1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．在正项等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝64，则的值是(　　) A．4　　　　　　 B．8 C．16 D．64 解析　设正项等比数列{an}的公比为q. 因为a3＝2，a4a6＝64，所以a1q2＝2，aq8＝64， 解得q2＝4，则＝42＝16. 答案　C 2．已知数列是公比为的等比数列，且a2＝4，则a6＝(　　) A．64 B．32 C． D． 解析　根据题意，数列是公比为的等比数列，即＝，变形可得＝2，则数列{an}是公比为2的等比数列． 因为a2＝4，所以a6＝a2q4＝64. 答案　A 3．下列说法正确的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．常数列既是等差数列，也是等比数列 C．若{an}是等比数列，则不一定是等比数列 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 解析　对于A，等比数列中任意一项都不为0，A不正确；对于B，若常数列的各项均为0，则该数列不是等比数列，B不正确；对于C，设an＝(－1)n，则an＋an＋1＝(－1)n＋(－1)n+1＝(－1)n＋(－1)·(－1)n＝(－1)n－(－1)n＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，C正确；对于D，设a＝0，b＝0，c≠0，满足b2＝ac，但是a，b，c不成等比数列，D不正确．故选C. 答案　C 4．(多选题)(2025·上海师大附中期中)若数列{an}对任意n≥2，n∈N＋都有(an－an－1－1)·(an－2an－1)＝0，则下列说法正确的是(　　) A.{an}可以是等差数列 B．{an}可以是等比数列 C．{an}可以既是等差数列又是等比数列 D．{an}可以既不是等差数列又不是等比数列 解析　∵数列{an}对任意n≥2(n∈N＋)都有(an－an－1－1)(an－2an－1)＝0，∴an－an－1＝1或an＝2an－1，若an－an－1＝1，则数列{an}是等差数列，若an＝2an－1，且an≠0，则数列{an}是等比数列，故A、B正确；由(an－an－1－1)(an－2an－1)＝0，得不出数列{an}是非零常数列，故{an}不可以既是等差数列又是等比数列，故C错误；当数列{an}的各项依次为0，1，2，4，8，16，32，…时，满足条件，但数列{an}既不是等差数列也不是等比数列，故D正确． 答案　ABD 5．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝ ． 解析　设等差数列的公差为d， 则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)， 解得d＝－1， ∴q＝＝＝1. 答案　1 6．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝ ． 解析　由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6， 所以q＝＝＝， 所以an＝a1qn-1＝4×. 答案　4× 7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则公比q＝ ，＝ ． 解析　由题设a1，a3，2a2成等差数列可得a1＋2a2＝a3，即q2－2q－1＝0，所以q＝＋1，＝＝q2＝3＋2. 答案　＋1　3＋2 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1) ＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1， ∴a1＝－1≠0. 又由an＋1＝2an知an≠0， ∴＝2，∴{an}是等比数列， ∴an＝－1×2n-1＝－2n-1. [关键能力·综合提升] 9．如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，那么a5＝(　　) A．32 B．64 C．－32 D．－64 解析　由已知得＝(－)n-1， 则＝－，＝(－)2， ＝(－)3，＝(－)4， 以上四式相乘得a5＝(－)1+2+3+4， 解得a5＝32.故选A. 答案　A 10．(2025·河北衡水中学月考)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N＋，都有aman＝am＋n，且a2＝3，则a20等于(　　) A．320 B．±320 C．310 D．±310 解析　对于aman＝am＋n，令m＝1，则an＋1＝a1an，再令n＝1，则a2＝a＝3，可知a1≠0，故数列{an}是首项为a1，公比为a1的等比数列，∴an＝a1×a＝a，∴a20＝a＝(a)10＝310. 答案　C 11．已知正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a4＝81，则{an}的通项公式是 ；记Sn为数列{log3an}的前n项和，若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，则m＝ ． 解析　设{an}的公比是q(q＞0)，因为{an}是正项等比数列，a2a4＝a＝81，解得a3＝9， 所以q2＝＝9，因为q＞0，所以q＝3， 又a1＝1，所以an＝3n-1. log3an＝n－1， 所以Sn＝0＋1＋2＋…＋(n－1)＝， 由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得＋＝，解得m＝6或m＝－1(舍去)，所以m＝6. 答案　an＝3n-1　6 12．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为 ． 解析　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，所以an＝(n∈N＋)，即数列为递减数列．当n≤4时，an≥1；当n≥5时，0＜an＜1，所以当n＝3或n＝4时，a1a2…an最大．又a2＝4，a3＝2，a4＝1，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64. 答案　64 13．(2025·烟台二模)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数． (1)对于任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列，证明你的结论． (1)证明　假设若存在实数λ，使得数列{an}是等比数列，则必有a＝a1a3，因为a1＝λ， 所以a2＝λ－3，a3＝－2＝λ－4. 由＝λ，整理得9＝0. 故假设错误，因此对于任意实数λ，数列{an}都不是等比数列． (2)解析　因为bn＋1＝(－1)n+1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n+1·＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn， 又b1＝－(λ＋18)， 所以λ＝－18时，b1＝0(n∈N＋)，此时{bn}不是等比数列； 当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0， 则bn≠0，所以＝－(n∈N＋). 故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列． [学科素养·探索创新] 14．(2025·淄博高二月考)已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为 ． 解析　设公差为d， 由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，① 由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列， 得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)， 解得d＝3或d＝0，② 当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1. 由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项， a92＝3×92－1＝275. 当d＝0时，an＝8，a92＝8. 答案　275或8 15．已知数列{an}满足：a1＋a2＋…＋an＝n－an. (1)求证：数列{an－1}是等比数列； (2)令bn＝(2－n)(an－1)，求数列{bn}的最大项． (1)证明　当n＝1时，a1＝1－a1， 所以a1＝. 又a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝n＋1－an＋1， 即n－an＋an＋1＝n＋1－an＋1， 所以2an＋1＝1＋an，所以an＋1－1＝(an－1). 又a1－1＝－≠0， 所以数列{an－1}是首项为－，公比为的等比数列． (2)解析　由(1)，知an－1＝×＝－， 所以bn＝(2－n)·(an－1)＝， 所以bn＋1－bn＝－＝. 当n＜3时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3， 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b4＝b3， 当n＞3时，bn＋1－bn＜0，即b4＞b5＞b6＞…， 所以数列{bn}的最大项为b4＝b3＝. 学科网（北京）股份有限公司 $