2.1.1-2.1.2 平均变化率 瞬时变化率-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·广西南宁二中高二期中)函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为(　　) A．Δx＋2　　　　　 B．Δx＋3 C．2Δx＋(Δx)2 D．3Δx＋(Δx)2 解析　Δy＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－12－1＝(Δx)2＋3Δx，所以＝＝Δx＋3. 答案　B 2．(2025·北京人大附中质量检测)某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为s(t)＝t2＋t，则这个物体在时间段[1，2]内的平均速度为(　　) A．2 B． C．3 D． 解析　＝＝＝.故选D. 答案　D 3．某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g≈9.8 m/s2.若＝24.5 m/s，则24.5 m/s是该物体(　　) A．从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度 B．从0 s到1 s这段时间的平均速度 C．在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D．在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 解析　s(1＋Δt)－s(1)表示从1 s到(1＋Δt)s这段时间内物体的位移，Δt为从1 s到(1＋Δt)s这段时间的增加量，所以表示从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度．故选A. 答案　A 4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)在上的平均变化率为，则下列说法正确的是(　　) A．直线AB的倾斜角为 B．直线AB的倾斜角为 C．直线AB的斜率为－ D．直线AB的斜率为－ 解析　∵f(x)在上的平均变化率为，∴＝＝， ∴f(x)在上的平均变化率就是直线AB的斜率kAB，即kAB＝， 故直线AB的倾斜角为，故选A. 答案　A 5．质点运动规律为s＝t2＋3，则在时间(3，3＋Δt)内相应的平均速度为 ． 解析　因为质点运动规律为s＝t2＋3，所以在时间(3，3＋Δt)内的平均速度＝＝＝6＋Δt. 答案　6＋Δt 6．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝ ． 解析　因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2， 所以＝＝2， 即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0， 解得t＝5或t＝－2(舍去). 答案　5 7．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为 ；函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为 ． 解析　从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为＝＝，函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为＝＝. 答案　　 8．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率； (2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率； (3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义． 解析　Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2x－3x1＋5 ＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx. (1)当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，所以平均变化率＝＝21. (2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92， 所以平均变化率＝＝19.2. (3)在(1)中，＝＝，它表示曲线上两点P0(4，39)与P1(5，60)所在直线的斜率； 在(2)中，＝＝，它表示曲线上两点P0(4，39)与P2(4.1，40.92)所在直线的斜率． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　) A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 解析　该物体在1≤t≤3时的平均速度是 ＝＝28，A正确； 物体在t＝4时的瞬时速度是Δt→0时，＝(56＋7Δt)→56，故B正确； 物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误； 物体在t＝5时的瞬时速度是Δt→0时，＝(70＋7Δt)→70，故D正确． 答案　ABD 10．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(　　) A．[x1，x2] B．[x2，x3] C．[x1，x3] D．[x3，x4] 解析　由函数平均变化率的计算公式，可得函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为P1＝>0，函数f(x)在[x2，x3]上的平均变化率为P2＝<0，函数f(x)在[x1，x3]上的平均变化率为P3＝<0，函数f(x)在[x3，x4]上的平均变化率为P4＝>0，结合函数y＝f(x)的图象可得P4最大，即平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 答案　D 11．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是 ． 解析　因为s＝4t2＋4t＋1， Δs＝[4(1＋Δt)2＋4(1＋Δt)＋1]－(4×12＋4×1＋1)＝4(Δt)2＋12Δt， ＝＝4Δt＋12， 当Δt趋于0时，趋于常数12， 所以物体在1秒末的瞬时速度为12米/秒． 答案　12米/秒 12．已知物体运动位移x cm是时间t s的函数，而且t＝0.1时，x＝4.7；t＝0.2时，x＝4.4. (1)这个物体在时间段[0.1，0.2]内的平均速度为 ． (2)估计t＝0.05时物体的位移为 ． 解析　(1)所求的平均速度为＝3(cm/s)； (2)将x在[0.1，0.2]上图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为－3，且直线过点(0.1，4.7)，因此x与t的关系可以近似地表示为x－4.7＝－3(t－0.1). 在上式中令t＝0.05，可求得x＝4.85 cm. 即物体的位移可以估计为4.85 cm. 答案　(1)3 cm/s　(2)4.85 cm 13．已知s(t)＝gt2，其中g＝10 m/s. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t＝3秒时的瞬时速度． 解析　(1)Δt＝3.1－3＝0.1(s)， Δs＝s(3.1)－s(3)＝·g·3.12－·g·32 ＝3.05 m， 则1＝＝＝30.5(m/s). (2)Δt＝3.01－3＝0.01(s)， Δs＝s(3.01)－s(3)＝·g·3.012－·g·32＝0.300 5(m). 则2＝＝＝30.05(m/s). (3)由瞬时速度的定义，可知 Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝g(3＋Δt)2－g·32＝3gΔt＋g(Δt)2，＝3g＋gΔt， 当Δt无限趋近于零时，趋近于30 m/s. 即当t＝3秒时的瞬时速度为30 m/s. [学科素养·探索创新] 14．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 解析　由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好，故选B. 答案　B 15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 ． 解析　体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)， 所以＝＝， 所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍). 答案　2 学科网（北京）股份有限公司 $