1.4 数列在日常经济生活中的应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·安徽宿州高二期中)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数学九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属于现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余3且被6除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数{an}，则a10等于(　　) A．115　　　　　　　 B．117 C．119 D．121 解析　被4除余3的正整数为4n＋3(n∈N＋)，被6除余1的正整数为6m＋1(m∈N＋)，令4n＋3＝6m＋1，得n＝，因为m，n∈N＋，所以m＝2k－1，k∈N＋，所以an＝6(2n－1)＋1＝12n－5，所以a10＝12×10－5＝115. 答案　A 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：译为“有一个人要走508里路，第一天健步行，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地．”那么，此人第1天走的路程是(　　) A．83里 B．192里 C．128里 D．256里 解析　依题意可知这个人每天走的路程构成公比q＝的等比数列，设第1天走的路程为a1，所以S7＝＝a1＝508，解得a1＝256(里). 答案　D 3．某地为了保护耕地资源实行退林还耕，如果2022年退林a万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2029年一共退林(　　) A．10a(1.18－1)万亩 B．a(1.18－1)万亩 C．10a(1.17－1)万亩 D．a(1.17－1)万亩 解析　记2022年为第一年，第n年退耕an万亩，则{an}为等比数列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，则问题转化为求数列{an}的前8项和，所以数列{an}的前8项和为＝＝10a(1.18－1).所以到2029年一共退耕10a(1.18－1)万亩． 答案　A 4．龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱．某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定骨架材质按图中规律排列(即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列)，则该“龙身”中竹质骨架的个数为(　　) A．161 B．162 C．163 D．164 解析　设有n个碳质骨架，n∈N＋，由已知可得n＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n≥180，若只有(n－1)个碳质骨架，则骨架总数少于180，所以(n－1)＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＜180，所以n2＋3n≥360，且n2＋n＜362，又n∈N＋，解得n＝18，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有180－18＝162(个). 答案　B 5．某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是 ． 解析　由题意可知，今年年末的总产值为1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a，公比为1.1.所以其前5项和为S5＝＝11×(1.15－1)a亿元． 答案　11×(1.15－1)a亿元 6．有一条信息，若某人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内分别传给未知信息的另外两人……如果每人只传两人，如此下去，要把信息传遍一个有55人的班级所需时间大约为 小时． 解析　由题意，n小时后得知信息的总人数为1＋2＋22＋…＋2n＝2n+1－1，令2n+1－1≥55，即2n+1≥56，所以n＋1≥6，所以n≥5. 答案　5 7．银行一年定期储蓄存款年息为r，到期后自动转存，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期后自动转存，则q的取值范围为 ． 解析　设存款数为a元，则三年后本利和分别为a(1＋r)3和a＋3aq，由题知a＋3aq＞a(1＋r)3， 解得q＞[(1＋r)3－1]. 答案　q＞[(1＋r)3－1] 8．小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存10 000元，以后每个月在前一个月的基础上增加20%.记小华第一个月(今年4月)存入的金额为a1万元，小华第n个月当月存入的金额为an万元． (1)求小华前3个月的总存款金额； (2)若小华想购买的汽车售价为11万元，求小华至少要存几个月钱才能全款购买这辆汽车．(取1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30) 解析　(1)依题意，得a2＝a1(1＋20%)＝1.2a1，a3＝1.2a2，…，an＋1＝1.2an，所以数列{an}是首项为a1，公比为1.2的等比数列，所以an＝1.2n-1a1，又a1＝1，所以小华前3个月的总存款金额为a1＋1.2a1＋1.22a1＝3.64a1＝3.64(万元). (2)由(1)知an＝1.2n-1，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝，由≥11，可得1.2n≥3.2，又1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30，所以n≥7，故小华至少要存7个月钱才能全款购买这辆汽车． [关键能力·综合提升] 9．某地区农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2023年该地区农民人均收入为31 500元(其中工资性收入为18 000元，其他收入为13 500元)，预计该地区自2024年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加1 600元．根据以上数据，2028年该地区农民人均收入介于(参考数据：1.066≈1.418 5，1.065≈1.338 2，1.064≈1.2625)(　　) A．42 000元～44 000元之间 B．44 000元～46 000元之间 C．46 000元～48 000元之间 D．48 000元～50 000元之间 解析　2028年农民收入为18 000·(1＋6%)5＋13 500＋5×1 600≈18 000×1.338 2＋21 500≈45 588，故选B. 答案　B 10．(2025·北京人大附中高二期中)小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为r的圆纸片上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆之间的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案(阴影部分)的面积为(　　) A．(π－2)r2 B．(π－2)r2 C．(π－2)r2 D．(π－2)r2 解析　将6个圆从外到内依次记为Oi，i∈{1，2，3，4，5，6}，将6个正方形从外到内依次记为Ai，i∈{1，2，3，4，5，6}，记6次形成的阴影部分从外到内的面积依次为Ti＝S⊙Oi－SAi＝πr－(ri)2＝(π－2)r，其中ri表示Oi的半径． 由题意可知r1＝r，r2＝r1，…，ri＝ri－1，i≥2，故半径成等比数列，且公比为，ri＝r，i∈{1，2，3，4，5，6}，所以Ti＝(π－2)r＝(π－2)r2·，i∈{1，2，3，4，5，6}，故{Ti}为等比数列，且首项为(π－2)r2，公比为，所以T1＋T2＋…＋T6＝＝(π－2)r2，故选C. 答案　C 11．(2025·石家庄模拟)法国数学家费马于1640年提出了Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被数学家欧拉算出F5＝641×6 700 417不是质数．现设an＝log4(n＝1，2，…)，Sn表示数列{an}的前n项和，若32Sn＝63an，则n＝ ． 解析　由题设，an＝2n-1，则Sn＝＝2n－1，又32Sn＝63an， 所以32(2n－1)＝63·2n-1，即2n＝64， 可得n＝6. 答案　6 12．某科研单位打算拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元……以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励． 解析　设第10名到第1名得到的资金数分别是a1，a2，…，a10，则an＝Sn＋1，则a1＝2，an－an－1＝－＝(Sn－Sn－1)＝an，即an＝2an－1，因此每人得到的资金额组成以2为首项，2为公比的等比数列，所以S10＝＝2 046. 答案　2 046 13．(2025·杨浦区高二检测)某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一． 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足In＋1＝1.02In－0.20； 策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足In＋1＝1.08In－0.46. (1)设第一周的虫害指数I1∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ (2)设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？ 参考数据：lg ≈0.320，lg 1.08≈0.033. 解析　(1)策略A：In＋1＝1.02In－0.20，策略B：In＋1＝1.08In－0.46， 当1.02I1－0.20＝1.08I1－0.46时，可得I1＝， 当I1＝时，两者相等，当I1∈时，策略B的I2更小． 当I1∈时，策略A的I2更小． (2)当I1＝3时，选择策略B，即In＋1＝1.08In－0.46. 两边同时加上x得 In＋1＋x＝1.08 令x＝，即0.08x＝－0.46， 解得x＝－. 故数列是首项为I1－＝3－＝－， 公比为1.08的等比数列． 当In＝0时，则－＝·1.08n-1，可得＝1.08n-1，所以n＝＋1≈11， 所以虫害的危机最快在第11周解除． [学科素养·探索创新] 14．(2025·鹤岗期末)某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后前6位数字，编码方式如下： ①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母的位置； ②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为3n的项得到新数列{an}，即2，3，4，6，8，32，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为2n的项得到新数列{an}，即1，2，3，22，5，7，23，9，11，13，…； ③N为数列{an}的前x项和． 如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有2，22，23，所以有8个奇数，N＝1＋3＋…＋15＋2＋22＋23＝78，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为 ． 解析　当值社员姓徐，则X在26个英文字母中排第24位，故x＝24， 前24项中有3，32，33，所以有21个偶数， 所以N＝2＋4＋…＋42＋3＋32＋33＝＋3＋9＋27＝501， 计算≈0.199 600 8，则当日密码为199600. 答案　199600 15．假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧……如此下去，请回答以下问题． (1)所得螺旋线CA1，A1A2，A2A3，…的长度是否能够构成等差数列？若能，请求出通项公式an；若不能，请说明理由； (2)设bn＝3an，请证明数列{bn}为等比数列； (3)若bn＝can，则当c满足什么条件时，数列{bn}为等比数列．(直接给出结论，不要求证明) 解析　根据弧长公式知弧长 CA1，A1A2，A2A3，…，A3n－2A3n－1，A3n－1A3n的长度分别为，，…，， 化简得，2×，3×，…，3n×， 此数列是以为首项，以为公差，项数为3n的等差数列． (1)螺旋线CA1，A1A2，A2A3，…的长度能够构成等差数列，根据等差数列的通项公式得an＝＋(n－1)×＝. (2)证明　由(1)得bn＝3， 而＝＝3(n≥2)，故数列{bn}是以3为首项，以3为公比的等比数列． (3)当c≠0时，数列{bn}为等比数列．　　　　　　　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $