1.3.1 等比数列的概念及其通项公式 教案- 2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 等比数列的概念及其通项公式 教学目标 1、通过实例，理解并抽象出等比数列的概念、深化概念，理解公比的含义； 2、探索并归纳出等比数列的通项公式，在此过程中发展学生的数学抽象和逻辑推理素养； 3、掌握等比中项的概念并体会等比数列与指数函数的关系； 4、能运用定义及通项公式解决简单的问题。 教学重难点 教学重点： 1.等比数列的概念的理解与掌握。 2.等比数列的通项公式的推导及应用。 教学难点： 等比数列“等比”特点的理解、把握和应用。 教学过程 1、 立足生活，举例等比数列的实际应用。 （1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次,就拉成了许多根细面条.这样拉抻、捏合8次后可拉出多少根细面条？ 第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根， 第2次捏合成2×1 = 2（根）； 第3次捏合成2×2 = 22=4（根）； … 第8次捏合成2×26=27 = 128（根）. 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 1,2,4,8,16,32,64,128. ① （2）星火化工厂今年产值为万元，计划在以后5年中每年比上一年产值增长,试列出从今年起6年的产值（单位：万元）. 第1年产值：； 第 2 年产值：； 第 3 年产值：； … 第 6 年产值：. 故这6年的产值构成一个数列 ,,,,,. ② 二、归纳抽象，构建等比数列的概念。 探究一、等比数列的定义： 教师：看看以上两个数列相邻两项之间有什么共同特征？ （1） ① （2）,,,,,. ② 学生：分析共同特征 教师：与同学们一起总结等比数列的定义。 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）。 符号语言： 例1：判断下列数列是否为等比数列？ （1）； （2）； （3）； （4）；（5） 解：（1）是等比数列，公比； （2）因为，所以该数列不是等比数列； （3）是等比数列，公比； （4）当时，它是公比的等比数列，当时，它不是等比数列； （5）不是等比数列，不满足等比数列的定义。 注意： （1）等比数列中，各项不能为零； （2）公比一定是后一项比前一项所得，而不能用前一项比后一项来求， 且公比不能为零； （3）若,则该数列为非零常数列； （4）常数列 三、探究等比数列的通项公式： 探究二、等比数列的通项公式： 教师：问：请同学们回忆等差数列的通项公式推导方法有哪些呢？ 不完全归纳法和累加法 追问：类比等差数列的通项公式的推导方法，能否推导等比数列的通项公式？ 不完全归纳法 学生一： 由此归纳等比数列的通项公式可得： 学生二： ，将左面（n-1）个式子相乘得： （累乘法） 所以 教师：总结等比数列的通项公式： (1)已知首项和公比，可以确定一个等比数列． (2)在公式中，有四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中，为两个基本量． 于是，本节开始给出的数列①②的通项公式依次是： ；。 4、 体会等比数列与指数函数的关系： 思考交流：根据指数函数的单调性，分析等比数列的增减性。 指数函数的单调性 单调递减 单调递增 等比数列的单调性 单调递减 单调递增 不变 等比数列 的单调性 单调递减 单调递增 不变 单调递增 单调递减 不变 五、等比中项的概念： 思考交流：如果在与之间插入一个数,使成等比数列,那么应该满足什么条件？ 分析：由成等比数列得：， 反之，若，则，即成等比数列， 所以成等比数列 等比中项的定义：如果在与之间插入一个数,使成等比数列,那么 称为与的等比中项,此时。 注意： 等比中项概念的理解： (1)只有同号的两个实数才有等比中项. (2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数. 六、及时巩固，熟练应用。 例2：在等比数列 中，，，求的值. 解：由题意知 解得或 当时， 当时， 故该数列的第8项是或。 例3：在各项均为负数的等比数列中,,且. (1)求证：数列为等比数列，并求出它的通项公式; (2)试问是数列中的项吗?若是,指出是第几项?如果不是，说明理由。 解：（1）因为，所以，数列是公比为的等比数列， 又，所以， 由于数列的各项均为负数，故； （2）设，则，，，所以是该数列的项，为第项。 7、 回顾反思，提炼升华 1. 等比数列的定义 2. 等比数列的通项公式及推导方法 3. 等比中项的定义 4. 等比数列的定义及通项公式的应用 八、课后作业 1.在等比数列中, (1)若,求？ (2)若,求和？ 2.习题1.3 学科网（北京）股份有限公司 $$