1.3.1 第2课时 等比数列的性质及其应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　) A．4　 　 B．－4　 　 　 C．2　 　 D．－2 解析　由an＝·2n-1＝2n-4，知a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4. 答案　AB 2．已知实数列1，a，b，c，2成等比数列，则abc的值为(　　) A．4 B．±4 C．2 D．±2 解析　因为实数列1，a，b，c，2成等比数列， 所以ac＝1×2＝2，b2＝2，即b＝(负值不合题意，奇数项符号相同)， 所以abc＝2，故选C. 答案　C 3．(2025·湖北襄阳四中期末)已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝8，则＋＋＋的值为(　　) A．20 B．10 C．5 D． 解析　由等比数列的性质可得a4·a6＝a2·a8＝8， 所以＋＋＋＝＋＝＝＝.故选D. 答案　D 4．(多选题)(2025·安徽六安高二期中)已知数列{an}是单调递增的等比数列，且a2＋a4＝10，a1a5＝16，则(　　) A．a1＝2 B．an＝2n-1 C．a1与a5的等比中项为4 D．数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列 解析　由a1a5＝a2a4＝16，a2＋a4＝10， 解得或 因为数列{an}是单调递增的等比数列， 所以a2＝2，a4＝8. 则数列{an}的公比q＝2，a1＝1，an＝a1qn-1＝2n-1，则a5＝16，a1与a5的等比中项为±4，所以A，C错误，B正确； 因为lg an＋1－lg an＝lg 2n－lg 2n-1＝lg 2，所以数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，所以D正确． 故选BD. 答案　BD 5．在和之间插入三个实数，使这五个数成等比数列，则插入的三个实数的乘积等于 ． 解析　设这三个实数为a1，a2，a3，根据等比中项的定义与性质得a＝×＝36，所以a2＝6或a2＝－6(舍去).所以a1，a2，a3的乘积等于a＝216. 答案　216 6．(2025·四川绵阳南山中学高二期中)已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为 ． 解析　不妨设这三个数分别为，a，aq，且q>0， 三个数的乘积为·a·aq＝a3＝27，解得a＝3. 由三个数的平方和为91， 得＋9＋9q2＝91⇒9q4－82q2＋9＝0， 解得q＝±3或q＝±， 又q>0，所以q＝3或q＝. 答案　3或 7．设等比数列{an}的前n项之积为Tn(n∈N＋)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝ ． 解析　因为{an}为等比数列， 所以am－1am＋1＝a， 所以am－1am＋1－2am＝a－2am＝0，得am＝0(舍)或am＝2.又T2m－1＝a＝22m-1＝128＝27， 所以2m－1＝7，得m＝4. 答案　4 8．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列， 所以2S3＝S1＋1＋S4，a＝a1a5， 即a2＋a3＝1＋a4，(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， 所以a1＝1，d＝2， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N＋. (2)由(1)可得Sn＝＝n2， 所以S4＝42＝16，S6＝62＝36， 所以S4，S6，Sn成等比数列， 所以S＝S4·Sn， 所以362＝16n2，解得n＝9， 此等比数列的公比为＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a3a4a5＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a4＝1 B．T2＝T5 C．T7＝7 D．若a1＝1，则a2＝1 解析　对于A，因为a3a4a5＝a＝1，所以a4＝1，故A正确；对于B，因为a1a2＝a1a2a3a4a5，所以T2＝T5，故B正确；对于C，T7＝a1a2a3a4a5a6a7＝a＝1，故C错误；对于D，若a1＝1，则q3＝＝1，解得q＝1，所以a2＝a1q＝1，故D正确． 答案　ABD 10．(多选题)(2025·湖南师大附中期末)设{an}是各项均为正数的等比数列，其公比为q，前n项积为Tn，且T6<T7，T7＝T8>T9，则下列结论正确的是(　　) A．q>1 B．a8＝1 C．T10>T6 D．T7与T8均为{Tn}的最大项 解析　由T7＝T8可得a8＝＝1，故B正确； 由T6＜T7可得a7＞1，则q＝∈(0，1)，故A错误；由{an}是各项均为正数的等比数列，q∈(0，1)，得a1>a2>…>a7>a8＝1>a9>a10>…，＝a7a8a9a10＝(a8a9)2＝a＜1，则有T10<T6，故C错误； 对于D，T1<T2<…<T7＝T8>T9>T10>…，则T7与T8均为{Tn}的最大项，故D正确．故选BD. 答案　BD 11．(2025·江苏南京师大附中阶段性检测)已知数列{an}是等比数列，(a4＋ma7)·a8＝(a6－a9)2，且公比q∈(1，2)，则实数m的取值范围为 ． 解析　原式可变形为a4·a8＋ma7·a8＝a－2a6·a9＋a，由等比数列的性质可得(m＋2)a6·a9＝a， 易知a9≠0，所以m＋2＝＝q3.因为q∈(1，2)，所以q3∈(1，8)，则m∈(－1，6). 答案　(－1，6) 12．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形……这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 平方厘米． 解析　这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)， 则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048. 答案　2 048 13．(2025·佛山高二月考)某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解析　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1. ∴第n年这辆车的价值为an＝13.5×0.9n-1万元． (2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×0.95-1≈8.857. ∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元． [学科素养·探索创新] 14．在正项等比数列{an}中，a1＝，且a2a4＝16，记数列{an}的前n项积为Tn.若Tn∈[1，1 000)，请写出一个满足条件的n的值为 ． 解析　设等比数列{an}的公比为q，则q>0，又a1＝，a2a4＝a·q4＝16，所以q＝4，故an＝a1·qn-1＝×4n-1＝4n-2.所以T3＝a1a2a3＝4-1×40×41＝1，满足要求；T4＝a1a2a3a4＝4-1×40×41×42＝16，满足要求；T5＝a1a2a3a4a5＝16×43＝1 024，不满足要求．故答案为3，4之中的一个即可． 答案　3(答案不唯一，3，4均可) 15．(2024·山东烟台期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－5，a3，a4－1，a5＋1成等比数列，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋2＝2bn(n∈N＋). (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记[x]表示不超过x的最大整数，例如[－2.1]＝－3，[1.2]＝1，设cn＝，求数列{bncn}的前7项和． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a3，a4－1，a5＋1成等比数列， 所以(a4－1)2＝a3(a5＋1)， 即(3d－6)2＝(2d－5)(4d－4)， 整理可得d2－8d＋16＝0，所以d＝4， 故an＝a1＋(n－1)d＝－5＋4(n－1)＝4n－9. 由已知得Tn＝2bn－2①， 当n≥2时，Tn－1＝2bn－1－2②， ①－②可得bn＝2bn－2bn－1， 即bn＝2bn－1(n≥2)， 当n＝1时，b1＋2＝2b1，所以b1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，故bn＝2·2n-1＝2n. (2)由(1)知an＝4n－9，则cn＝， 易得c1＝c2＝－1，c3＝c4＝0，c5＝c6＝c7＝1， 则数列{bncn}的前7项和为－1×(21＋22)＋0×(23＋24)＋1×(25＋26＋27)＝218. 学科网（北京）股份有限公司 $