1.3.2 第2课时 等比数列习题课-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，则S6＝(　　) A．282　 　　　　　　 B．147 C．45 D．70 解析　S6＝a1＋a2＋…＋a6＝(2＋22＋…＋26)＋(1＋2＋…＋6)＝147. 答案　B 2．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 解析　设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8， 所以＝＝qm＝8＝， 所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2. 答案　B 3．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织十尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布10尺，则第二天织布的尺数是(　　) A． B． C． D． 解析　由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为a1，公比为q＝2，由等比数列前n项和公式Sn＝，得到 ＝10，解得a1＝，所以第二天织布的尺数为a2＝×2＝. 答案　B 4．在数列{an}中，若an＝2n＋2n-1×3＋2n-2×32＋2n-3×33＋…＋22×3n-2＋2×3n-1＋3n，则a2 024等于(　　) A．32 024－22 024 B．3×22 024－32 025 C．32 025－22 025 D．2×32 024－22 025 解析　因为an＝2n＋2n-1×3＋2n-2×32＋2n-3×33＋…＋22×3n-2＋2×3n-1＋3n ＝2n ＝2n·＝3n+1－2n+1， 所以a2 024＝32 025－22 025. 答案　C 5．某厂去年的产值记为1.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总值约为 ．(保留一位小数，取1.15≈1.6) 解析　由题意可知，第一年要比上年增长10%， 那么第一年产值就是1＋10%＝1.1， 第二年又比第一年增加10%， 所以第二年产值是1.12， ……， 以此类推，第五年产值是1.15， ∴总产量为1.1＋1.12＋…＋1.15＝≈11×0.6＝6.6. 答案　6.6 6．已知等比数列{an}的首项为2，前2m项满足a1＋a3＋…＋a2m－1＝170，a2＋a4＋…＋a2m＝340，则正整数m＝ ． 解析　因为等比数列{an}的首项为2，前2m项满足a1＋a3＋…＋a2m－1＝170， a2＋a4＋…＋a2m＝340， 所以公比q＝＝＝2， S2m＝＝170＋340＝510， 解得m＝4. 答案　4 7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于 ． 解析　由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n+1－2)棵，令2n+1－2≥100，则2n+1≥102，又26＝64，27＝128，且{2n+1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6. 答案　6 8．(2025·青岛一模)设数列{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和，求证：Tn＜. (1)解析　设{an}的公比为q，则an＝a1qn-1＝qn-1， 由题意得6a2＝a1＋9a3，即6q＝1＋9q2，解得q＝，所以an＝，bn＝＝n·. (2)证明　由(1)得 Sn＝＝， Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×， Tn＝1·＋2·＋…＋(n－1)·＋n·， 两式作差得Tn＝＋＋＋…＋－n· ＝－n· ＝－n· ＝－·－· ＝－·， 所以Tn＝－·. 则Tn－＝－·－ ＝－·－＋· ＝·＝－·＜0， 所以Tn＜. [关键能力·综合提升] 9．(2025·河南驻马店中学月考)作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后作新三角形的内切圆，……，如此下去，则前n个内切圆的面积和为(　　) A.π B．π C．π D．3π 解析　设第n个正三角形的内切圆的半径为an， 易知从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长都是前一个正三角形边长的，每个正三角形的内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的， 所以a1＝×3×tan 30°＝，a2＝a1，a3＝a2，……，an＝an－1(n≥2)， 所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，所以an＝×，则a＝×， 设前n个内切圆的面积和为Sn， 则Sn＝πa＋πa＋…＋πa ＝ ＝×＝π＝π. 故选B. 答案　B 10．国庆期间，某公园将举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是(　　) A．211－47 B．212－57 C．213－68 D．214－80 解析　由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n-1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－＝212－57. 答案　B 11．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿着纸的某条对称轴把纸对折．规格为12 dm×20 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm和20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的周长之和为C1＝96 dm，对折2次可以得到5 dm×12 dm，6 dm×10 dm，3 dm×20 dm三种规格的图形，它们的周长之和为C2＝112 dm，以此类推，则对折5次后能得到的所有不同规格图形的种数为 ；如果对折n次后，那么能得到的所有不同规格图形的周长之和Cn＝ dm. 解析　设沿着长方形纸长边折叠k(0≤k≤5且k∈N)次，则要沿着长方形纸片短边折叠(5－k)次， 故折叠5次后共出现的规格情况为dm×dm，k＝0，1，2，3，4，5， 即有20 dm× dm，10 dm× dm，5 dm× dm， dm×3 dm， dm×6 dm， dm×12 dm，共6种规格； 同理，对折n次共有(n＋1)种规格，C1＝2×(12＋6＋20＋10)＝96，C2＝2×(12＋6＋3＋20＋10＋5)＝112，…，Cn＝2×＝128－. 答案　6　128－ 12．已知数列{an}是首项为32的正项等比数列，Sn是其前n项和，且＝，若Sk≤4·(2k－1)，则正整数k的最小值为 ． 解析　设等比数列{an}的公比为q(q＞0)， 因为＝， 所以＝＝q2＝， 解得q＝. 所以Sk＝＝64. 不等式Sk≤4·(2k－1)， 即64≤4·(2k－1)， 化简为16≤2k，则正整数k的最小值为4. 答案　4 13．(2025·江苏无锡一中高二质检)某公司2024年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2025年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2024年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2024年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N＋)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为新产品盈利．(参考数据1.257≈4.8，1.258≈6.0，1.259≈7.5，1.2510≈9.3) (1)试求f(n)的表达式． (2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续盈利？请说明理由． 解析　(1)由题意知，第1年至此后第n(n∈N＋)年的累计投入为4＋(n－1)＝n＋3(千万元). 设第n年的收入为an，前n年的累计收入为Sn， 由题意得a1＝，an＋1＝an×(1＋25%)＝an， 所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， 则有an＝×， Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝2×. 所以f(n)＝Sn－(n＋3)＝2×－n－3， 即f(n)＝2×－n－5， 所以f(n)的表达式为f(n)＝2×－n－5(n∈N＋). (2)因为f(n＋1)－f(n)＝×－1，所以当n≤3时，f(n＋1)－f(n)<0，即f(n)单调递减， 当n≥4时，f(n＋1)－f(n)>0，即f(n)单调递增， 又f(1)＝－<0，f(8)＝2×－8－5<0，f(9)＝2×－9－5>0， 所以该新产品将从第9年开始并持续盈利． 所以该新产品将从2032年开始并持续盈利． [学科素养·探索创新] 14．(多选题)如果有穷数列a1，a2，a3，…，am(m为正整数)满足a1＝am，a2＝am－1，…，即ai＝am－i＋1(i＝1，2，…，m)，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设{bn}是项数为2m(m>1，m∈N＋)的“对称数列”，且1，2，22，23，…，2m-1依次为该数列中连续的前m项，则数列{bn}的前100项和S100可能的取值为(　　) A．2100－1 B．251－2 C．226－4 D．2m+1－22m-100－1 解析　由题意知数列{bn}为1，2，22，23，…，2m-1，2m-1，…，23，22，2，1. 若m＝50，则S100＝2×＝251－2，B正确； 若51≤m<100， 则S100＝2×－ ＝2m+1－22m-100－1，故D正确． 若m≥100，则S100＝＝2100－1，故A正确． 答案　ABD 15．(2025·深圳期末)如图，P1是一块半径为2a的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图形P3，P4，…，Pn，…，记第n块纸板Pn的面积为Sn，则S3＝ ，如果∀n∈N＋，Sn>恒成立，那么a的取值范围是 ． 解析　第一块纸板的面积为S1＝π(2a)2＝2πa2， 第二块纸板的面积为S2＝2πa2－πa2＝πa2， 第三块纸板的面积为S3＝πa2－π＝πa2，……， 第n块纸板的面积为 Sn＝2πa2＝2πa2－2πa2＝2πa2－2πa2× ＝2πa2， 要使得∀n∈N＋，Sn>恒成立，只需≥，解得a2≥506，故a的取值范围为[，＋∞). 答案　　[，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $