1.1.1 数列的概念-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习（北师大版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列命题中正确的是(　　) A．任何数列都有通项公式 B．给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列 C．给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式 D．数列的通项公式an是项数n的函数 解析　根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，A错误；根据数列的表示方法可知B正确；给出了数列的有限项，数列的通项公式形式不一定唯一，C错误；根据数列通项公式的概念可知D正确． 答案　BD 2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　) A．1，0，1，0　　　　　 B．0，1，0，1 C．，0，，0 D．2，0，2，0 解析　法一　由an＝，可得a1＝1， a2＝0，a3＝1，a4＝0.故选A. 法二　当n为奇数时，1＋(－1)n+1＝2，当n为偶数时，1＋(－1)n+1＝0，所以数列{an}的奇数项的值为1，偶数项的值为0，故该数列的前4项依次为1，0，1，0. 答案　A 3．数列，－，，－，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n+1· D．an＝(－1)n+1· 解析　根据分子、分母还有正负号的变化，可知an＝(－1)n+1·.故选D. 答案　D 4．(2025·河北武邑中学质检)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第20项为(　　) A．212 B．200 C．186 D．162 解析　由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200. 答案　B 5．已知数列{an}的通项公式是an＝ 则a2a3＝ ． 解析　根据通项公式可得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝2×10＝20. 答案　20 6．已知数列{an}为－，3，－3，9，…，则a6的值为 ，数列的一个通项公式是 ． 解析　把数列的前4项统一形式后为－，，－，，可知a6＝＝27，数列的一个通项公式为an＝(－1)n. 答案　27　an＝(－1)n 7．已知数列{an}的通项公式为an＝2 021－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为 ． 解析　由an＝2 021－3n>0，得n<＝673， 又因为n∈N＋，所以正整数n的最大值为673. 答案　673 8．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a2 025； (3)2 027是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？ 解析　(1)设an＝kn＋b(k≠0)， 则有 解得k＝4，b＝－1.所以an＝4n－1. (2)a2 025＝4×2 025－1＝8 099. (3)令2 027＝4n－1，解得n＝507∈N＋， 所以2 027是数列{an}的第507项． [关键能力·综合提升] 9．已知数列{an}的通项公式是an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　) A． B．5 C．6 D． 解析　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5. 答案　B 10．(2025·济南一中高二检测)如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N＋ B．an＝，n∈N＋ C．an＝，n∈N＋ D．an＝n2，n∈N＋ 解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 答案　C 11．正项数列{an}满足a－(2n－1)an－2n＝0，则数列{an}的通项公式为an＝ ，a2n＋1＝ ． 解析　由a－(2n－1)an－2n＝0，得 (an－2n)(an＋1)＝0， 因为{an}为正项数列，所以an＝2n. 故a2n＋1＝2(2n＋1)＝4n＋2. 答案　2n　4n＋2 12．(2025·青岛高二质检)如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为 ． 解析　我们把图案按如下规律分解： 这三个图案中白色正六边形的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2. 答案　an＝4n＋2 13．已知数列. (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)上． 解析　设an＝＝＝. (1)令n＝10，得第10项a10＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程无正整数解，所以不是该数列中的项． (3)证明　因为an＝＝ ＝1－，又n∈N＋，所以0＜＜1， 所以0＜an＜1. 即数列中的各项都在区间(0，1)上． [学科素养·探索创新] 14．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的(　　) A．第127项　　　　 B．第128项 C．第129项 D．第130项 解析　将该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组1项：；第二组2项：，；第三组3项：，，；第四组4项：，，，；……容易发现，每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组的第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项． 答案　B 15．已知{an}是无穷数列，给出下列性质：对于{an}中任意两项ai，aj(i＞j)，在{an}中都存在一项am，使得＝am.若an＝n(n＝1，2，…)，判断数列{an}是否满足上述性质，请说明理由． 解析　不满足．理由如下： 当i＝3，j＝2时，＝，数列{an}中不存在某一项am，使得am＝，所以数列{an}不满足性质． 学科网（北京）股份有限公司 $