1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 解析　当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C. 答案　C 2．已知数列{an}满足a1＝1，log2an＋1－log2an＝1，则数列{an}的前n项和Sn＝(　　) A．2n+1－1 B．2n+1－2 C．2n－1 D．2n－2 解析　因为log2an＋1－log2an＝1，所以log2＝1，则＝2，所以数列{an}是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＝＝2n－1，故选C. 答案　C 3．(2025·北京五中期末)已知等比数列{an}中，an＞0，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且S2＝48，S4＝60，则使得Tn＜1成立的正整数n的最小值为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析　设等比数列{an}的公比为q(q＞0)， 由已知得 解得或(舍去)， 则an＝a1qn-1＝， 则Tn＝a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1＝a(q·q2·…·qn-1)＝2， 若Tn＜1，则必有＜0， 解得n＞11或n＜0，又n为正整数，所以n的最小值为12，故选C. 答案　C 4．(多选题)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，Sn为{an}的前n项和，则下列说法不正确的是(　　) A．若{an}是递增数列，则a1<0，q<0 B．若{an}是递减数列，则a1>0，0＜q＜1 C．若q>0，则S4＋S6>2S5 D．若bn＝，则{bn}是等比数列 解析　对于A，若{an}是递增数列，可得a1>0，q>1或a1<0，0<q<1，故A错误； 对于B，若{an}是递减数列，则a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1，故B错误； 对于C，当q＝1时，S4＋S6＝10a1，2S5＝2×5a1＝10a1，所以S4＋S6＝2S5，故C错误； 对于D，若bn＝，则＝＝＝为常数，所以数列{bn}是等比数列，故D正确．故选ABC. 答案　ABC 5．若等比数列{an}的前n项和为Sn＝m·4n-1＋t(其中m，t是常数)，则＝ ． 解析　a1＝S1＝m＋t， a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m， 则a＝a1a3，所以9m2＝12m(m＋t)， 即m＝－4t，故＝－4. 答案　－4 6．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 ． 解析　因为S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列， 所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－. 答案　－ 7．等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝ ． 解析　设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇， 由题意S偶＋S奇＝3S奇， 即S偶＝2S奇， 因为数列{an}的项数为偶数， 所以q＝＝2. 答案　2 8．(2025·山东菏泽一中期末)已知等差数列{an}满足a3＝7，a2＋a6＝20. (1)求{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，b＝a6，bn＋1＞bn，求满足Sn≤2 024的正整数n的最大值． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，则a3＝a1＋2d＝7，a2＋a6＝2a1＋6d＝20，解得a1＝1，d＝3， 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 由(1)知b1＝a1＝1，b＝a6＝3×6－2＝16. 因为b＝(b1q2)2，所以q＝2或q＝－2， 又bn＋1＞bn，所以q＝2， 所以Sn＝＝2n－1. 令2n－1≤2 024，得2n≤2 025，又210＜2 025＜211， 所以满足题意的正整数n的最大值为10. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是(　　) A．q＝2 B．＝9 C．S3，S6，S9成等比数列 D．Sn＝2an＋a1 解析　由a6＝8a3，可得q3＝＝8，即q＝2，故A选项正确；an＝a1·2n-1，Sn＝＝a1·2n－a1＝2an－a1，故D选项错误；S3＝a1(23－1)，S6＝a1(26－1)，＝＝9，故B选项正确；又S9＝a1(29－1)＝511a1，S3＝a1(23－1)＝7a1，S3·S9＝3 577a，S＝a(26－1)2＝3 969a，故S3·S9＝S不成立，故C选项错误． 答案　AB 10．(多选题)(2025·福建福州三中期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n(n∈N＋)，则下列选项正确的是(　　) A．an＋1＝2an B．anan＋2＝a C．Sn＝1－an D．Sn＋Sn＋2＝2Sn＋1 解析　当n＝1时，2a1＝1，解得a1＝， 当n≥2时，由2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n， 可得2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n-1an－1＝n－1， 两式相减，可得2nan＝1，整理得an＝， ∵当n＝1时，a1＝也满足上式， ∴an＝＝·，n∈N＋， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴an＋1＝an，故A错误； 根据等比中项可得anan＋2＝a，故B正确； Sn＝＝1－＝1－an，故C正确； ∵Sn＋Sn＋2＝1－＋1－＝2－， 2Sn＋1＝2×＝2－， ∴Sn＋Sn＋2≠2Sn＋1，故D错误．故选BC. 答案　BC 11．设Sn是等比数列{an}的前n项和，且满足3S9＝7S6，mS6＝nS3，则＝ ． 解析　设等比数列{an}的公比为q， 若q＝1，则3S9＝27a1，7S6＝42a1，若3S9＝7S6，则a1＝0，显然不成立，故q≠1； 因为3S9＝7S6，mS6＝nS3，所以3×＝7×，m＝n. 所以3(1＋q3＋q6)＝7(1＋q3)， 解得q3＝2或q3＝－. 所以＝1＋q3＝3或. 答案　3或 12．(2025·湖北随州第一中学期末)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝ ． 解析　由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10. 又正项等比数列{an}的前n项和为Sn，故S20－S10≠0，∴＝， ∵数列{an}是等比数列， ∴＝＝q10， 故q10＝，解得q＝±， ∵{an}为正项等比数列，∴q＞0，故q＝. 答案　 13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项． (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和； (3)求数列{Sn}的前n项和． 解析　(1)根据已知条件 整理得解得 (2)因为q≠1， 所以解得 所以Sn＝＝－. (3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn ＝n－× ＝n－× ＝n＋. [学科素养·探索创新] 14．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn＝ ． 解析　令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)， 又an＝f(n)， ∴＝＝f(1)＝a1＝， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－. 答案　1－ 15．设{an} 是等比数列，a1＝1，公比q＝，Sn为{an}的前n项和，则Sn＝ ，记Tn＝，n∈N＋，设Tn0为数列{Tn}中的最大项，则n0＝ ． 解析　由等比数列前n项和公式知Sn＝＝＝(＋1)[()n－1]，n∈N＋，而an＝a1qn-1＝()n-1，∴an＋1＝()n，则Tn＝＝，即Tn＝(＋1)·≤(＋1)·＝9(＋1)，当且仅当2n＝16，即n＝4时等号成立．∴T4为数列{Tn}中的最大项，即n0＝4. 答案　(＋1)[()n－1]　4　　　　　　　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $