1.2.1 第2课时 等差数列的性质及其应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·福建三明期末)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为(　　) A．－　　　　　　　 B． C． D．5 解析　由题意得2(2a＋1)＝a－1＋4a－2， 解得a＝5.故选D. 答案　D 2．(2025·安徽六安高二期中)在数列{an}中，已知2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，且a5＋a8＝16，则a1＋a2＋…＋a12＝(　　) A．256 B．196 C．144 D．96 解析　由2an＋1＝an＋an＋2，得an＋1－an＝an＋2－an＋1，则{an}为等差数列．又a5＋a8＝16，所以由等差数列的性质知a1＋a2＋…＋a12＝6(a5＋a8)＝96.故选D. 答案　D 3．(2025·湖北武汉二中高二期中)设{an}是等差数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由{an}是等差数列，a1＜a2＜a3，可得d＝a2－a1＝a3－a2＞0，所以数列{an}是递增数列，即充分性成立；若数列{an}是递增数列，则必有a1＜a2＜a3，即必要性成立，所以“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件． 答案　C 4．下列说法中正确的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 解析　因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c， 所以2b＋4＝a＋c＋4， 即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， 所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确． 取a＝1，b＝2，c＝3， 则a2＝1，b2＝4，c2＝9不成等差数列，故A不正确． 而log21，log22，log23也不成等差数列，故B不正确． 而21，22，23也不成等差数列，故D不正确． 答案　C 5．(2025·重庆七中高二检测)已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝24，则a3＋a6＋a9的值为 ． 解析　因为{an}是等差数列，设公差为d，所以a2＋a5＋a8－(a1＋a4＋a7)＝3d，a3＋a6＋a9－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×24－15＝33. 答案　33 6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为 ． 解析　设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 解得或 所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1. 所以这三个数的积为－21. 答案　－21 7．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝ ． 解析　∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16， ∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16， ∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16， ∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4. 答案　4 8．在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解析　(1)原数列的公差d＝－3－(－5)＝，所以新数列的公差d′＝d＝，故新数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)＝n－. (2)设28是新数列的第n项，则－＝28，解得n＝45∈N＋，所以28是新数列中的第45项． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　　) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 解析　设等差数列{an}的公差为d，易知d>0. 因为等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0， 且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a 51， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，所以a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B，D正确，A错误．又因为a51＝a1＋50d＝0，所以a1＝－50d，所以a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d>0，故C错误． 答案　BD 10．《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份为(　　) A.5 B．10 C．11 D．55 解析　设分得的每份面包个数从小到大为等差数列{an}，公差为d(d＞0)， 可得 所以解得a1＝10.故选B. 答案　B 11．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N＋都有＝，则＋＝ ． 解析　由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6， 所以＋＝＝＝＝1. 答案　1 12．若三个数a－4，a＋2，26－2a适当排列后构成递增等差数列，则a的值为 ． 解析　显然a－4＜a＋2， 若a－4，a＋2，26－2a成等差数列，则 (a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)， 所以a＝6，相应的等差数列为2，8，14. 若a－4，26－2a，a＋2成等差数列，则 (a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)， 所以a＝9，相应的等差数列为5，8，11. 若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则 (26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)， 所以a＝12，相应的等差数列为2，8，14. 答案　6或9或12 13．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 甲　　　　　　　　　　　乙 请你根据提供的信息回答问题． (1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． 解析　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 ∴得a2＝1.2. 由b1＝30，b6＝10，得 ∴得b2＝26. ∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只． (2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． [学科素养·探索创新] 14．(2025·辽宁部分高中高二期中)已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝3n－2，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为(　　) A．cn＝3n－2 B．cn＝4n－1 C．cn＝5n－3 D．cn＝6n－5 解析　由已知可得，数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1，公差为6的等差数列，故cn＝1＋(n－1)×6＝6n－5.故选D. 答案　D 15．若数列{an}满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2 020＝20 200，则b2b2 019的最大值是 ． 解析　由数列为“调和数列”，可得－＝bn＋1－bn＝d(n∈N＋，d为常数)， ∴数列{bn}是公差为d的等差数列， ∵b1＋b2＋…＋b2 020＝20 200，且b1＋b2 020＝b2＋b2 019＝b3＋b2 018＝…＝b1 010＋b1 011， ∴1 010(b2＋b2 019)＝20 200，∴b2＋b2 019＝20. 又b2>0，b2 019>0， ∴b2＋b2 019≥2， 即b2b2 019≤＝100，当且仅当b2＝b2 019＝10时，等号成立， ∴(b2b2 019)max＝100. 答案　100 学科网（北京）股份有限公司 $