(0)＝200的实际意义是在铁板温度为0 ℃时，铁板面积增加的速度为200 cm2/℃，也就是说，保持这一增速每升高1 ℃，铁板面积就要增加200 cm2. 13．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)＝＋15，其中T(t)为蜥蜴的体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min). (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？ (3)当t＝10时，蜥蜴体温的瞬时变化率是多少？ (4)蜥蜴体温的瞬时变化率为－1 ℃/min时的时刻t是多少？(≈5.477，精确到0.01) 解析　(1)由题意可知，T(t)＝＋15， 当t＝0时，T＝＋15＝39(℃)， 当t＝10时，T＝＋15＝23(℃)， 从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了39－23＝16(℃). (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为＝－1.6. (3)当t＝10时，＝ ＝ ＝＝ ＝. 当Δt趋于0时，趋于－，故当t＝10时，蜥蜴体温的瞬时变化率是－. (4)对T(t)＝＋15得 ＝ ＝ ＝ ＝ 当Δt趋于0时，趋于， 即T′(t)＝， 令T′(t)＝－1，得＝－1， 解得t＝2－5≈5.95， 所以时刻t≈5.95 min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为－1 ℃/min. [学科素养·探索创新] 14．已知函数f(x)在x＝x0处可导，若 ＝3，则f′(x0)＝(　　) A．1 B． C．2 D．8 解析　f′(x0)＝ ＝ ＝ ＝1，故选A. 答案　A 15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为 ． 解析　由导数的定义，得 f′(0)＝ ＝ ＝ [a·(Δx)＋b]＝b>0. 又∴ac≥，∴c>0. ∴＝≥≥＝2， 当且仅当a＝c＝时等号成立． 答案　2 学科网（北京）股份有限公司 $